ed7cec22_biokibernetika

этап моделирования, предусматривающий более полное и адекватное описание каждой из систем, поведение которых изучается.

В качестве примера моделирования связанных физиологических систем приведем модель «внутренней сферы» организма, которая начинается с органного уровня, а в характеристиках органов находят отражение клеточные и молекулярные зависимости. В схему «внутренней сферы» включено около 110 взаимосвязанных элементов.

2.2. Примеры математического моделирования в физиологии и медицине.

Математическое моделирование имеет особое значение при научном исследовании физиологических систем как изолированных, так и взаимосвязанных. Вся работа начинается с эксперимента, и получаемые опытные данные подвергаются математической обработке (составление таблиц, построение графиков, гистограмм, подбор эмпирических формул). Этот материал служит основой для создания рабочей гипотезы. Математическая модель, созданная на основе этой гипотезы, может правильно описывать поведение системы, хотя физические процессы, наблюдаемые в эксперименте и в модели, могут быть не раскрыты. Углубленные исследования так или иначе связаны с изучением молекулярного и клеточного строения биообъекта. В конечном счете, это позволяет сформулировать более содержательную структурно-функциональную модель физиологической системы (клетки, ткани, органов и т.д.) Рассмотрим моделирование физиологических систем на примерах решения нескольких задач.

2.2.1 Математическая модель роста.

Построим математическую модель роста палочковидных бактерий, у которых

Выражение (4) представляет собой дифференциальное уравнение 1 порядка с разделяющими переменными l,t и постоянными коэффициентами , . Решаем его:

dl ( )dt ,

Потенцируем полученное выражение (12),и определяем произвольную постоянную

C:

21

Формула (15) представляет собой математическую модель роста палочковидных бактерий, согласно которой, рост их происходит по экспоненциальному закону. Эта модель представляет интерес не только с теоретической, но и с практической точки зрения. При благоприятных условиях по аналогичному закону размножаются многие бактерии и грибы; ему подчиняется рост популяций животных, например, «экологический взрыв», когда тот или иной биологический вид за короткий срок достигает гигантской численности (губительные нашествия полчищ насекомых, неожиданные последствия акклиматизации кроликов в Австралии и т.д.).

2.2.2. Математическая модель "хищник-жертва"

Биологические сообщества состоят из нескольких популяций биологических видов, живущих в общей среде. Они или оспаривают одну и ту же пищу, или же одни виды живут за счет других, питаясь ими. Количественно характер борьбы за существование проявляется в изменении численности популяций. При одних условиях эти изменения выглядят как флуктуации около средних значений, а при других условиях сводятся к исчезновению или прогрессирующему увеличению видов. При некоторых допущениях для короткого интервала времени и достаточно большой популяции прирост числа особей одного вида dn будет пропорционален их общей численности n и интервалу времени dt , т.е.

где - постоянный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом прироста. С точки зрения математики это выражение представляет собой дифференциальное уравнение 1 порядка с разделяющимися переменными n,t, которое решаем интегрированием:

Это хорошо известный экспоненциальный закон развития видов: если время увеличивается в арифметической прогрессии, то численность вида возрастает в геометрической прогрессии. Если > 0 , то численность вида растет, если < 0 - уменьшается, а при = 0 рождаемость компенсирует смертность.

Коэффициент роста , определяющий развитие вида, можно найти количественно следующим образом. Если за время t число особей данного вида увеличилось в 2 раза (n 2n0 ) то из экспоненциального закона развития (17) следует:

Если численность вида уменьшилась вдвое, то

22

0,693. t

Если же численность вида остается постоянной, то 0.

Как видно из полученных формул, расчет довольно прост, т.к. отрезок времени t легко измерить.

Составим математическую модель "хищник-жертва" для двух видов, один из которых пожирает другой. Если бы в среде, где обитают эти виды, находился только один из них, то каждый бы имел некоторый постоянный коэффициент прироста: жертва - 1,

хищник –( 2 ). Знак " — " у 2 обусловлен тем, что хищник питается только (или в основном) жертвой, которой в среде обитания нет. Если виды сосуществуют в ограниченной среде, то первый из них будет развиваться тем медленнее, чем больше имеется особей второго рода, а второй - тем быстрее, чем многочисленнее первый вид.

В этом случае коэффициенты прироста запишутся в следующем виде:

( 1 1n2 ) и ( 2 2n1),

где 1, 2 - постоянные, характеризующие потребности каждого вида в пище а называемые коэффициент прожорливости. Используя закон развития видов (16), для каждого из рассматриваемых видов можно записать:

Система дифференциальных уравнений (19) описывает зависимость численности видов от времени. Более тонкое исследование поставленной задачи показывает, что численность видов n1 и n2 подвержена флуктуациям, имеющим периодический характер.

Важное следствие периодичности n1 и n2 может быть получено из решения системы уравнений (19), которое перепишем в виде:

Проинтегрируем систему уравнений (20) по времени (начальный момент времени t 0, а T период флуктуации):

T T T T

23

T T

флуктуации Т. Из (22) следует закон сохранения средних - средние значения за период численности особей двух видов не зависят от начальных условий и определяются

Отношение же амплитуд флуктуации зависит от всех четырех коэффициентов:

Регулировать численность видов можно истреблением их особей. Анализ уравнений (19-23) для случая, когда проводится равномерное по времени и пропорциональное численности особей истребление, дает следующие средние значения для n1,n2 за период флуктуаций:

24

зависеть от процесса ловли, а значения - от его интенсивности. Из (23) получаем закон изменения средних: если два вида истребляются равномерно и пропорционально числу их особей, то среднее число жертв возрастает, а хищников - убывает.

Если истребляются только хищники ( 0, 0), то их среднее число не

показывает, что когда истребляются хищники - период увеличивается. В обоих случаях отношение амплитуд флуктуаций возрастает.

Рассмотренная математическая модель "хищник-жертва", представлявшая собой систему дифференциальных уравнений (19), является одной из первых для биологического сообщества видов.

2.2.3. Математические модели системы кровообращения.

Кровообращение - одна из важнейших физиологических функций организма, обеспечивающих его приспособление к изменяющимся условиям жизни. Связи системы кровообращения с другими системами чрезвычайно сложны, поэтому рассмотрим несколько простых моделей процессов кровообращения изолированно от других систем.

Кровь в системе движется по замкнутому кругу под действием ритмически работающего сердца, которое создает начальное давление, необходимое для ее продвижения. С физической точки зрения движение крови по сосудам рассматривают как течение вязкой жидкости по трубам с эластичными стенками. Падение давления вдоль сосуда можно найти из формулы Пуазейля, которая справедлива для крови в первом приближении (кровь - неньютоновская жидкость и ее вязкость зависит от давления):

где P1, P2 - давление крови, соответственно в начале и в конце сосуда; Q - количество крови, протекавшее через поперечное сечение сосуда в единицу времени (объемная

Математическая модель эластичного резервуара

Можно считать, что основным элементом кровеносной системы является резервуар с эластичными стенками, заполненный жидкостью. Из него происходит постепенное вытекание жидкости; резервуар периодически пополняется жидкостью под давлением Р. Математическая модель резервуара - это уравнения, описывающие процессы, происходящие в нем. В1899 г. Франком была предложена математическая модель резервуара для описания процессов в артериальной части большого круга кровообращения. В этой модели аорта и крупные сосуды моделируются одним эластичным резервуаром, а система мелких сосудов с гидравлическим сопротивлением X - жесткой трубкой. Давление Р, создаваемое сердцем при сокращении, передается крови сразу во всех крупных артериях. Рассчитаем с помощью данной модели давление в аорте в течение диастолы.

Кровь находится в эластичном резервуаре, поэтому ее объем V(t) в любой момент времени зависит от давления P следующим образом:

25

где V0 - объем резервуара при отсутствии давления (Р = 0); c - коэффициент упругости

(эластичности) стенок резервуара.

Объемная скорость оттока крови из резервуара математически записывается в

виде:

Подставим в (26) формулу (25):

Отток крови происходит через периферические сосуды с гидравлическим сопротивлением Х (жесткую трубку). Согласно формуле Пуазейля (24), объемная скорость кровотока через периферические сосуды равна:

Q P PВ ,

Уравнение (29) является дифференциальным уравнением 1 порядка с разделяющимися переменными P и t , которое решаем интегрированием:

где Pо - начальное давление крови в резервуаре.

Из (28) и (31) находим зависимость объемной скорости оттока крови из резервуара от времени:

Графически зависимости (31) и (32) имеют экспоненциальный характер.

Уравнения (31) и (32) являются математической моделью эластичного резервуара для артериальной части системы кровообращения. Данная модель весьма грубо описывает реальные явления, но очень проста и верно отображает процесс к концу диастолы. Вместе с тем изменения давления в начале диастолы с помощью этой модели не описываются.

26

В более точной модели сосудистого русла используют большое число эластичных резервуаров, т.к. сосудистое русло является системой сосудов. Для учета инерционных свойств крови при построении модели предполагается, что эластичные резервуары, моделирующие восходящую и нисходящую ветви аорты, имеют разную упругость.

Математическая модель сердечнососудистой системы /ССС/ В.А. Лищука.

Создать модель ССС, воспроизводящую все ее нормальные и патологические процессы, невозможно из-за ограниченности методов и средств исследования. Поэтому при моделировании в первую очередь вводятся ограничения в виде упрощений. Оптимальная степень упрощения выбирается, исходя из целей и возможностей средств исследования. Ограничим нашу задачу, построением математической недели ССС, на основе которой можно исследовать связь между наиболее существенными величинами гемодинамики и интерпретировать факты и наблюдения, полученные в клинике.

Основными физическими величинами гемодинамики являются: давление крови P, объем крови V и кровоток Q. Они характеризует функциональное состояние ССС и поэтому называются функциональными показателями CСC. Клинические методы исследования в настоящее время позволяют измерить их в артериальной и венозной системах организма.

Представим упрощенно структуру ССС, функционирование которой можно охарактеризовать на основе измеренных в клинике величин V,Q,PA,PB . Модель ССС В.А. Лищука включает артериальный A и венозный В резервуары, которые соединены с одной стороны через сердце С и с другой стороны через капиллярное ложе К. Таким образом, мы выделили элементы связи в модели замкнутой ССС.

Согласно модели (и по аналогии с ССС организма ), кровь циркулирует по замкнутому кругу из сердца в артериальный резервуар, через капиллярное ложе в венозный резервуар, из него поступает в сердце, и далее цикл повторяется. Артериальный и венозный резервуары в модели представлены в виде сообщенных сосудистых участков, где сосредоточен весь объем циркулирующей крови, значение которого определяется уравнением баланса:

27

2.2.4..Фармакокинетическая модель.

Фармакокинетика - это наука о скорости и механизмах процессов, происходящих с введенным в организм биологически активным соединением, в частности с лекарственным веществом. Эффективность действия этих соединений зависит от специфичности их по отношению к целевым биомакромолекулам, концентрации и времени действия. Роль последних двух факторов очень велика: любое высокоспецифичное лекарственное вещество может оказаться малоэффективным, если поступление его в определенный орган, ткань будет недостаточным. Это может быть вызвано малой скоростью введения его в кровоток и (или) высокой скоростью выведения и т.д. Закономерности данных процессов составляют предмет фармакокинетики.

Несмотря на сложность организма как системы, возможно нахождение некоторых усредненных параметров, количественно оценивающих направление и интенсивность этих процессов, истинный механизм многих из них полностью не изучен, но абсолютно достоверно, что они протекает во времени. Поэтому возможно их феноменологическое описание, основанное на характерных макроскопических переменных. Фармакокинетика широко использует метод математического моделирования. Конечной целью его является выбор дозы, пути и периодичности введения лекарств, которые бы обеспечили наибольший терапевтический эффект при минимальном побочном действии. В фармакокинетике макроскопическими переменными являются масса (m), концентрация (c) вещества,

вещества в единицу времени. Она связана с концентрацией функциональной

моделью процесса и устанавливается либо экспериментально, либо постулируется на основе знаний о механизме процесса. Чаще всего предполагают, что

dc kcn , dt

где n - характеризует порядок процесса (n=0,1,2,……), а k - является количественной мерой интенсивности процесса и называется константой скорости.

Применяемые дозы большинства лекарственных веществ весьма малы, поэтому происходящие с ними процессы идут по кинетике I порядка (n = 1). В этом случае

уравнение dc kcn примет вид dt

dc kc dt

Из физиологии известно, что концентрация препарата в органе зависит от ряда процессов, скорости которых характеризуются соответствующими константами:

1.k12 - всасывание препарата в кровеносное русло при внесосудистом введении.

2.k23 - транспорт препарата из крови в орган.

3.k32 - транспорт препарата из органа в кровь.

4.k4 - удаление препарата из крови почками и разрушение его печенью. Соответствующая этим процессам схема приведена на рис. 11.

29

препарата

Рис.11

В этой схеме мы упрощенно представляем организм в виде отдельных блоков (кровь, орган и т.д.) – фармакокинетических камер, в которых распределение препарата предполагается равномерным. Каждый процесс, изображенный на схеме стрелкой, можно представить как мономолекулярную реакцию, скорость которой пропорциональна концентрации вещества. Изменение концентрации препарата в каждом блоке описывается обычными для кинетики дифференциальными уравнениями:

где c1,c2,c3 - концентрация препарата в соответствующих блоках схемы.

Решив систему уравнений (38), найдем функциональную зависимость концентрации препарата в рассматриваемых блоках, т.е. c1(t),c2 (t),c3(t). В зависимости

от целей исследования система дифференциальных уравнений может быть довольно сложной. Если после введения разумных упрощений систему уравнений (38) не удается решить в общем виде, то ее решают в численном виде с помощью ЭВМ.

Рассмотрим в качестве примера, имеющего значение для медицинской практики, задачу о непрерывном внутрисосудистом введении лекарственного препарата с целью создания постоянной концентрации его в крови.

Препарат вводится в кровь с постоянной скоростью, а изменение его количества в крови описывается уравнением:

где k5 - константа удаления препарата из крови. Уравнение (39) является

дифференциальным I порядка с разделяющимися переменными – m,t. Решаем его интегрированием, вводя замену переменной:

30