TAU-Lektsia_2_5

Лекция 5.

Тема 11.

Метод фазовой плоскости

1

Все системы управления являются нелинейными, т.е. описываются

нелинейными уравнениями.

Линейные системы управления являются их моделями, которые получаются путем обычной линеаризации – процедуры, состоящей в

разложении нелинейных функций в ряд Тейлора и отбрасывании нелинейных

слагаемых.

Однако такая линеаризация не всегда возможна. Если нелинейность

допускает обычную линеаризацию, то такая нелинейность называется

несущественной. В противном случае нелинейность называется

существенной. Существенными нелинейностями обладают релейные элементы. Даже в тех случаях, когда обычная линеаризация возможна, часто на конечном этапе исследования может потребоваться рассмотрение исходной

нелинейной модели.

2

11.1. Нелинейные статические характеристики. Особенности нелинейных систем

Релейные характеристики

3

Характеристика квантования по уровню

4

Кусочно-линейные характеристики

5

Кусочно-линейные характеристики

6

Кусочно-линейные характеристики

гистерезисом и насыщением

7

Нелинейные системы по сравнению с линейными обладают рядом принципиальных особенностей:

не выполняется принцип суперпозиции, и исследование нелинейной системы при нескольких воздействиях нельзя сводить к

исследованию при одном воздействии;

устойчивость и характер переходного процесса зависят от величины начального отклонения от положения равновесия;

при фиксированных внешних воздействиях возможны несколько (а

иногда и бесконечное множество) положений равновесия;

возникают свободные установившиеся процессы, которые в

линейных системах невозможны (например, автоколебания).

8

Универсальных аналитических (математических) методов исследования

нелинейных систем нет.

В процессе развития теории автоматического управления были разработаны

различные математические методы анализа и синтеза нелинейных систем,

каждый из которых применим для определенного класса систем и задач:

метод фазовой плоскости;

метод функций Ляпунова;

метод гармонической линеаризации (метод гармонического баланса);

методы исследования абсолютной устойчивости.

Любое исследование более или менее сложных нелинейных систем, как

правило, заканчивается математическим моделированием. И в этом

отношении математическое моделирование является одним из универсальных

(неаналитических) методов исследования.

9

11.2. Определение устойчивости

При рассмотрении линейных систем было принято следующее математическое определение устойчивости:

линейная система называется устойчивой, если общее решение однородного описывающего ее дифференциального уравнения

стремится к нулю при стремлении времени к бесконечности.

Это определение нельзя распространить на нелинейные системы.

Поэтому в общем случае используются другие определения

устойчивости. Существует множество различных понятий и

определений устойчивости. Мы будем рассматривать наиболее широко

используемые понятия устойчивости, основанные на определениях,

10 данных A.M. Ляпуновым.