УМ_Пособие_09

2

УДК 002.6:681.3

Родзина О.Н. Методы оптимизации: Учебно-

методическое пособие для практических занятий и самостоятельной работы. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2009.

—115с.: ил.

В учебно-методическом пособии рассматриваются различные методы оптимизации, которые находят широкое применение, как в инженерной практике, так и различного рода теоретических исследованиях. По каждой теме приведены основные теоретические положения и разобраны соответствующие методы в объеме, достаточном для самостоятельного решения конкретных задач.

Содержание учебно-методического пособия основано на материалах, используемых автором в учебном процессе ТТИ ЮФУ по курсу «Методы оптимизации».

Пособие предназначено для практических занятий и самостоятельной работы студентов направления «Информатика и ВТ», интересующихся законами, методами и способами оптимизации различных процессов с помощью вычислительной техники.

Библиогр.: 3 назв.

Рецензенты:

Кафедра САУ ТТИ ЮФУ, зав. кафедрой доктор технических наук, профессор Финаев В.И.

Ковалев С.М., доктор технических наук, профессор Ростовского государственного университета путей сообщения

© О.Н. Родзина, 2009 © ТТИ ЮФУ, 2009

3

ВВЕДЕНИЕ

Оптимизация предполагает процесс движения к цели, развивающийся во времени и представляющий собой последовательность действий.

Многие задачи, с которыми человеку приходится иметь дело в повседневной практике, являются многокритериальными. Среди множества возможных вариантов решения приходится выбирать наилучшее решение в некотором смысле в зависимости от ограничений, налагаемых на природные, экономические или технологические особенности. Возникает необходимость выбора наилучшей последовательности действий, приводящей к наилучшему результату, а также возникает необходимость иметь правило выбора способа построения этой последовательности.

Методы оптимизации направлены не только и не столько на определение оптимизма некоторых процессов и объектов (частных функций), сколько на выработку стратегии поиска. Среди всех возможных стратегий поиска желательно выбрать ту, которая приводит к цели оптимальным способом. Другими словами, оптимизируется сам способ оптимизации. Это является наиболее важной задачей, и называется методом поисковой оптимизации.

Существующие методы оптимизации находят широкое применение как в инженерной практике, так и в различного рода теоретических исследованиях Необходимость использования этих методов возникает при решении задач, относящихся и к области управления и планирования, и к области проектирования, когда требуется найти наилучшее или оптимальное (с точки зрения принятого критерия) решение.

В математической постановке задача оптимизации сводится к отысканию экстремума (максимума или минимума) некоторой функции или функционала. Сложность решения задач оптимизации при наличии ограничений привела к созданию новых методов математического программирования.

Все методы оптимизации можно условно разделить на две группы: аналитические и численные.

4

Аналитические методы позволяют получить качественную картину изменения функции или функционала при изменении параметров управления или функции управления.

Однако при решении практических задач наиболее важным является получение конкретных числовых значений переменных или параметров управления. Это возможно лишь при использовании численных методов, получивших в настоящее время большое развитие.

Цель настоящего пособия состоит в том, чтобы помочь студентам овладеть навыками практического использования наиболее распространенных математических методов, широко используемых при решении оптимизационных задач в различных областях человеческой деятельности.

Все рассмотренные методы иллюстрируются примерами, в каждой главе приводятся упражнения для самостоятельной работы.

5

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ

Некоторые термины и определения, используемые при решении задач оптимизации в технике

Классическая математическая постановка задачи оптимизации состоит в том, чтобы найти значения переменных, дающих экстремальное значение некоторой функции F(X) в определенной области G значений переменных X=(xl,х2,...,xn). Область G обычно задается системой неравенств вида gj (xl,х2,...

xn)>bj, j=l,2…m. Предполагается, что точка X=(xl,х2,...,xn) и функции ограничений gj(x) принадлежат n - мерному действительному эвклидову пространству Rn.

При постановке и решении задач оптимизации в технике используются термины из разных областей научных и технических знаний: математического программирования, математического моделирования, теории управления, квалиметрии, собственно области техники, которой принадлежит решаемая задача. Для устранения терминологической путаницы приведем понятия, которые наиболее часто используются специалистами в данной области.

Функцию F(X), экстремальное значение которой нужно найти, называют целевой, показателем эффективности или критерием оптимальности. Она представляет собой функцию

обобщенного показателя качества. Глобальный экстремум данной функции F*(X*) обычно соответствует оптимальному решению.

Показатель качества – характеристика отдельных свойств объектов, описанных целевой функцией.

Пространством показателей называется пространство,

координатами точек которого являются оценки по соответствующим критериям.

Если требуется оптимизировать совокупность отдельных показателей, то задача называется задачей векторной

оптимизации.

7

называют также методами прямого поиска); если требуется вычисление первых производных оптимизируемой функции, то это методы первого порядка; если же дополнительно используются вторые производные, то это методы второго порядка и т. д.

Рассчитанные значения целевой функции и значения их аргументов в необходимых для метода точках называются

пробами.

Градиентом целевой функции F(X) в точке Х0=(х01, х02, …, х0n) называется вектор, составленный из первых частных производных функции в этой точке, т.е.

Геометрически градиент указывает направление возрастания функции в данной точке Х0. Антиградиент – противоположен градиенту. Модуль (величина) градиента характеризует скорость возрастания функции в заданной точке Х0 и вычисляется по формуле:

Для решения задачи оптимизации необходимо составить

математическую модель, которая включает:

1)Совокупность неизвестных величин Х=(х1,…,хi,… хn) действуя на которые, систему (объект, процесс) можно совершенствовать. Их еще называют планом задачи, вектором управления, решением, управлением, стратегией, поведением и др.

2)Целевую функцию, которая позволяет выбирать наилучший вариант из множества возможных решений. Этот наилучший вариант дает целевой функции экстремальное значение. Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки, уровень обслуживания или дефицитности, отходы и т.д.

8

3) Условия (или систему ограничений), налагаемые на неизвестные величины. Эти условия следуют из ограниченности ресурсов, которыми обладает объект в любой момент времени, из необходимости удовлетворения потребностей, из условий производственных и технологических процессов. Ограниченными являются не только материальные, финансовые и трудовые ресурсы, но и возможности технического, технологического и научнотехнического потенциала. Математически ограничения выражаются в виде уравнений и неравенств. Их совокупность

иобразует область допустимых решений.

Бесконечномерное программирование – методы решения задач с бесконечным числом переменных и методы решения

задач многокритериального подхода, когда приходится одновременно учитывать несколько целевых функций.

Классификация методов оптимизации

Приведем классификацию по исторически принятым делениям методов. Ряд одних и тех же задач может быть решен разными методами. Данная классификация представляет собой иерархическую схему. Иерархия отражена в нумерации разделов, подразделов, пунктов и т.д.

1. Метод «проб и ошибок»

Данный метод применяется, когда наблюдается один или несколько следующих факторов

a)затруднено построение формальной математической модели;

b)затруднена формализация оценки;

c)математические методы оптимизации не эффективны.

Всвою очередь этот метод подразделяется на:

1.1.Оптимизация по результатам анализа работы натурных образцов, выполненных в натуральную величину или

вмасштабе.

1.2.Оптимизация на вычислительных машинах.

1.3.Оптимизация в диалоге человек-ЭВМ с выводом и вводом цифровой или графической информации. В свою очередь эту оптимизацию подразделяют на:

9

1.3.1.Интерактивную оптимизацию – человек производит оценку выводимой ЭВМ информации и формирует вводимые данные полностью сам, исходя из знаний и собственного опыта. Для организации такой оптимизации целесообразно использовать электронные таблицы. Повышение качества проектирования происходит за счет увеличения числа проектных итераций.

1.3.2.Автоинтерактивную оптимизацию – ЭВМ, исходя из опыта лучших пользователей, эвристических приемов, статистики, других простейших методов, предлагает пользователю вероятный ответ или ответы. Окончательно данные формирует пользователь.

2.Аналитические методы оптимизации

Эти методы позволяют определить качественную картину поведения оптимальной системы при изменении ее параметров и структуры.

Для использования аналитических методов необходимо, чтобы формула критерия, все ограничения и условия были бы представлены функциями, по крайней мере, один раз дифференцируемыми и имеющими конечное число точек разрыва.

Классические методы (дифференциальное и вариационное исчисления) используются при отсутствии ограничений.

Методы данного класса разделяются на три подкласса:

2.1.Поиск минимума функции по известным выражениям функции и ограничений.

2.2.Вариационное исчисление - раздел математики, в котором изучаются методы отыскания экстремума функции от какой либо функции.

2.3.Графические методы решения простых задач оптимизации.

3.Численные методы одномерной оптимизации

Все численные методы обеспечивают получение конкретных числовых значений параметров управления. Численные методы одномерной оптимизации подразделяются на:

10

3.1.Прямые методы поиска:

3.1.1.Поиск глобального экстремума функции одной переменной на заданном отрезке.

3.1.2.Поиск экстремума одноэкстремальной функции на заданном отрезке с использованием сужения интервала.

3.1.3.Поиск безусловного экстремума одноэкстремальной функции с использованием аппроксимации функции.

3.2.Методы поиска экстремума функции одной переменной по вычисляемым значениям первой и (или) второй производной.

4.Численные методы многомерной оптимизации

Данные методы подразделяются на направления:

4.1.Линейное программирование: непрерывное линейное программирование (поиск экстремума линейной функции при линейных ограничениях в виде равенств и неравенств) – используются особенно широко при решении задач экономии ресурсов. Целочисленное линейное

программирование (то же что и предыдущее, но предъявляются требования целочисленности к составляющим вектора Х*) – с их помощью решаются задачи оптимизации с неделимостями, комбинаторного типа, с логическими условиями, с разрывной целевой функцией и т.д.

4.2.Квадратичное программирование (целевая функция

-квадратична, а ограничения представлены в виде линейных функций типа равенства и неравенства).

4.3.Геометрическое программирование (целевая функция - полином, а ограничения линейны или отсутствуют).

4.4.Выпуклое программирование (целевая функция -

выпуклая и ограниченная представляют выпуклые области).

4.5.Нелинейное программирование (целевая функция -

от многих переменных является нелинейной и (или) допустимая область определяется нелинейными ограничениями). Иногда методами нелинейного программирования решаются задачи 4.1- 4.4. Методы данного класса разделяются на четыре подкласса.

4.5.1.Прямые методы поиска экстремума одноэкстремальной целевой функции без ограничений.