6.5. Теоретико-вероятностный метод расчета размерных цепей

При выводе формул для расчета размерных цепей методом максимума-минимума предполагается, что в процессе обработки или сборки возможно одновременное сочетание наибольших увеличивающих и наименьших уменьшающих размеров или обратное их сочетание. Любое из этих сочетаний позволяет обеспечить наименьшую точность замыкающего звена, но они мало вероятны, т. к. отклонения размеров в основном группируются около середины поля допуска и соединения деталей с такими отклонениями встречаются наиболее часто. Если допустить ничтожно малую вероятность (например, 0,27 %) несоблюдения предельных значений замыкающего размера, можно значительно расширить допуски составляющих размеров и тем самым снизить себестоимость изготовления деталей. На этих положениях и основан теоретико-вероятностный метод расчета размерных цепей.

Обратная задача. Полагая, что погрешности составляющих и замыкающего размеров подчиняются закону нормального распределения, а границы их вероятного рассеяния (6) совпадают с границами полей допусков, можно принять или , соответственно или . При этом размеры замыкающих звеньев у 0,27 % изделий могут выходить за пределы поля допуска. В этих выражениях  – среднее квадратичное отклонение размеров.

Подставив значения и в уравнение (6.16) и выполнив простые преобразования, получим уравнение для определения допуска замыкающего размера:

(6.16)

Определив , вычисляем значение Е_с(А_Δ).

Формула (6.16) выведена в предположении, что распределение действительных размеров подчиняется закону Гаусса, центр группирования совпадает с серединой поля допуска, а поле рассеяния - со значением допуска. В производственных условиях случайные погрешности размеров деталей могут распределяться не по закону Гаусса. Для определения допуска замыкающего размера при произвольном законе распределения в формулу (6.16) вводят коэффициент относительного рассеяния :

(6.17)

Коэффициенты и характеризуют отличие распределения погрешностей j-го и замыкающего звеньев от распределения по закону Гаусса. Коэффициент для замыкающих размеров вводят, когда (т - 1) < 6.

Коэффициент , где T_j - поле рассеяния A_j. Приняв , получим:

для закона нормального распределения

;

для закона равной вероятности

для закона треугольника (Симпсона);

.

Эффективность применения принципов теории вероятностей при расчете допусков размерных цепей покажем на следующем примере. Предположим, что размерная цепь состоит из четырех составляющих размеров с допусками . Тогда по формуле (6.1) допуск замыкающего размера , откуда .

Допуск замыкающего размера при решении задачи методом расчета на максимум-минимум откуда .

Применение теории вероятностей в приведенном примере позволяет при одном и том же допуске замыкающего звена расширить в 2 раза допуск составляющих размеров; при этом только 0,27 % размерных цепей (три из тысячи) приведут к браку. В этих цепях предельные значения замыкающего размера могут быть не выдержаны.

Прямая задача. Допуски составляющих размеров цепи при заданном допуске исходного размера можно рассчитывать четырьмя способами.

При способе равных допусков принимают, что величины , и для всех составляющих размеров одинаковые. По заданному допуску определяют средние допуски , удовлетворяющие равенствам (6.16) или (6.17).

Уравнение для определения получают из равенства (6.17):

.

Откуда

. (6.18)

Если коэффициент неодинаковый для составляющих размеров, знаменатель в формуле (6.17) имеет вид .

Найденные значения и корректируют, учитывая требования конструкции и возможность применения процессов изготовления деталей, экономическая точность которых близка к требуемой точности размеров. Правильность решения задачи проверяют по формуле (6.16).

При способе назначения допусков одного квалитета расчет в общем аналогичен решению задачи 2 методом полной взаимозаменяемости, но формула (6.2) имеет другой вид. Подставив в уравнение (6.16) значение и решив его относительно а, получим

. (6.18)

Способ пробных расчетов заключается в том, что допуски на составляющие размеры назначают экономически целесообразными для условий предстоящего вида производства с учетом конструктивных требований, опыта эксплуатации имеющихся подобных механизмов и проверенных для данного производства значений коэффициентов , . Для повышения точности, надежности и обеспечения функциональной взаимозаменяемости машин допуски и предельные отклонения исходного и составляющих размеров ответственных частей выпускаемых машин следует корректировать в сторону ужесточения с целью создания запаса на износ. Правильность такого расчета размерной цепи проверяют по формуле (6.18). Если равенство не выполняется, допуски, а иногда и номинальные значения составляющих размеров вновь корректируют.

Способ равного влияния применяют при решении плоских и пространственных размерных цепей. Он основан на том, что допускаемое отклонение каждого составляющего размера должно вызывать одинаковое изменение исходного размера.