- •Введение
- •Модуль I основы механики
- •Движение материальной точки
- •Механическое движение
- •Скорость
- •Ускорение
- •Движение по окружности
- •Виды движений материальной точки
- •Равномерное движение
- •Равномерное прямолинейное движение
- •1.5.3. Движение по произвольной траектории с постоянной тангенциальной составляющей вектора ускорения aτ.
- •Равноускоренное движение с изменяющейся тангенциальной составляющей ускорения
- •Прямолинейное равноускоренное движение
- •Виды движения твердого тела
- •Динамика материальной точки. Законы ньютона
- •1.7.1. Первый закон Ньютона
- •1.7.2. Второй закон Ньютона
- •1.7.3. Третий закон Ньютона
- •Движение системы тел
- •1.8.1. Закон изменения и сохранения импульса системы тел
- •1.8.2. Центр инерции системы тел. Центр масс
- •1.8.3. Уравнение движения центра масс
- •Движение тела переменной массы
- •Силовое поле
- •1.9.1. Центральное силовое поле
- •1.9.2. Однородное силовое поле
- •Энергия. Работа сил поля
- •1.10.1. Механическая работа. Мощность
- •1.10.2. Потенциальные силовые поля. Консервативные и диссипативные силы
- •1.10.3. Кинетическая энергия
- •Потенциальная энергия
- •Потенциальная энергия упругих сил
- •Градиент скалярного поля
- •Векторы силы и градиента потенциальной энергии равны по модулю и направлены в противоположные стороны.
- •Потенциальная энергия взаимодействия
- •Закон сохранения механической энергии
- •Потенциальная кривая
- •Соударение тел
- •Неинерциальные системы отсчета
- •1.11.1. Силы инерции
- •1.11.2. Принцип эквивалентности
- •1.11.3. Сила тяжести, вес тела, невесомость
- •Элементы теории относительности
- •1.12.1. Постулаты Эйнштейна
- •1.12.2. Преобразования Лоренца
- •1.12.3. Относительность одновременности
- •1.12.4. Относительность длин
- •1.12.5. Интервал
- •1.12.6. Релятивистский закон сложения скоростей
- •1.12.7. Зависимость массы от скорости
- •1.12.8. Основной закон релятивисткой механики
- •1.12.9. Связь массы, импульса и энергии релятивистской частицы
- •Динамика вращательного движения твердого тела
- •1.13.1. Момент силы
- •1.13.1.1. Момент силы относительно точки
- •1.13.1.2. Момент пары сил
- •1.13.1.3. Момент силы относительно оси вращения
- •Момент импульса твердого тела относительно оси вращения (собственный момент импульса)
- •Момент импульса материальной точки
- •1.13.2.2. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения
- •1.13.2.3. Момент инерции кольца
- •1.13.2.4. Момент инерции сплошного цилиндра (диска)
- •1.13.2.5. Момент инерции однородного стержня
- •1.13.2.6. Теорема Штейнера
- •Свободная ось вращения. Главные оси инерции
- •Работа, совершаемая при вращательном движении
- •Кинетическая энергия вращающегося тела
- •Основной закон динамики вращательного движения
- •Уравнение моментов
- •Закон сохранения момента импульса
- •Гироскопы
- •Элементы динамики сплошных сред
- •1.14.1. Неразрывность струи
- •Уравнение Бернулли
- •Ламинарное и турбулентное течения. Движение тел в жидкостях и газах
Векторы силы и градиента потенциальной энергии равны по модулю и направлены в противоположные стороны.
Поясним это на простых примерах. Вблизи поверхности Земли считаем поле силы тяжести однородным. Поверхности уровня потенциальной энергии представляют собой параллельные горизонтальные плоскости. Потенциальная энргия Wп = mgh растет с высотой, следовательно, нормаль n к поверхностям уровня следует направить вертикально вверх (рис. 1.34, a), и dn = dh. В ту же сторону направлен и вектор градиента потенциальной энергии grad Wп. Сила тяжести направлена в противоположную сторону, т.е. вниз. По модулю оба вектора равны изменению потенциальной энергии на единицу длины в направлении нормали :
Вдали от поверхности Земли рассматриваем гравитационное поле как центральное. Поверхности уровня потенциальной энергии представляют собой сферы, центры которых совпадают с центром Земли (рис. 1.34, б). Потенциальная энергия тела массой m равна и возрастает по мере
удаления от Земли (r – расстояние до ее центра). Нормаль к сферическим поверхностям направлена вдоль радиальных линий наружу (dn = dr) и указывает направление вектора grad Wп. Сила тяготения направлена к центру Земли,.
Рис. 1.34.
Потенциальная энергия взаимодействия
Пусть имеется некоторая система взаимодействующих тел (см. рис. 1.35), где – равнодействующая внутренних сил, действующих на i-е тело.
Потенциальная энергия взаимодействия тел системы – это физическая величина, равная работе, совершаемой силами взаимодействия при изменении расположения тел из данного состояния в состояние, в котором потенциальная энергия взаимодействия условно принимается равной нулю. Например, в состояние, когда тела будут бесконечно удалены друг от друга.
Рис. 1.35.
Закон сохранения механической энергии
Рассмотрим систему, состоящую из n взаимодействующих частиц (рис. 1.36). Силы взаимодействия будем считать консервативными. Эта система находится во внешнем потенциальном силовом поле. Пусть на частицы действуют также диссипативные силы.
Рис. 1.36.
Применим к каждой частице второй закон Ньютона. Для i-й частицы:
,
где – сила, действующая со стороны внешнего потенциального поля,– равнодействующая внутренних консервативных сил,– диссипативная сила.
Умножим скалярно левую и правую части этого равенства на перемещение i-й частицы . Учитывая, что, получим:
.
Правая часть равенства представляет собой дифференциал кинетической энергии, т. е.
.
Просуммируем такие равенства по всем частицам системы:
.
Первое слагаемое есть работа сил внешнего потенциального поля по перемещению частиц системы. Она равна уменьшению потенциальной энергии этих частиц во внешнем поле: . Второе слагаемое дает работу внутренних сил взаимодействия частиц, равную уменьшению потенциальной энергии взаимодействия. Третье слагаемое– работа неконсервативных сил.
Стоящая в правой части равенства сумма дифференциалов есть дифференциал суммы, который равен изменению кинетической энергии частиц системы, т. е.. Таким образом, приходим к тому, что
,
,
или
.
Выражение в скобках является полной механической энергией частиц системы W. Если нет неконсервативных сил , тои,cледовательно,
Сформулируем закон сохранения механической энергии системы тел.
Полная механическая энергия системы тел, на тела которой действуют только консервативные силы, остаётся постоянной.
Если на тела системы действуют неконсервативные силы, безразлично, внутренние или внешние, то работа этих сил равна изменению механической энергии системы.