17. Поток случайных событий. Поток Пуассона.

Когда событий много и они следуют друг за другом, то они образуют поток. Заметим, что события при этом должны быть однородными, то есть похожими чем-то друг на друга. Например, появление водителей на АЗС, желающих заправить свой автомобиль. То есть, однородные события образуют некий ряд. При этом считается, что статистическая характеристика этого явления (интенсивность потока событий) задана. Интенсивность потока событий указывает, сколько в среднем происходит таких событий за единицу времени. Но когда именно произойдет каждое конкретное событие надо определить методами моделирования. Важно, что, когда мы сгенерируем, например, за 200 часов 1000 событий, их количество будет равно примерно величине средней интенсивности появления событий 1000/200 = 5 событий в час, что является статистической величиной, характеризующей этот поток в целом.

Случайные потоки бывают:

ординарные: вероятность одновременного появления двух и более событий равна нулю;

стационарные: частота появления событий λ(t) = const(t);

без последействия: вероятность появления случайного события не зависит от момента совершения предыдущих событий.

За эталон потока в моделировании принято брать пуассоновский поток.

Пуассоновский поток — это ординарный поток без последействия.

Вероятность того, что за интервал времени (t0,t0+τ) произойдет m событий, определяется из закона Пуассона

Если -стационарный поток

Для простейшего потока (стационарного) вероятность того, что за время tпроизойдет m событий, определяется из закона Пуассона:

где λ - параметр распределения.

18. Поток случайных событий. Потоки Эрланга.

Про поток случайных событий в вопросе №17

Поток Эрланга k-го порядка — это поток случайных событий, получающийся, если в простейшем случайном потоке сохранить каждое k-е событие, а остальные отбросить. Порядок потока — мера последействия потока. То есть обратной величиной к мере случайности потока является его порядок.

λk = λ/k — интенсивность потока Эрланга k-го порядка, где λ — интенсивность простейшего потока Пуассона, а λk интенсивность просеянного k раз потока, то есть в k раз меньше.

Параметры закона Эрланга вычисляются по формулам: Mk = 1/λk, σk = 1/sqrt(k)/λk

Обратите внимание, что в потоке Эрланга M ≠ σ, то есть в потоках с последействием равенство M и σ невозможно.

Более того, при k –> ∞ событие происходит строго в размеренное время, так как σ –> 0.

Поток Эрланга 1-го порядка: m = σ1 — поток без последействия;

Поток Эрланга i-го порядка: m ≠ σ2, при этом (σ2 > 0) и (σ1 > σ2) разброс уменьшается, последействие увеличивается;

Поток Эрланга ∞-го порядка: m ≠ σ = 0 — регулярный поток.

Из этого следует, что порядок потока Эрланга — есть мера последействия потока.

Пример. Рассмотрим пример выхода из строя лампочек на опоре уличного освещения. Примем время наблюдения 100 лет. Из паспортных данных на эти изделия известно, что среднее время работы изделия на отказ составляет 1.5 года; среднеквадратическое отклонение — 0.5 года.

То есть, задано: Mk = 1.5, σk = 0.5.

Поскольку Mk ≠ σk, то k ≠ 1, то есть мы имеем дело с потоком с последействием. Интенсивность этого потока λk = 1/Mk = 1/1.5 = 0.67. Вычисленная интенсивность потока говорит нам о том, что в течение года в среднем перегорает 0.67 лампочки или 67 лампочек за 100 лет.

Так как σk = 1/sqrt(k)/λk, и равна 0.5, то вычислим порядок потока Эрланга: k = 1/σ2/λk2 = 1/0.52/0.672 ≈ 9.

Вычислим интенсивность порождающего потока Пуассона λ = λk · k = 0.67 · 9 = 6.