![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •Модуль I основы механики
- •Движение материальной точки
- •Механическое движение
- •Скорость
- •Ускорение
- •Движение по окружности
- •Виды движений материальной точки
- •Равномерное движение
- •Равномерное прямолинейное движение
- •1.5.3. Движение по произвольной траектории с постоянной тангенциальной составляющей вектора ускорения aτ.
- •Равноускоренное движение с изменяющейся тангенциальной составляющей ускорения
- •Прямолинейное равноускоренное движение
- •Виды движения твердого тела
- •Динамика материальной точки. Законы ньютона
- •1.7.1. Первый закон Ньютона
- •1.7.2. Второй закон Ньютона
- •1.7.3. Третий закон Ньютона
- •Движение системы тел
- •1.8.1. Закон изменения и сохранения импульса системы тел
- •1.8.2. Центр инерции системы тел. Центр масс
- •1.8.3. Уравнение движения центра масс
- •Движение тела переменной массы
- •Силовое поле
- •1.9.1. Центральное силовое поле
- •1.9.2. Однородное силовое поле
- •Энергия. Работа сил поля
- •1.10.1. Механическая работа. Мощность
- •1.10.2. Потенциальные силовые поля. Консервативные и диссипативные силы
- •1.10.3. Кинетическая энергия
- •Потенциальная энергия
- •Потенциальная энергия упругих сил
- •Градиент скалярного поля
- •Векторы силы и градиента потенциальной энергии равны по модулю и направлены в противоположные стороны.
- •Потенциальная энергия взаимодействия
- •Закон сохранения механической энергии
- •Потенциальная кривая
- •Соударение тел
- •Неинерциальные системы отсчета
- •1.11.1. Силы инерции
- •1.11.2. Принцип эквивалентности
- •1.11.3. Сила тяжести, вес тела, невесомость
- •Элементы теории относительности
- •1.12.1. Постулаты Эйнштейна
- •1.12.2. Преобразования Лоренца
- •1.12.3. Относительность одновременности
- •1.12.4. Относительность длин
- •1.12.5. Интервал
- •1.12.6. Релятивистский закон сложения скоростей
- •1.12.7. Зависимость массы от скорости
- •1.12.8. Основной закон релятивисткой механики
- •1.12.9. Связь массы, импульса и энергии релятивистской частицы
- •Динамика вращательного движения твердого тела
- •1.13.1. Момент силы
- •1.13.1.1. Момент силы относительно точки
- •1.13.1.2. Момент пары сил
- •1.13.1.3. Момент силы относительно оси вращения
- •Момент импульса твердого тела относительно оси вращения (собственный момент импульса)
- •Момент импульса материальной точки
- •1.13.2.2. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения
- •1.13.2.3. Момент инерции кольца
- •1.13.2.4. Момент инерции сплошного цилиндра (диска)
- •1.13.2.5. Момент инерции однородного стержня
- •1.13.2.6. Теорема Штейнера
- •Свободная ось вращения. Главные оси инерции
- •Работа, совершаемая при вращательном движении
- •Кинетическая энергия вращающегося тела
- •Основной закон динамики вращательного движения
- •Уравнение моментов
- •Закон сохранения момента импульса
- •Гироскопы
- •Элементы динамики сплошных сред
- •1.14.1. Неразрывность струи
- •Уравнение Бернулли
- •Ламинарное и турбулентное течения. Движение тел в жидкостях и газах
Потенциальная энергия упругих сил
По
определению потенциальной энергии
. Согласно
закону Гука
(рис.
1.31), и
Рис. 1.31.
.
Примем,
что в недеформированном состоянии
(x = 0)
пружина имеет потенциальную энергию
равную нулю, тогда постоянная интегрирования
C
равна нулю ().
Потенциальная энергия упругих сил:
.
Графиком зависимости потенциальной энергии пружины от величины деформации х будет парабола.
Градиент скалярного поля
Скалярным
полем
называют область пространства, каждая
точка которого характеризуется некоторой
скалярной величиной, например,
температурой, освещенностью или значением
потенциальной энергии материальной
точки в силовом поле.
Поверхностью
уровня
скалярного поля называют совокупность
точек пространства, в которых скалярная
величина имеет одно и то же значение.
Например, поверхностью уровня потенциальной
энергии тела в гравитационном поле
Земли является сфера (рис. 1.32).
и
, когда
Чем большеr,
тем больше значение потенциальной
энергии.
Рис. 1.32.
Силы
поля перпендикулярны поверхности
уровня. Действительно, при перемещении
по поверхности уровня работа сил поля
, так как
потенциальная энергия на поверхности
постоянна. С другой стороны,
, следовательно,
, т. е.
.
Рассмотрим
некоторое скалярное поле (рис. 1.33). При
перемещении по направлению вектора
на величинуΔs,
мы переходим из точки P0,
в которой потенциальная энергия равна
Wп,
в точку P,
где потенциальная энергия имеет значение
Wп+ΔWп.
Производной скалярного поля по направлению
вектора
называют
величину
Рис. 1.33.
.
Эта
величина характеризует изменение
скалярного поля при перемещении на
единицу длины в заданном направлении.
В направлении нормали
к поверхности
уровня изменение потенциальной энергии
на единицу длины принимает максимальное
значение. Из рисунка 1.33 видно, что
,Δn
– кратчайшее расстояние между
поверхностями уровня. Тогда и
.
Введем понятие вектора градиента скалярного поля:
,
где
–
единичный вектор, направленный в сторону
максимального увеличения скалярного
поля. Таким образом, градиент скалярного
поля – это вектор, по модулю равный
изменению скалярной величины (в данном
случае потенциальной энергии) на единицу
длины в направлении нормали к поверхности
уровня. Направлен вектор градиента
перпендикулярно поверхности уровня в
сторону возрастания этой скалярной
величины.
В координатной форме вектор градиента потенциальной энергии можно записать как
.
Сумму частных производных по координатам, умноженных на соответствующие орты осей, называют оператором набла и обозначают следующим образом: .
.
Опрератор набла может действовать как на скалярную, так и на векторную функцию координат. Если функция скалярная, то, действуя на нее, оператор набла дает ее градиент. Запись Wп следует читать: “градиент потенциальной энергии”.
Связь силы и потенциальной энергии
Пусть
некоторое тело перемещается в потенциальном
поле. При этом консервативные силы поля
совершают над телом работу А,
равную убыли потенциальной энергии (А
= –dWп).
Элементарная работа на пути ds:
, гдеα
– угол между векторами силы и перемещения.
Как следует из рис.1.33, dscosα
= dn
– кратчайшему расстоянию между начальной
и конечной поверхностями уровня поля.
Итак,
.
Тогда
, или в векторной
форме
.