![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •Модуль I основы механики
- •Движение материальной точки
- •Механическое движение
- •Скорость
- •Ускорение
- •Движение по окружности
- •Виды движений материальной точки
- •Равномерное движение
- •Равномерное прямолинейное движение
- •1.5.3. Движение по произвольной траектории с постоянной тангенциальной составляющей вектора ускорения aτ.
- •Равноускоренное движение с изменяющейся тангенциальной составляющей ускорения
- •Прямолинейное равноускоренное движение
- •Виды движения твердого тела
- •Динамика материальной точки. Законы ньютона
- •1.7.1. Первый закон Ньютона
- •1.7.2. Второй закон Ньютона
- •1.7.3. Третий закон Ньютона
- •Движение системы тел
- •1.8.1. Закон изменения и сохранения импульса системы тел
- •1.8.2. Центр инерции системы тел. Центр масс
- •1.8.3. Уравнение движения центра масс
- •Движение тела переменной массы
- •Силовое поле
- •1.9.1. Центральное силовое поле
- •1.9.2. Однородное силовое поле
- •Энергия. Работа сил поля
- •1.10.1. Механическая работа. Мощность
- •1.10.2. Потенциальные силовые поля. Консервативные и диссипативные силы
- •1.10.3. Кинетическая энергия
- •Потенциальная энергия
- •Потенциальная энергия упругих сил
- •Градиент скалярного поля
- •Векторы силы и градиента потенциальной энергии равны по модулю и направлены в противоположные стороны.
- •Потенциальная энергия взаимодействия
- •Закон сохранения механической энергии
- •Потенциальная кривая
- •Соударение тел
- •Неинерциальные системы отсчета
- •1.11.1. Силы инерции
- •1.11.2. Принцип эквивалентности
- •1.11.3. Сила тяжести, вес тела, невесомость
- •Элементы теории относительности
- •1.12.1. Постулаты Эйнштейна
- •1.12.2. Преобразования Лоренца
- •1.12.3. Относительность одновременности
- •1.12.4. Относительность длин
- •1.12.5. Интервал
- •1.12.6. Релятивистский закон сложения скоростей
- •1.12.7. Зависимость массы от скорости
- •1.12.8. Основной закон релятивисткой механики
- •1.12.9. Связь массы, импульса и энергии релятивистской частицы
- •Динамика вращательного движения твердого тела
- •1.13.1. Момент силы
- •1.13.1.1. Момент силы относительно точки
- •1.13.1.2. Момент пары сил
- •1.13.1.3. Момент силы относительно оси вращения
- •Момент импульса твердого тела относительно оси вращения (собственный момент импульса)
- •Момент импульса материальной точки
- •1.13.2.2. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения
- •1.13.2.3. Момент инерции кольца
- •1.13.2.4. Момент инерции сплошного цилиндра (диска)
- •1.13.2.5. Момент инерции однородного стержня
- •1.13.2.6. Теорема Штейнера
- •Свободная ось вращения. Главные оси инерции
- •Работа, совершаемая при вращательном движении
- •Кинетическая энергия вращающегося тела
- •Основной закон динамики вращательного движения
- •Уравнение моментов
- •Закон сохранения момента импульса
- •Гироскопы
- •Элементы динамики сплошных сред
- •1.14.1. Неразрывность струи
- •Уравнение Бернулли
- •Ламинарное и турбулентное течения. Движение тел в жидкостях и газах
Работа, совершаемая при вращательном движении
Рассмотрим
произвольное тело, которое совершает
вращательное движение под действием
тангенциальной силы
(рис.1.67). При
повороте на некоторый угол
совершается
работа
, где
. Тогда
. Учитывая, что
есть момент
силы относительно оси
, получим:
.
Рис. 1.67
Для
нахождения полной работы проинтегрируем
это выражение:.
ЕслиMz
=
const.,
то в этом случае
.
Кинетическая энергия вращающегося тела
Разобьем
мысленно вращающееся твёрдое тело на
систему материальных точек. Кинетическая
энергия каждой материальной точки
. Учитывая, что
, получим
. Тогда
кинетическая энергия вращающегося тела
(угловая
скорость постоянна для всех материальных
точек тела и вынесена за знак интеграла).
Интеграл
есть момент
инерции этого тела относительно оси
, т. е.
.
Умножив
числитель и знаменатель на момент
инерции
, и, учитывая,
что
получим:
.
Если тело катится, то оно участвует в двух движениях: поступательном движении центра масс и во вращательном движении вокруг оси, проходящей через этот центр масс. Кинетическая энергия катящегося тела
.
Здесь
– линейная
скорость центра масс,I0
– момент инерции тела относительно
оси, проходящей через центр масс.
Основной закон динамики вращательного движения
Тангенциальная
сила
,
совершая работу dA
= Mzdφ,
увеличивает кинетическую энергию
вращающегося тела на
.
Возьмём
дифференциал кинетической энергии
вращения
:
. Получим:
. Разделим обе
части этого равенства на промежуток
времени
. Тогда
. Учитывая, что
есть модуль
угловой скоростиω,
после сокращений получим
,
где
– проекция
вектора углового ускорения на осьz.
Векторное равенство
справедливо
в случае, когда вектор момента силы
направлен вдоль оси вращения (рис. 1.68).
Полученная
формула представляет собой основной
закон динамики вращательного движения.
Для вращательного движения этот закон
играет роль второго закона Ньютона
.
Отсюда вытекает физический смысл момента инерции тела относительно оси вращения. Если на два тела, обладающих разными моментами инерции, подействовать одним и тем же моментом силы, то тело, обладающее большим моментом инерции, получит меньшее угловое ускорение. Момент инерции есть мера инертности тела для вращательного движения.
Рис. 1.68.
Уравнение моментов
В центральном поле тяготения многие тела (планеты, спутники) движутся по замкнутым траекториям – орбитам. Законом динамики орбитального движения тела является второй закон Ньютона
.
Выберем
некоторую точку О.
Умножим векторно обе части этого
равенства слева на радиус-вектор
, проведенный
из точки
к центру масс
тела
. (1.10)
Орбитальный
момент импульса тела
. Возьмем
производную по времени обеих частей
этого равенства:
. Вектор
равен скорости
движения центра масс тела и совпадает
по направлению с вектором импульса тела
, поэтому
, и, следовательно
.
(1.11)
Сравнивая
(1.10) и (1.11) и учитывая, что
есть момент
равнодействующей силы относительно
точки
, получим
.
(1.12)
Момент
равнодействующей силы относительно
некоторой точки
выбранной
системы отсчета равен производной по
времени орбитального момента импульса
тела относительно той же точки
.
Если
тело одновременно участвует и в
поступательном, и во вращательном
движении, то необходимо учитывать как
орбитальный момент импульса, так и
собственный момент импульса тела. То
есть полный момент импульса тела будет
равен сумме этих моментов
, а закон
динамики имеет вид (1.12),
где
– результирующий
момент всех сил, действующих на тело,
– полный
момент импульса тела.