Закон вязкого трения Ньютона
Сила внутреннего трения, отнесённая к единице поверхности (касательное напряжение трения или напряжение сдвига),
действующая в любой точке потока в плоскости, ориентированной по течению, пропорциональна изменению скорости в направлении нормали к этой плоскости
s dwdn , Па Н / м2
Коэффициент пропорциональности , Па с
– (динамический) коэффициент вязкости или (динамическая)
вязкость; численно равен напряжению сдвига при dw/dn = 1.
Кинематический коэффициент вязкости (кинематическая
вязкость)
, м2 / с
Зависимость вязкости капельной жидкости от p, T
практически не зависит от Вода давления, но значительно
снижается с ростом температуры.
Жидкости практически несжимаемы:слабо зависит от давления и температуры, поэтому зависимости ν от р, Т примерно такие же, как и для .
|
|
1 |
|
|
5 10 |
10 |
Па |
-1 |
||
Изотермический к-т сжимаемости |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
||||||||
(T = const) |
|
|
р Т |
|
|
|
|
|
|
|
Температурный к-т объёмного расширения |
|
1 |
|
, К |
-1 |
|||||
|
|
|
||||||||
(р = const) так же мал (кроме условий |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
вблизи критических) |
|
|
|
|
t |
p |
|
|
|
|
Зависимость вязкости газов от p, T
увеличивается с Воздух
температурой и давлением (слабее).
Плотность газов линейно снижается с ростом температуры, поэтому зависимость ν от Т более
крутая.
Для газов прямо пропорциональна давлению, поэтому ν линейно
уменьшается с ростом р. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
5 |
Па |
-1 |
|||
Изотермическая сжимаемость воздуха |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||||
в 20 000 раз выше, чем воды, однако |
|
|
р Т |
|
|
|
|
|
при небольших перепадах давления в потоке газа по сравнению с его абсолютным давлением газ принимается несжимаемым.
Для идеального газа β = 1/Т, К-1. |
13 |
ТП |
Лекция 10 |
Диссипация энергии вследствие трения
Мы в основном будем рассматривать теплоотдачу несжимаемой жидкости (как капельной, так и газа).
При течении вязкой жидкости вследствие внутреннего трения кинетическая энергия потока необратимо рассеивается (диссипирует), превращаясь в энергию хаотического движения
молекул, что приводит к нагреванию жидкости. При малой вязкости или невысоких скоростях потока диссипативный разогрев потока
незначителен.
При больших скоростях течения необходимо учитывать как диссипацию энергии, так и сжимаемость газа, поскольку потери давления на преодоление сил трения пропорциональны квадрату
скорости |
|
w2 |
|
р |
|
|
2 |
|
|
|
Некоторые жидкости не подчиняются закону Ньютона и называются неньютоновскими, иногда – реологическими14 .
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОНВЕКТИВНОГО 
ТЕПЛООБМЕНА
1.Дифференциальное уравнение энергии (ДУЭ) описывает поле температур в движущейся жидкости. Выводится по
аналогии с дифференциальным уравнением
теплопроводности (Л.2) для элементарного объёма жидкости, неподвижного относительно системы координат (в
данном случае – декартовых).
Жидкость принимается однородной и изотропной,
несжимаемой ( = const),
с постоянными свойствами.
Через грани эл.объёма теплота переносится теплопроводностью и конвекцией;
в общем случае в объёме действуют
внутренние источники/стоки теплоты
qv.
Ранее в лекции 2 было получено дифференциальное уравнение теплопроводности в виде
h |
|
t |
r |
r |
|
|
cp |
|
div q |
qv q |
qv |
|
|
где дивергенция вектора плотности теплового потока
r |
r |
|
qx |
|
qy |
|
qz |
q |
div q |
|
x |
|
|
|
z |
y |
подставим сюда проекции вектора дивергенции теплового потока на координатные оси, которые при конвективном теплообмене имеют вид
q |
|
|
t |
w c |
t; |
q |
|
|
t |
w |
c |
t; |
q |
|
|
t |
w c |
t |
х |
|
y |
|
z |
|
|||||||||||||
|
|
х |
х p |
|
|
|
y |
y |
p |
|
|
|
z |
z p |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что после небольшой перегруппировки приведёт к искомому уравнению энергии (размерность членов Вт/м3)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
|
|
t |
|
|
t |
|
cp |
t |
wx |
wy |
|||
|
x |
y |
||||
|
1 4 4 4 2 4 |
|||||
|
t |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||
w |
|
|
t |
|
t |
|
t |
|
q |
|||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
||||||||
z |
z |
|
|
|
y |
|
z |
|
|
v |
||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 4 4 4 2 4 4 43 |
|
|
|||||||||
перенос теплопроводностью
2t div grad t
локальная производная, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
конвективная производная, |
||||||||||
характеризует изменение |
|
||||||||||
|
характеризует изменение t при |
||||||||||
t во времени в какой-либо |
|
||||||||||
|
движении жидкости от точки к точке |
||||||||||
точке вследствие |
|
|
|||||||||
|
|
|
t |
|
t |
|
t |
r |
|||
нестационарности |
|
|
|
|
|
||||||
процесса |
|
|
|
wx |
|
wy |
|
wz |
|
wgrad t |
|
|
|
|
x |
y |
z |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
4 |
4 |
4 |
2 |
4 |
4 |
4 |
3 |
|||
Выражение в скобках в левой части уравнения – полная (субстанциональная) производная по времени от температуры как сложной функции t = f( , x, y, z)
Полная (субстанциональная) производная по времени сложной 
функции t = f( , x, y, z)
Dt |
|
dt |
|
t |
|
t x |
|
t y |
|
t z |
|
t |
r |
||||||
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wgrad t |
d |
|
|
x |
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|||||||
d |
|||||||||||||||||||
wx x ; wy y ; wz z
Вводя в левую часть уравнения энергии обозначение
субстанциональной производной и в правую часть – оператора Лапласа, придём к уравнению энергии в векторной форме
dt |
a 2t |
qv |
a div grad t |
qv |
|
|
|
||||
d |
cp |
cp |
|||
|
|
В частном случае неподвижной жидкости (w = wx = wy = wz = 0) уравнение энергии переходит в уравнение теплопроводности:
dt t d
В общем случае в правую часть ДУЭ вводится диссипативная функция, учитывающая выделение теплоты трения
dt |
a 2t |
qv |
|
d |
|
||
|
cp |
||
Уравнение энергии содержит неизвестную скорость, которая находится из уравнения движения.
2. Уравнение движения выражает баланс количества движения
(или импульса mw) для элементарного объёма движущейся вязкой жидкости. По 2-му закону Ньютона равнодействующая сил,
действующих на элемент жидкости (объёмных – сила тяжести и поверхностных – силы давления и
вязкого трения), равна произведению массы жидкости на ускорение
r |
|
d(mw) |
||
Fi m |
dw |
|
||
d |
d |
|||
|
|
|||
Схема упрощённого вывода уравнения движения для одномерного течения несжимаемой жидкости вдоль оси х.
Скорость wx изменяется только по
нормали к оси х, т.е. вдоль оси у.
Рассматриваем баланс сил для эл. объема движущейся жидкости.