TAU-Lektsia_2_3

В силу утверждения 8.1, если корни исходного характеристического уравнения располагаются внутри единичного круга, то корни преобразованного характеристического уравнения (8.9) располагаются в левой полуплоскости.

Таким образом, для того чтобы дискретная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни преобразованного характеристического уравнения (8.9) располагались в левой полуплоскости (имели отрицательную вещественную часть).

11

Пример 8.3. Характеристический полином дискретной системы управления имеет вид

Q*(z) = z3 – 0,1 z2 – 0,46 z – 0,08.

Определить ее устойчивость.

Решение. В данном случае

а0 = 1, а1 = – 0,1, а2 = – 0,46, а3 = – 0,08

и в соответствии с (8.10в) коэффициенты преобразованного уравнения равны

с0 = а0 – a1 + a2 – a3 =1 + 0,1 – 0,46 + 0,08 = 0,72,

с1 = 3( а0 + a3) – a1 – a2 = 3(1 – 0,08) + 0,1 + 0,46 = 3,32, с2 = 3( а0 – a3) + a1 – a2 = 3(1 + 0,08) – 0,1 + 0,46 = 3,6, с3 = а0 + a1 + a2 + a3 = 1 – 0,1 – 0,46 – 0,08 = 0,36.

Необходимое условие устойчивости выполняется: все коэффициенты преобразованного характеристического уравнения больше нуля. Определитель Гурвица 2-го порядка есть

2 c1c2 c0c3 3,32 3,6 0,72 0,36 11,69 0

12

Следовательно, система устойчива.

8.2.3. Критерий устойчивости Джури

Составим таблицу Джури, которая содержит n + 1 строк и столько же столбцов. При этом заполненные клетки имеют треугольную форму: нулевая строка содержит n + 1 заполненных клеток, а все последующие строки имеют на единицу меньше заполненных клеток, чем предыдущая строка:

………………………………………………………………………………

dn0

13

Клетки нулевой строки заполняются коэффициентами характеристического уравнения в порядке возрастания нижних индексов: d0k = ak (k = 0,1,..., n).

Элементы первой строки d1k (k = 0,1,..., n – 1) вычисляются следующим образом:

Выписываются элементы нулевой строки и под ними те же элементы в обратном порядке. Из элементов верхней строки вычитаются соответствующие элементы нижней строки, умноженные на отношение последних элементов двух выписанных строк α1 = d0n / d00 = an / a0:

d10 = a0 – α1an d11 = a1 – α1an – 1 … d1, n – 1 = a n – 1 – α1a1

Последняя разность обращается в нуль, и она отбрасывается. Поэтому первая строка содержит n элементов: на один элемент меньше, чем нулевая строка.

14

Пример 8.4. Характеристический полином дискретной системы управления имеет вид

Q* (z) z4 0,7z3 0,4z2 0,05z 0,1

Исследовать устойчивость данной системы.

Решение. Сначала проверим необходимое условие устойчивости:

Q* (1) 1 0,7 0,4 0,05 0,1 0,05 0 ( 1)4 Q* ( 1) 1 0,7 0,4 0,05 0,1 1,35 0

Необходимое условие устойчивости выполняется. Вычислим элементы таблицы Джури.

Для нулевой строки имеем

d00 = 1, d01 = – 0,7, d02 = – 0,4, d03 = 0,05, d04 = 0,1.

Ниже приводится вычисление элементов таблицы Джури для остальных строк, кроме последней:

16

и они положительны. Так как выполняется необходимое условие устойчивости, последний элемент нулевого столбца также будет положительным. Следовательно, система устойчива.

17

Разделы изучаемые студентами самостоятельно:

• Частотный критерий устойчивости

Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т.1. Линейные системы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. (стр. 242-247)

18

8.4. Влияние квантования по времени на устойчивость

Рассмотрим влияние дискретизации по времени на устойчивость на примере

Система без дискретного элемента, т.е. непрерывная система, устойчива при любом положительном k в обоих случаях.

В первом случае передаточная функция приведенной непрерывной части есть

19

Дискретная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Отсюда для характеристического уравнения замкнутой системы имеем z e T0 /T1 k(1 e T0 /T1 ) 0

Коэффициенты преобразованного характеристического уравнения (см. (8.10а))

равны

c0 a0 a1 1 e T0 /T1 k(1 e T0 /T1 ) c1 a0 a1 1 e T0 /T1 k(1 e T0 /T1 )

и условие устойчивости принимает вид

20