Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1276 вузов, 4772 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

doc1

.pdf
Скачиваний:
527
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
11.39 Mб
Скачать
☆

500 IX. Динамика материальной точки

Тогда дальность L полета точки

 

 

 

 

 

-Vnsin2a

 

4vo(ocosXsinacos

2a

 

£ = y(f) = —

 

+ —

g ;

•

О т в е т : / = -

 

2v„sina

 

2v0sina

1 - 2cov0 cos A. cos a

g+2cov0 cos X, cosa

 

g

 

g

 

L =

v0

2sin2a

4v03cocosXsinacos2a

, где со — угловая ско-

 

- +

 

 

g

 

 

 

g

 

 

 

 

 

рость вращения Земли.

 

 

 

 

 

 

 

Задача 33.9

 

 

 

Шарик массы т, прикрепленный

 

 

 

к концу горизонтальной пружины,

1

 

 

коэффициент жесткости которой с,

 

 

 

находится в положении

равновесия

 

 

 

в трубке на расстоянии а от верти-

A w v w M g

кальной оси. Определить относитель-

 

 

 

ное движение шарика, если трубка,

 

 

 

образующая с осью прямой угол, на-

 

 

 

чинает вращаться вокруг вертикаль-

 

 

 

ной оси с постоянной угловой скоро-

 

 

 

стью со.

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е

 

 

 

 

 

 

 

При относительном

движении

 

 

 

шарика вдоль оси х (см. рисунок)_на

 

 

 

него действуют сила упругости Fynp

 

 

 

пружины и переносная Фе сила инер-

 

 

 

ции. Сила тяжести mg и сила Фс инер-

 

 

 

ции Кориолиса

перпендикулярны

 

 

 

к оси х и уравновешены

соответст-

 

 

 

вующими силами JV, и N2 реакции

 

 

 

стенки трубки.

 

 

 

 

 

 

 

Запишем уравнение

движения

 

 

 

шарика в проекции на ось х:

 

 

 

 

 

тх = -Еупр+Фе,

 

 

(1)

 

 

 

где Fyn =сх; Ф, = та" = т(а + х)со2.

 

 

 

32. Колебательное движение

501

Тогда уравнение (1) примет вид

 

 

х+(/с2 -со2 )х = асо2,

(2)

12

е

 

где к

= —.

 

 

т

 

1. Если к2 > со2, то уравнение (2) описывает свободные колебания материальной точки и его решение ищем в виде

х = х + х*,

где х = С, cos-Jк2 - со2 t +С2 sinVfc2 -со2 / — решение однородного уравнения; х* — частное решение, х* = А.

Подставим х* в уравнение (2) и найдем

 

 

 

 

 

 

 

.

аа>2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А = —г

—.

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

к'-

со'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

sinV/t

2

-

 

с

о

2

1 + (

3 )

х = С, cosVA

- со / •+С

 

 

- со2

 

 

 

 

 

 

 

 

А2

 

 

х = - С, V/c2 - со2 sin-A2

- со2 t+C2Jk2

- со2 cosVA2 - со2 /.

(4)

Определим С, и С2, подставив начальные условия: / = 0, х^, =0,

х0 =0, в выражения (3) и (4): С, = — — — ,

С2

=0.

 

 

 

 

 

 

к2 - со2

 

 

 

 

 

 

Подставим значения постоянных интегрирования в формулу (3):

х = - ^ - 7 ( 1 - cos VF^co2"

Д

 

 

 

к* - со2 v

 

 

 

 

 

'

 

 

 

Использовав тождество

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

т • 2 «

 

 

 

 

 

 

 

l - c o s a = 2sin —,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

применительно к этому выражению (а. = 4к2

-со2 /) получим

 

 

2aa>2 .

2л/А2-©2

/

.

 

 

 

 

х = —

г-sm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А2-со2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

502

IX. Динамика материальной точки

2. При к2 < со2 уравнение (2) перепишем в виде

 

 

 

Jc — (со2 -А2 )х = дсо2.

 

 

(5)

Решение уравнения (5) ищем в виде

 

 

 

 

х = х + х*,

 

 

 

где х = C,clWco2 -A2

Z+CjShVco2 - к2 t, chx = е* +е~

гиперболиче-

ский косинус, shx =

е* — е~х

 

 

асо'

гиперболический синус; х* = -

со2 — к2

Тогда

 

 

 

 

АйГ

 

 

 

 

 

 

; = C,chVro2 - к7 t+C,sh -Jo2-к2

/--(О2-А:

 

(6)

х = С, Vсо2 - A2shVco2 - к2 t+С2 л/со2 - A2 chVco2 - A2 t.

Используя начальные условия, найдем постоянные интегрирова-

ло ния: С, = ———, С2 = 0.

со2-А2 С учетом значений С, и С2 уравнение (6) примет вид

х =

асо"

(chVco2 - А2 /-1).

со2-А2

О т в е т : в системе координат, начало которой совпадает с точкой

равновесия шарика,

 

х =

2асо2

. .л/Р^со2

"

А2-со2

sin

-t при А = J - > c o ;

 

 

\m

X = • асо2

(dWco2-А:2

/-1) при А = J - < c o .

 

аТ^А2

 

\m

Задача 33.10

Горизонтальная трубка CZ) равномерно вращается вокруг вертикальной оси АВ с угловой скоростью со. Внутри трубки находится тело М. Определить скорость v тела относительно трубки в момент его вылета, если в начальный момент v = 0, х = х0, длина трубки равна L. Трением пренебречь.

D

см

в

J

32. Колебательное движение

 

503

Р е ш е н и е

 

 

При относительном движении

 

 

тела М по трубке (см. рисунок)

 

 

действующие_на него сила тяже-

"г

N,

сти mg и сила Фс инерции Корио-

 

 

лиса перпендикулярны к оси х

 

М1 Ф.

и уравновешены соответствую-

мп

щими реакциями N, и N2 стенки

трубки. Таким образом, в направ- \

Ф„

mg

лении оси х действует переносная

 

 

Фе - та" сила инерции, которая

 

 

противоположна переносному а"

 

 

нормальному ускорению.

~mm

 

Дифференциальное уравнение относительного движения тела в проекции на ось х

тх = та",

или, так как а" = со2х

 

 

 

X = СО X.

(1)

Полагая х = v(x), запишем

 

 

 

g_dv

dx _

dv

 

dx dt

dx

 

Уравнение (1) примет вид

 

 

 

vdv -

Q>2xdx.

(2)

Проинтегрируем выражение (2) с учетом начальных условий:

V L,

J vdv - со2 ^xdx

*о

и найдем

= со2-

' = 4П - х\ со.

О т в е т : v = л/l2 - xj 01

504

IX. Динамика материальной точки

Задача 33.11

Вусловиях предыдущей задачи определить время движения тела

втрубке.

Р е ш е н и е

Согласно решению задачи 33.10, движение тела описывается уравнением

х = со2х.

(1)

Сделаем замену переменных х = v(x) и приведем уравнение (1) к виду

V = (D-V/X3 - X J J . 1

Полагая

dx v = Yt'

разделим переменные, проинтегрируем:

 

 

J / 2 _ у2

J

 

 

 

хцУХ

Х0

О

 

и получим

 

 

 

 

 

 

 

1п(х+у1х2-хг0^х=ш\Т0,

 

 

 

In(l + л/12-х02) - In х0 = соГ.

(2)

Так как

 

 

 

 

 

 

ln(l + J I T ^ x l ) - In х0 = In-1 + ^ х0

Х°2

то из формулы (2) получим

 

 

 

 

 

Г = -11п-L +

JiT^xi

 

 

 

х

j,

 

 

 

 

со

 

х.

 

 

 

 

 

•о

 

_

1 .

L + jL2-x}

 

 

 

О т в е т : Т = — In

-.

 

 

 

 

со

х(

 

 

 

 

 

о

 

 

 

32. Колебательное движение

505

Задача 33.12

В условиях задачи 33.10 составить дифференциальное уравнение движения тела в трубке, если коэффициент трения скольжения между телом и трубкой равен /.

Р е ш е н и е

 

 

Рассмотрим движение тела внут-

 

ри трубки (см. рисунок) под дей-

 

ствием силы тяжести mg, силы тре-

 

н и я ^ , нормальной реакции N,

 

где N = Nx +N2.

 

 

Запишем дифференциальное

 

уравнение относительного движе-

 

ния тела в проекции на ось х:

 

 

тх = Ф. - F„

 

где Ф, =тае = таз2г, Frp=fN

= Д / Л f f + Щ .

 

Тогда

 

 

тх =

ти>2х-/4Щ+Щ-

(1)

Для определения Nt и N2 запишем уравнение движения тела

в проекциях на оси у иг:

 

 

 

my = N, -mg,

(2)

 

mz = <&C-N2,

(3)

где Фс — сила инерции Кориолиса, Фс = тас

= 2тш.

Так как движение вдоль осей у и z отсутствует, то у - z = 0. Тогда из формул (2) и (3) получим

TV, =mg,

N2 - 2тш.

Зная значения составляющих нормальной реакции, найдем

N = j(mg)2 + (2тож)2 - m-Jg2 + 4со2х2.

506 IX. Динамика материальной точки

Окончательно дифференциальное уравнение (1) имеет вид

x = (£>2x-f Jg2

+4оз2х2,

если тело движется вправо, т.е. л: >0;

 

Х = (£>2Х + fsjg2

+4оз2х2,

если тело движется влево, т.е. х <0.

О т в е т : х = со2х± Д/g 2 +4ю2х2; верхнему знаку соответствует х <0, нижнему х>0.

Задача 33.13

Кольцо движется по гладкому стержню АВ, который равномерно вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через конец А, делая один оборот в секунду; длина стержня 1 м; в момент t = 0 кольцо находилось на расстоянии 60 см от конца А и имело скорость, равную нулю. Определить момент /,, когда кольцо сойдет со стержня.

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение кольца (см. рисунок) под действием силы тяжести trig и нормальной реакции N, где N = Nt + N2.

Запишем дифференциальное уравнение относительного движения кольца в проекции на ось х:

тх = Фе,

где Фе — переносная сила инерции, Фе =тае =тхсо2.

Тогда

тх = mxiо

или

х = хсо2.

(1)

Введем замену:

_ dx

dx _

^dx

dt

dx

dx

32. Колебательное движение

 

 

 

507

и перепишем выражение (1) в виде

 

 

. dx

 

,

 

 

X— = кгх.

 

 

dx

 

 

 

Разделим переменные, проинтегрируем и получим

 

Г

2

 

Y 2

(2)

-

= со2

—+С,.

2

 

2 '

 

С учетом начальных условий: х0 = /Q, х0 =0, найдем

 

 

1

 

2

 

Подставим значение С, в уравнение (2) и получим

 

х = (Ол]х2 -/02

 

dx

 

 

 

 

или, так как х = —:

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

dx

 

 

 

dt

 

 

 

Разделим переменные в этом выражении:

 

 

dx

* = <ddt

 

Т^мГ

 

 

и проинтегрируем:

 

 

 

 

In(х+4хг^1р)

 

= ш+С2.

(3)

Исходя из начальных условий: t = 0, х0 = /0, найдем С2 = In 10. Подставив значение С2 в уравнение (3), определим

(О /0

В момент схода кольца со стержня х - 1, следовательно,

? | = l l n / + V J M F

со /0

508

IX. Динамика материальной точки

С учетом данных задачи: со = 2тс рад/с, / = 1 м, /„ =0,6 м, рассчитаем

t= - l l n 3 = 0,175 (с). 2тс

1пЗ О т в е т : Л = — = 0,175 с.

1 2л

Задача 33.14

Трубка АВ вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси CD, составляя с ней неизменный угол 45° (см. рисунок). В трубке находится тяжелый шарик М. Определить движение этого шарика относительно трубки, если начальная скорость его равна нулю и начальное расстояние от точки О равно а. Трением пренебречь.

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение тяжелого шариг ка (см. рисунок) под действием силы тяжестит£_и нормальной реакции N, где

N = Nl+N1.

Запишем дифференциальное уравнение относительного движения шарика в проекции на ось х:

 

mjc = Oecos450-mgcos45°

(1)

где Фе — переносная сила инерции;

 

фе

=/wco2xcos 45°.

 

После преобразований уравнение (1) примет вид

„

со'

х = •

-Л

(1)

X

2

• 2 '

 

 

 

Характеристическое уравнение

32. Колебательное движение

 

 

 

 

 

 

 

509

имеет решения

 

г1,2, =±2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со>/2

 

 

Поэтому решение уравнения (2) ищем в виде

 

 

 

 

 

х = 3с + ;с*,

 

 

 

Si,

 

 

g j j

 

 

 

 

 

где х = Схе 2

+С2/ 2

=

 

со

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(|>-/2

 

 

а>Л

/у

 

 

х = С,е

2

 

2

 

2

 

(3)

 

 

+С<?~

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

сол/2 f

W2.

 

шЛЛ

 

 

 

 

 

С,е

2

-С2 е

2

 

Используя начальные условия: / = 0, х - а, х = 0, найдем постоян-

ные интегрирования: С, = С2 = ^ а -

Л® )

Подставим значения С, и С2 в формулу (3) и запишем уравнение движения шарика:

 

1 (

gJ2\(

юУ2 Л

W2

х = ОМ = -

а--—

i

е 2

2

со

 

2

со

V

у

 

 

 

 

 

О т в е т : ( Ж = а -

 

^

 

мЛЛ

^ 2

 

со

е 2

 

2

со

 

 

 

 

 

 

Задача 33.15

Определить, как меняется ускорение силы тяжести в зависимости от широты места (р вследствие вращения Земли вокруг своей оси. Радиус Земли R = 6370 км.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности