TAU-Lektsia_2_3
.pdf
Лекция 3.
8. УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
1
8.1. Характеристическое уравнение и основное условие устойчивости
Если внешние воздействия заданы, то уравнения дискретной системы управления можно записать в виде
a0y(t + nT0) + a1y(t + (n – 1)T0) + ... + any(t) = φ(t), |
(8.1) |
или, в операторной форме, |
|
(а0Еn + a1Еn – 1 + ... + an)y(t) = φ(t). |
|
Характеристическое уравнение имеет вид |
|
Q*(z) = a0zn + a1zn – 1 + ... + an = 0. |
(8.2) |
Характеристический полином (левая часть характеристического уравнения) получается при подстановке в собственный оператор
Q*(E) = a0 Еn + a1 Еn – 1 + ... + an = 0.
вместо оператора смещения Е переменной z.
2
Если задана передаточная функция системы управления, то при определении характеристического полинома нужно исходить из следующих положений:
по определению передаточной функции в операторной форме ее знаменатель есть собственный оператор, а знаменатель передаточной функции в z-изображениях совпадает с характеристическим полиномом (при условии, что передаточная функция в операторной форме не содержит одинаковых нулей и полюсов).
Общее решение неоднородного разностного уравнения (8.1) имеет вид
y(t) = yв(t) + yc(t), yв(t) – частное решение этого уравнения;
yс(t) – общее решение соответствующего однородного уравнения.
Линейная дискретная система управления называется устойчивой, если общее решение однородного разностного уравнения при t → ∞ стремится к нулю:
lim yС [kT ] 0 |
(8.3) |
t |
|
3
Если все корни zi (i = 1, 2,..., n) характеристического уравнения простые (т.е. различные), то общее решение однородного разностного уравнения имеет вид
n
yС (t) Ci zit /T0 (8.4)
i 1
Сi – произвольные постоянные.
Если среди корней характеристического уравнения имеется кратный корень zj кратности kj, то ему в (8.4) соответствует слагаемое
|
|
j |
C |
j t |
... C |
j |
t |
k j 1 |
|
t / T |
||
C |
|
|
|
|
|
|
|
z |
0 |
|||
|
1 |
|
2 |
T0 |
|
k j |
|
|
|
j |
||
|
|
|
|
|
|
T0 |
|
|
|
|||
Из (8.4) и последнего выражения следует, что условие (8.3) будет выполнено в том и только том случае, когда |zi| < 1 при всех i =1, 2,..., n.
Основное условие устойчивости. Для того чтобы линейная дискретная система управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были по модулю меньше единицы, или, что то же, находились внутри единичного круга на z-плоскости корней.
4
Пример 8.1. Передаточная функция системы
W * (z) |
5(z 1) |
|
z2 z 0,5 |
||
|
Требуется исследовать ее устойчивость.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид z2 z 0,5 0
Его корнями являются
z1, 2 0,5 j0,5
Их модули
z1 z2 
0,5 1
Система устойчива.
5
8.2. Алгебраические критерии устойчивости
Здесь мы рассмотрим необходимое условие устойчивости, определение устойчивости, основанное на преобразовании внутренности единичного круга в левую полуплоскость, и критерии устойчивости Джури.
6
8.2.1. Необходимое условие устойчивости
Для того чтобы все нули (корни) характеристического полинома
Q*(z) = a0zn + a1zn–1 + … + an
были по модулю меньше единицы (|zi| < 1, i = 1, 2, ... , n), необходимо, чтобы при a0 > 0 выполнялись неравенства
Q*(1) > 0, (–1)nQ*(–1) >0. |
(8.5) |
Чтобы доказать это утверждение, разложим полином Q*(z) на элементарные множители:
Q* (z) a0 (z z1 )(z z2 )...(z zn ) |
(8.6) |
Если корень zi является вещественным и по модулю меньше единицы, то
множитель (z – zi) при z = 1 и множитель ( – l) (z – zi) при z = – 1 будут положительными. Если корень zi является комплексным, т. е. zi i j i
( i , j – вещественные числа), то существует комплексно-сопряженный корень
7 |
zi 1 i j i |
|
Произведение
(z zi )(z zi 1 ) (z ai )2 i2
при z = 1 и произведение
( 1)(z zi )( 1)(z zi 1 ) (z ai )2 i2
при z = – 1 будут положительными. Следовательно, из (8.6) следует, что если все корни характеристического полинома по модулю меньше единицы, то будут выполняться неравенства (8.5).
8
Пример 8.2. Характеристический полином дискретной системы имеет вид
Q* (z) z3 2,3z2 0,5z 0,2
Требуется определить устойчивость системы.
Решение. Проверим необходимое условие устойчивости. В данном случае a0 1 0 и
Q* (1) 1 2,3 0,5 0,2 3,6 0
( 1)3 Q* ( 1) ( 1 2,3 0,5 0,2) 0,6 0
Необходимое условие устойчивости не выполняется. Следовательно, система неустойчива.
9
8.2.2. Исследование устойчивости, основанное на
преобразовании единичного круга в левую полуплоскость
Утверждение 8.1. При преобразовании
|
z 1 |
|
||
z 1 |
(8.7) |
|||
|
|
|
||
внутренность единичного круга на z-плоскости преобразуется в левую |
||||
|
||||
полуплоскость, его внешность – в правую полуплоскость и окружность |
|
|||
(единичного радиуса) – в мнимую ось на υ-плоскости. |
|
|||
Разрешим равенство (8.7) относительно z и подставим полученное выражение в характеристическое уравнение (8.2):
* |
n |
* |
1 |
|
n |
n 1 |
|
|
n |
|
|
||
G |
( ) (1 ) |
Q |
|
|
|
a0 (1 ) |
|
a1 (1 ) (1 |
) ... an |
(1 ) |
|
0 |
(8.8) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Представим это преобразованное характеристическое уравнение в стандартной форме:
10 |
G* ( ) c n c n 1 |
... c |
0 |
(8.9) |
|
|
0 |
1 |
n |
|
|