2. Закон сохранения момента импульса

Пусть имеется система n тел, взаимодействующих только друг с другом. Внешние силы либо отсутствуют, либо сумма моментов этих сил равна нулю. Под действием этих сил тела могут участвовать как в поступательном, так и во вращательном движении.

Запишем для каждого тела уравнение динамики (уравнение моментов):

.

Сложим левые и правые части этих уравнений. В левой части сумма моментов сил взаимодействия согласно п. 1.14.1.1. равна нулю. В правой части сумма производных равна производной суммы. Тогда , и

Назовем векторную сумму моментов импульсов тел, входящих в систему, моментом импульса системы и сделаем вывод. Во всякой изолированной системе тел момент импульса системы есть постоянная величина.

2. Гироскопы

Гироскопом (или волчком) называется массивное симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг оси симметрии (рис. 1.69). Собственный момент импульса гироскопанаправлен, как и вектор, вдоль оси гироскопа. При попытке вызвать поворот оси наблюдается гироскопический эффект. Он заключается в следующем. Попробуем повернуть ось гироскопа, действуя на нее парой сили, перпендикулярных к оси вращения гироскопа. Под действием этой пары сил ось гироскопа, казалось бы, должна повернуться вокруг горизонтальной оси. Однако ось гироскопа поворачивается вокруг горизонтальной оси. Такое поведение гироскопа полностью соответствует закону динамики вращательного движения. Момент пары силнаправлен вдоль оси. За времямомент импульса гироскопаполучит приращение, имеющее такое же направление, как и вектор, т. е. вдоль оси.

Рис. 1.69.

За время dt вектор , а, следовательно, и связанная с ним ось гироскопа повернутся вокруг осина угол равный. Учитывая, что , угол поворота, а угловая скорость прецессии (поворота) оси гироскопа. Перепишем это соотношение в виде:. Векторы,ивзаимно перпендикулярны (векторнаправлен вдоль оси), поэтому связь между ними можно записать в векторном виде

. (1.13)

Рассмотрим эффект, возникающий при вынужденном вращении с угловой скоростью кольца, во внутреннем пазу которого закреплена в подшипниках ось гироскопа (рис. 1.70). Приращение момента импульсагироскопа создает момент пары силвзаимодействия между осью гироскопа и подшипниками. Ось же гироскопа в соответствии с третьим законом Ньютона будет действовать на подшипники с противоположными силами (и), эти силы называют гироскопическими силами. Они создают гироскопический момент сил, действующих на подшипники, противоположный моменту сил, действующему на ось гироскопа. То естьили. Под действием этого момента подшипники с осью гироскопа будут поворачиваться в пазу кольца, в данном случае против часовой стрелки, до тех пор, пока ось гироскопа не установится параллельно оси вращения кольца. При этом направление собственного вращения гироскопа совпадает с направлением вращения кольца. Векторыистанут параллельными, а момент гироскопических силстанет равным нулю.

Рис. 1.70.

Подобный гироскопический эффект, связанный с возникновением гироскопического давления на подшипники, наблюдается, например, у роторов турбин на кораблях при поворотах и качке, у винтовых самолетов при виражах и т. п.

В результате гироскопического эффекта гироскоп стремится расположить ось своего вращения таким образом, чтобы она образовала возможно меньший угол с осью вынужденного вращения обоймы, в которой находятся подшипники оси гироскопа и чтобы оба вращения совершались в одном и том же направлении.

Рассмотрим гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться вокруг некоторой точки , допустим, точки опоры оси гироскопа на горизонтальную поверхность (рис. 1.71). Расстояние от точкидо центра массгироскопа равно. Ось гироскопа отклонена от вертикального положения на угол. Тогда на ось гироскопа действует вектор момента силы тяжести направленный перпендикулярно плоскости, образованной осью гироскопа и вертикалью. На рис. 1.71 вектор направлен за плоскость чертежа. В ту же сторону направлен и вектор . В результате вектор, а, следовательно, и ось гироскопа будут прецессировать, т. е. вращаться вокруг вертикали с угловой скоростью, направленной вверх. Векторы,иобразуют правовинтовую систему.

Выразив момент силы из уравнения (1.13) (₎, и приравняв его к моменту силы тяжести относительно точки (см. рис. 1.71,), получим уравнение, из которого определим угловую скорость прецессии гироскопа

.

Если точку опоры поместить в центр тяжестигироскопа, то момент силы тяжести станет равным нулю, и мы получим так называемый свободный симметричный волчок. Это можно осуществить с помощью карданова подвеса. Карданов подвес состоит из двух колец, внешнее из которых свободно поворачивается вокруг вертикальной оси (оси), а внутреннее – вокруг горизонтальной оси (оси). Ось гироскопа направлена вдоль осиy и опирается на внутреннее кольцо, что обеспечивает ей возможность свободно поворачиваться в пространстве в любых направлениях. В силу отсутствия момента внешних сил выполняется закон сохранения момента импульса вращающегося гироскопа. Вектор , а, следовательно, и ось вращения гироскопа сохраняют своё направление в пространстве, как бы ни перемещался карданов подвес. На этом принципе устроен гироскопический компас.

Рис. 1.71.