Уравнение 1-мерного движения вдоль оси х
|
dw |
dp |
|
d 2 w |
|
|
xх gx |
|
|
|
|
dx |
dy2 |
||||
|
d |
|
Уравнение 3-мерного движения (уравнение Навье–Стокса) в векторной форме
|
dw |
r |
2 r |
|
|
g |
p w |
d |
В левой части – изменение во времени импульса (количества
движения) жидкости в элементарном объёме.
В правой части:
1-й член – равнодействующая объёмных сил (сила тяжести); 2-й член – равнодействующая сил давления; 3-й член – равнодействующая сил вязкого трения.
Уравнение движения содержит одну новую неизвестную величину –
давление р, для определения которого необходимо ещё одно уравнение – уравнение сплошности (неразрывности).
Уравнения Навье–Стокса в проекциях на оси координат
dwx |
g |
|
|
p |
2 w |
|
||
|
d |
|
x |
|
x |
x |
||
|
dwy |
g |
|
|
p |
2w |
|
|
d |
y |
y |
y |
|||||
|
|
|
|
|||||
dwz |
g |
|
|
p |
2 w |
|
||
|
d |
|
z |
|
z |
z |
||
Уравнения Навье–Стокса в развернутом виде
|
|
w |
|
w |
|
|
|
|
w |
|
w |
|
|
|
|
p |
|
|
|
2 |
w |
|
2 |
w |
|
2 |
w |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x w |
|
x w |
y |
x w |
x |
g |
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
x |
|
|
y |
z |
z |
|
|
|
x |
|
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
z |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
wy |
|
|
wy |
|
|
|
wy |
|
wy |
|
|
|
|
p |
|
|
2 |
wy |
|
2 |
wy |
|
2 |
wy |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
wx |
|
|
wy |
|
|
|
wz |
|
|
gy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
z |
|
|
|
|
y |
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
z |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
w |
|
|
|
w |
|
|
|
|
w |
|
w |
|
|
|
|
p |
|
|
|
2 |
w |
|
2 |
w |
|
2 |
w |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
z w |
|
z w |
y |
z w |
z |
g |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
x |
|
y |
z |
z |
|
|
z |
|
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
z |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Уравнения энергии и движения кроме искомых температуры t и скорости w (или её составляющих wx, wy, wz) содержат ещё одну
неизвестную величину – давление р. Для её определения (т.е. для замыкания системы дифференциальных уравнений конвективного теплообмена) служит уравнение сплошности.
3. Уравнение сплошности (неразрывности) выражает баланс
массы жидкости, протекающей через выделенный в потоке элементарный объём, неподвижный относительно системы координат.
В соответствии с законом сохранения материи, разность потоков массы жидкости, входящих
вэл. объём и выходящих из него
вединицу времени, равна скорости изменения массы жидкости в объёме
во времени за счёт изменения
плотности жидкости (её сжатия
или расширения, т.е. повышения или уменьшения давления в объёме).
В результате можно получить уравнение сплошности, являющееся уравнением сохранения массы.
|
|
wx |
|
wy |
|
wz |
0 |
|||
|
x |
|
|
y |
z |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
||
или |
|
|
|
div w 0 |
|
|||||
Для несжимаемой жидкости ( = const)
wx wy илиwz 0x y z
w divw 0.
Капельная жидкость практически несжимаема (кроме условий вблизи критических). Поток газа может считаться несжимаемым при
числе Маха
M wa 0.25
Полная математическая формулировка задачи 
конвективного теплообмена
Включает замкнутую систему дифференциальных уравнений (три уравнения для неизвестных t, w, p), дополненную условиями однозначности конкретной рассматриваемой системы.
В настоящее время в гидродинамике вязкой жидкости
получила общее признание и подтверждение гипотеза "прилипания", согласно которой частицы жидкости,
непосредственно прилегающие к поверхности твёрдого тела, адсорбируются ею ("прилипают" к ней), и их скорость равна скорости тела (для неподвижного тела = 0).
Это условие распространено на сопряжение температур твёрдого тела и жидкости на границе раздела (на
поверхности).
25
Условия сопряжения на границе жидкость-твёрдое тело
Условия прилипания на поверхности раздела:
–скорости жидкости и поверхности тела равны;
–температуры жидкости и поверхности равны .
Теория "пограничного слоя"
Изменения скорости и температуры жидкости сосредоточены в тонком слое малоподвижной жидкости толщиной , перенос теплоты в котором по нормали к стенке близок к молекулярной теплопроводности вследствие условий прилипания и вязкого трения.
tс
tж
δ 
qс=
w 
(tс - tж)
q |
|
t t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
t |
|
||
|
|
|
ж |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
c |
cж |
ж |
|
|
c |
|
ж |
||||||||
|
|
|
|
|
n c |
|
|
|
|
26 |
|
||||
Уравнение теплоотдачи
|
ж |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
tcж t |
|
|
|||
|
n c |
||||
С другой стороны, условия сопряжения предполагают неразрывность теплового потока на поверхности
|
qc tcж t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
||||||||||||
|
т |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
n |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cж |
|
|
c |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
t |
|
||||||
|
|
ж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
t |
|
n |
|
t |
t |
|
|
||||||||||||||
|
|
cж |
|
|
|
|
|
|
c |
c |
|
|
ж |
|
|
c |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |