TAU-Lektsia_2_10
.pdf
Лекция 10.
14. АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
Впервые задача об абсолютной устойчивости была рассмотрена Анатолием Исаковичем Лурье (19 июля
1901, Могилёв — 12 февраля 1980, Ленинград) , и ее иногда называют задачей Лурье. Им был разработан метод решения этой задачи, основанный на построении функции Ляпунова.
В 1961г. румынский ученый В.М. Попов опубликовал работу, в которой изложил частотный метод решения этой проблемы. Это повлекло за собой появление большого потока работ в этом направлении.
1
~ |
e |
|
ξ |
|
u |
~ |
g |
|
f(ξ) |
y |
|||
|
|
W1 |
|
|
W2 |
g |
ξ |
f(ξ) |
u |
y |
|
|
|
Wл |
x Ax bu, u f ξ , ξ cT x
x – n-вектор;
u, ξ – скалярные переменные; f(ξ) – нелинейная функция, удовлетворяющая следующим условиям:
f 0 0, k |
|
|
f ξ |
k |
|
при ξ 0 |
||
m |
ξ |
|
M |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнения (14.1) представляют собой уравнения в отклонениях, и на
~ |
0 (g = 0). |
структурной схеме задающее воздействие равно нулю: g |
(14.1)
(14.2)
2
Определение 14.1. Система (14.1), или положение равновесия x = 0 системы
(14.1) называется абсолютно устойчивым в угле (секторе) [km,kM], если нулевое решение x = 0 системы (14.1) асимптотически устойчиво в целом при любой нелинейной функции f(ξ), удовлетворяющей условию (14.2).
Абсолютная устойчивость, как и робастная устойчивость, означает устойчивость не одной конкретной системы, а некоторого множества систем, определяемых заданным множеством Ξ нелинейных звеньев. В определении 14.1 в качестве множества Ξ принято множество (14.2), которое обычно рассматривается при рассмотрении абсолютной устойчивости. Естественно, множество Ξ может быть задано иначе. Поэтому в общем случае будем говорить об абсолютной устойчивости на множестве (классе) Ξ, которое в общем случае отличается от множества, задаваемого соотношением (14.2).
3
14.1. Система сравнения. Необходимое условие абсолютной устойчивости
g |
ξ |
f(ξ) |
u |
y |
|
|
|
Wл |
Передаточную функцию Wл в операторной форме, если система задана уравнениями (14.1), можно найти следующим образом. Запишем уравнения линейной части в операторной форме:
(Iр – A)x = bu, ξ = –cTx,
или
x= (Iр – A)–1bu, ξ = –cTx.
Отсюда, исключая x и учитывая y = –ξ, получим
Wл(p) = cT(Iр – A)–1b.
Используя эту передаточную функцию, уравнения (14.1) можно записать в виде
4 |
y = Wл(p)u, u = f(ξ), ξ = –y. |
(14.3) |
|
Наряду с нелинейной системой (14.1) или (14.3) рассмотрим линейную систему
y = Wл(p)u, u = kξ, ξ = –y. |
(14.4) |
Эту систему при любом k [km,kM] называют системой сравнения системы
(14.3), (14.2).
«Нелинейность» f(ξ) = kξ принадлежит множеству (14.2) при любом k [km,kM].
Поэтому если система (14.3) абсолютно устойчива в угле [km,kM], то ее система сравнения, т. е. линейная система (14.4), устойчива (асимптотически устойчива в целом) при любом k [km,kM]. И если система сравнения при каком-либо
k [km,kM] неустойчива, то система (14.3) не может быть абсолютно устойчивой в угле [km,kM].
Будем говорить, что система сравнения робастно устойчива в угле или на интервале [km,kM], если она устойчива при любом k [km,kM].
Из изложенного выше вытекает следующее необходимое условие абсолютной устойчивости: для того чтобы положение равновесия системы (10.3) было абсолютно устойчиво в угле [km,kM], необходимо, чтобы ее система сравнения была робастно устойчива в угле [km,kM].
5
Возникает вопрос: не является ли необходимое условие абсолютной устойчивости и достаточным.
Эту проблему впервые в 1949 г. рассмотрел Марк Аронович Айзерман (24 мая
1913 — 8 мая 1992). Поэтому ее называют проблемой Айзермана.
Проблема Айзермана вскоре была решена.
Николай Николаевич Красовский (род. в 1924) в 1952 г. и Виктор Александрович Плисс (род. в 1932) в 1958 г. показали, что приведенное выше необходимое условие не является достаточным: они построили системы
(модели), которые не были абсолютно устойчивы, в то время как их системы сравнения были робастно устойчивы в заданном угле.
6
Пример 14.1. Пусть передаточная функция линейной части имеет вид
Wл(p) = 1/(р+1)3. Исследовать, является ли система абсолютно устойчивой в угле
[0,10].
Решение. Проверим, выполняется ли необходимое условие абсолютной устойчивости. Для этого достаточно проверить устойчивость системы сравнения
(14.4) при k = 10:
y = Wл(p)u, u = 10 ξ, |
ξ = –y. |
Характеристическое уравнение системы сравнения при таком коэффициенте имеет вид
3 + 3 2 + 3 + 11 = 0.
Определитель Гурвица 2-го порядка отрицателен: 2 =3 3 – 11 = – 2.
Необходимое условие абсолютной устойчивости не выполняется.
7
Следовательно, нелинейная система не является абсолютно устойчивой.
14.2. Прямой метод Ляпунова исследования абсолютной устойчивости
А.И. Лурье предложил метод решения задачи абсолютной устойчивости, основанный на прямом методе Ляпунова. Идея его метода заключается в том, что для системы (14.1), (14.2) функция Ляпунова ищется в виде квадратичной формы плюс интеграл от нелинейной функции
ξ
V x xT Bx q f ξ dξ
0
B – положительно определенная матрица, q – произвольное положительное число.
Нелинейности из класса, определяемого соотношением (14.2), удовлетворяют условию f(ξ)ξ ≥ 0. Поэтому интеграл в рассматриваемой функции является неотрицательной функцией, а сама функция положительно определенной.
Задача сводится к определению такой положительно определенной матрицы B и такой положительной константы q, при которых производная по времени V x в силу уравнений системы была бы отрицательно определенной и функция V(x)
неограниченно возрастала бы при неограниченном увеличении |x|: V(x) → при
|x8| → .
В соответствии с теоремой Барбашина-Красовского в случае стационарной системы достаточно, чтобы производная V x была отрицательно полуопределена и обращалась в нуль вне начала координат на множестве, не содержащем целых траекторий.
Здесь мы не будем рассматривать способ решения задачи абсолютной устойчивости прямым методом Ляпунова в общем случае. Для иллюстрации метода ограничимся решением частной задачи.
Пусть система описывается уравнениями
y |
k |
|
u, u f ξ , ξ y |
|
|
||
p2 a p a |
2 |
||
|
1 |
|
где k, a1, a2 – положительные постоянные, а нелинейная функция удовлетворяет условию
f 0 0, |
f ξ |
, 0 |
||
ξ |
|
|||
|
|
|||
9
Запишем уравнение системы в нормальной форме, исключив переменные y и u:
x1 x2 ,
x2 a2 x1 a1 x2 kf x1 .
Функцию Ляпунова будем искать в виде
x1
V x x12 2bx1 x2 cx22 q f x1 dx1
0
где b, c – произвольные постоянные, q – произвольная положительная постоянная. Для того чтобы квадратичная форма в функции Ляпунова была положительно определена, постоянные b, c по критерию Сильвестра должны удовлетворять условию c – b2 > 0.
Найдем производную по времени в силу уравнения системы:
V x 2 x bx |
x 2 bx cx x |
2 |
qf |
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
2 |
1 |
|
|
1 |
2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x1 bx2 x2 2 bx1 cx2 a2 x1 a1 x2 kf x1 qf x1 x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
2 1 ba ca |
x x |
2 |
2 ca b x2 |
2ba x2 |
2bx kf x |
2ckx f x |
qf x |
x |
2 |
|||||||||
|
1 |
2 |
1 |
|
1 |
|
2 |
|
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
|
||
10