- •ВВЕДЕНИЕ
- •МОДУЛЬ I: ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
- •1. Механическое движение
- •1.1. Движение материальной точки
- •1.1.1. Скорость
- •1.1.2. Ускорение
- •1.1.3. Движение по окружности
- •1.1.4. Равномерное движение
- •1.1.6. Равноускоренное движение
- •1.2. Движение твердого тела
- •1.3. Динамика материальной точки
- •1.3.1. Первый закон Ньютона
- •1.3.2. Второй закон Ньютона
- •1.3.3. Третий закон Ньютона
- •1.4. Движение системы тел
- •1.4.1. Закон изменения и сохранения импульса системы тел
- •1.4.2. Центр инерции и центр масс системы тел
- •1.4.3. Уравнение движения центра масс
- •1.4.4. Движение тела переменной массы
- •1.5. Силовое поле
- •1.5.1. Центральное и однородное силовые поля
- •1.5.2. Энергия. Работа сил поля. Мощность
- •1.5.4. Кинетическая энергия
- •1.5.5. Потенциальная энергия
- •1.5.6. Закон измнения и сохранения механической энергии системы тел
- •1.5.7. Потенциальная кривая
- •1.5.8. Соударение тел
- •1.6. Неинерциальные системы отсчета
- •1.6.1. Силы инерции
- •1.6.2. Принцип эквивалентности
- •1.6.3. Сила тяжести и вес
- •1.7. Элементы теории относительности
- •1.7.1. Постулаты Эйнштейна
- •1.7.2. Преобразования Лоренца
- •1.7.3. Относительность одновременности событий
- •1.7.4. Относительность длин
- •1.7.5. Пространственно-временной интервал
- •1.7.6. Релятивистский закон сложения скоростей
- •1.7.7. Релятивистская масса
- •1.7.8. Основной закон релятивисткой механики
- •1.7.9. Связь массы, импульса и энергии в релятивистской механике
- •1.8. Динамика твердого тела
- •1.8.1. Момент силы
- •1.8.2. Момент пары сил
- •1.8.3. Момент импульса и момент инерции материальной точки
- •1.8.4. Момент инерции твердого тела
- •1.8.5. Свободные оси вращения. Главные оси инерции
- •1.8.6. Тензор инерции тела
- •1.8.7. Работа, совершаемая при вращательном движении
- •1.8.8. Кинетическая энергия вращающегося тела
- •1.8.9. Основной закон динамики вращательного движения
- •1.8.10. Уравнение моментов
- •1.8.12. Гироскопы
- •1.9. Элементы динамики сплошных сред
- •1.9.1. Неразрывность струи
- •1.9.2. Уравнение Бернулли
- •1.9.3. Движение тел в жидкостях и газах
- •МОДУЛЬ II: КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
- •2. Механические колебания
- •2.1. Гармонические колебания
- •2.1.1. Характеристики и график гармонических колебаний
- •2.1.2. Метод векторных диаграмм (вращающихся амплитуд)
- •2.1.3. Сложение колебаний
- •2.1.4. Скорость и ускорение при гармонических колебаниях
- •2.1.5. Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний
- •2.1.6. Маятники
- •2.1.7. Энергия гармонического осциллятора
- •2.1.8. Затухающие колебания
- •2.1.9. Вынужденные колебания. Резонанс
- •2.2. Волны
- •2.2.1. Уравнение плоской бегущей волны
- •2.2.2. Волновое уравнение
- •2.2.3. Энергия волны
- •2.2.4. Интерференция волн
- •2.2.5. Эффект Доплера
|
67 |
|
||
|
1 |
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
1 v2 |
||||
|
||||
|
|
c2 . |
С учѐтом найденных коэффициентов преобразования Лоренца приобретают вид:
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x vt) |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x vt) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
v |
2 |
|
|
|
|
|
v |
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 c2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 c2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
t |
|
1 |
|
|
|
|
(t |
v |
x) |
t |
|
1 |
|
|
|
|
(t |
v |
x ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
c2 |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7.3.Относительность одновременности событий
Втеории относительности ход времени в различных инерциальных системах отсчѐта различен. Соответственно относителен и промежуток времени между двумя событиями. В частности, относительна одновременность двух событий, происходящих в разных точках пространства. События, одновременные в одной инерциальной системе отсчѐта, могут быть не одновременны
вдругих инерциальных системах отсчѐта, движущихся относительно первой.
|
|
Пусть в движущейся системе отсчѐта K |
|
в точках с координатами |
|
|||||
|
|
|
x1 и |
|||||||
|
произошли два каких-либо события, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
соответственно, в моменты времени t1 |
|||||||||
и |
|
. Этим событиям в неподвижной системе K соответствуют моменты вре- |
||||||||
t2 |
||||||||||
мени |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|||||
|
|
t1 (t1 |
x1 ) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|||||
|
|
t2 (t2 |
x2 ). |
|
|
Вычитая из нижнего равенства верхнее, получим промежуток времени между событиями
|
|
v |
|
|
|
|
|
||||
t2 t1 (t2 |
t1 ) c2 |
(x2 |
x1 ). |
(1.9) |
|
|
68 |
|
Отсюда видно, |
что, если в системе K произошли два одновременных |
||
|
|
|
|
события (t1 |
t2 ) в разных точках пространства ( x1 |
x2 ), эти события не будут |
одновременными в системе K (t1 t2 ).
События, связанные причинно-следственной связью, не могут совершаться одновременно ни в одной системе отсчѐта. В любой инерциальной системе отсчѐта событие следствие всегда совершается позже, чем событие причина. Пусть в движущейся системе K в момент времени t1 в точке с
координатой |
|
произошѐл выстрел. Пуля попала в мишень с координатой |
|
||||
x1 |
x2 |
||||||
|
|
|
|
. Скорость пули в системе K |
|
определится соотноше- |
|
в момент времени t2 |
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
нием |
u |
|
x2 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|
t2 |
t1 |
принимает вид:
t2 t1.
. Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 |
x1 |
(x2 x1) |
||||
|
|
|
|
|
|
vu |
|
|
|
|
|
c2 |
|
||
t2 t1 (t2 |
t1)(1 |
) . |
, то
Так
|
|
|
|
|
|
|
и (1.9) |
x2 |
x1 |
u (t2 |
t1) , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
как vu c |
2 |
и |
t2 t1 |
, то и |
|||
|
Рассмотрим зависимость промежутка времени между событиями от выбора системы отсчѐта. Пусть в движущейся инерциальной системе отсчѐта K два рассматриваемых события 1 и 2 происходят в одной и той же неподвиж-
ной относительно K |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Про- |
|
точке А ( x1 |
x2 ) в разные моменты времени t1 |
и t2 |
||||||
межуток времени между этими событиями |
|
|
. Время 0 |
, измеряемое |
|||||
0 t2 |
t1 |
по часам, движущимся вместе с данным объектом, называется собственным временем объекта. Относительно неподвижной системы отсчѐта K точка A движется со скоростью v , как и система K . Промежуток времени между со-
бытиями 1 и |
2 по часам системы |
K , как следует из (1.9), равен |
||||
|
|
|
|
|
|
|
t2 t1 (t2 |
t1) , т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
1 v2 |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
c2 |
|
|
Эта закономерность свидетельствует о существовании релятивистского эффекта замедления хода времени в движущейся инерциальной системе отсчѐта по сравнению с неподвижной. Часы, движущиеся со скоростью v отно-
сительно неподвижной системы отсчета, идут медленнее в |
1 |
|
раз, чем |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
1 v2 |
|||||
|
|
|
|||
|
|
c2 |
|
|
неподвижные. Соответственно, все физические процессы в движущейся системе отсчѐта протекают медленнее, чем в неподвижной.
69
1.7.4. Относительность длин
Из преобразований Лоренца следует, что линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчѐта, уменьшается в направлении движения. Это изменение продольного размера тела при его движении называется лоренцевым сокращением.
Пусть |
0 – длина стержня, покоящегося в системе отсчѐта K . Стержень |
расположен |
вдоль оси x . Для измерения его длины наблюдатель в системе |
K |
|
|
|
|
|
может отмечать координаты его концов x1 |
и x2 в разные моменты времени |
||
|
|
|
|
|
t1 и t2 . Длина стержня в этой системе |
0 x2 x1 . Длина того же стержня в |
|||
системе отсчѐта K, относительно которой он движется вместе с системой K , |
||||
равна разности координат концов стержня x2 |
и x1 , измеренных в один и тот |
же момент времени t2 t1 . Запишем преобразования Лоренца для координат
|
и |
|
|
|
x2 |
x1 . |
|
|
|
|
|
|
|
(x2 vt2 ) |
|
|
x2 |
||
|
|
|
|
(x1 vt1 ) |
|
|
x1 |
Вычитая из верхнего равенства нижнее, получим
|
|
(x2 |
x1) v(t2 t1). |
x2 |
x1 |
Так как t2 t1 0 , то |
0 или |
0 1 v2 c2 .
Как видим, размеры тела относительны. Они максимальны в той инерциальной системе отсчѐта, относительно которой тело покоится. Эти размеры тела называются его собственными размерами.
Поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчѐта.
1.7.5. Пространственно-временной интервал
Интервалом или пространственно-временным интервалом между дву-
мя событиями называется величина
70
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s12 |
|
|
(t12 ) |
|
( 12 ) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
– промежуток времени между этими событиями (по часам сис- |
|||||||||||||||||
где t12 |
t2 |
t1 |
|||||||||||||||||||||
темы |
K |
|
, а |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
– расстояние между точка- |
||
|
12 |
(x2 |
x1) |
|
( y2 |
y1) |
|
(z2 |
z1) |
|
|
ми, в которых совершаются эти два события.
Из преобразований Лоренца следует, что интервал между двумя событиями инвариантен по отношению к выбору инерциальной системы отсчѐта, т. е. не изменяется при переходе от движущейся инерциальной системы отсчѐта K к неподвижной системе K:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s12 inv. , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s12 |
|
|
|
|
|
|
|
||
где s |
c2 (t |
|
)2 |
( |
12 |
)2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
12 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1.7.6. Релятивистский закон сложения скоростей |
|
|
|
||||||||||||
|
Пусть |
|
|
|
материальная |
точка |
движется |
со |
|
скоростью |
||||||||||||
|
|
|
dy |
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u |
|
i |
|
j |
|
k в движущейся системе отсчѐта K . В неподвижной |
||||||||||||||||
dt |
dt |
dt |
||||||||||||||||||||
системе отсчѐта K скорость этой точки запишется как |
u |
dx |
i |
dy |
j |
dz |
k . |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
dt |
|
dt |
Используя преобразования Лоренца, найдѐм связь между проекциями скоростей точки на оси координат в системах K и K . Запишем преобразования Лоренца для бесконечно малого промежутка времени:
dx (dx |
|
vdt) |
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
dt (dt |
|
c |
2 dx ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда ux |
|
|
(dx vdt ) |
. Разделив каждый член этой дроби на dt и учи- |
|||||||
|
dt |
(dt |
|
|
v |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|||
тывая, что |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dt |
ux , получим: |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|