Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1271 вуз, 4663 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

doc1

.pdf
Скачиваний:
525
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
11.39 Mб
Скачать
☆

280 IX. Динамика материальной точки;

угла а, при котором нить ОМ после встречи с проволокой будет на нее навиваться, а также изменение натяжения нити в момент ее встречи с проволокой. Толщиной проволоки пренебречь.

Р е ш е н и е

 

 

Для определения скорости груза в момент

 

встречи нити с проволокой (рис. 1) приме-

 

ним теорему об изменении кинетической

 

энергии, учитывая, что v0 =0. Тогда

 

 

mvr = mg{ho-hj),

(1)

 

где h0 = /(1 - cosa); А, = /(1 - cos Р).

 

 

С учетом значений А0 и /г, формула

(1)

Рис. 1

примет вид

 

 

v2

 

 

-J- = gl(cos р - cosa).

 

Откуда

 

 

V2 = 2g/(cos р - cosa).

 

(2)

После встречи нити подвеса с проволокой груз будет описывать окружность (рис. 2) радиусом

r = l-h = / f l - — \

' №

Минимальную скорость груза v2, при которой нить будет навиваться на проволоку, найдем из уравнения движения груза в проекции на естественную ось и; учитывая, что реакция нити равна нулю,

mv'2 = mg.

(3)

Откуда

v2 = gr.

Запишем теорему об изменении кинетической энергии материальной точки для груза М:

тщ mv, = -mgh2, ~2 Т

где Иг = г + г cos р = /-(1 + cos р).

31. Смешанные задачи

Тогда, учитывав выражение (2), получим

22

2

v

= gr= v, -2gr (1 + cos P)

или с учетом значения г

2g/(cos р - cosa)-2gl{\ - j j l + cos pj = 0.

Откуда найдем

Л ГЗ

 

3

cosa = — -

+ cosB

J

- - ,

/ \2

 

2

a = arccos KbosPH

Подставим выражение (4) в формулу (2):

v2 = 2 ^ c o s р + f

= 2g^cos р + | у - Л).

281

(4)

Далее определим натяжение нити в момент встречи нити с проволокой, когда N = ЛГ, (рис. 2). Для этого составим дифференциальное уравнение движения точки в проекции на естественную ось п:

i,2

 

КТ

О АГ

»..,2

П

mVl

=

mV\ ,

 

-ffigcosp

=фуу, = —j^+mgcosp.

Составим такое же уравнение для момента, когда нить будет навиваться на проволоку, т.е. когда N = JV2:

/wv2

= -mgcosP

mv2

—L

= —-+mgcos p.

r

 

r

Тогда найдем изменение натяжения нити в момент ее встречи с проволокой:

AN = N2-N. 1~mv?(—

Ч/-А /

или

ДЛ^ = 2mgyQ- + cos pj.

О т в е т: а = arccos L ^ | + c o s p ) - | ; натяжение нити увеличивается

на величину 2/wgy^j + cosp ].

282

IX. Динамика материальной точки

Задача 31.20

 

Тяжелая точка М массы т движется по

 

внутренней поверхности круглого цилин-

 

дра радиуса г. Считая поверхность цилин-

 

дра абсолютно гладкой и ось цилиндра

 

вертикальной, определить давление точ-

 

ки на цилиндр. Начальная скорость точ-

 

ки равна по величине v0 и составляет угол

'у

а с горизонтом.

 

Р е ш е н и е

 

Запишем дифференциальное уравнение

 

движения точки М в проекции на естест-

 

венную ось п (см. рисунок):

 

тап = R,

V 2

где а„ = — Уху = v0 cosa; R — реакция поверхности цилиндра.

Тогда

R- mvlc°s2 а

а сила давления точки на цилиндр

„

О т в е т :

mvl cos2 a

N = R = -

.. mvl cos2 a

— .

Задача 31.21

Впредыдущей задаче составить уравнения движения точки, если

вначальный момент точка находилась на оси х.

Ре ш е н и е

Запишем координаты х и у точки М в произвольный момент (см. рисунок):

х - rcos<p,

(1)

= rsin(p.

( 2 )

31. Смешанные задачи

 

283

Определим изменение угла ср:

 

ф= ш.

 

а

Учитывая, что

 

 

М(х, у, г)

v.g, = сог- v0cosa,

 

получим

 

 

v0 cosa,

t.

 

> = —

 

Тогда уравнения (1) и (2) примут вид

 

(v0 cosa

t

 

х = rcosl—

 

. f v0 cosa

,

 

у = rsinl —

t

Для определения координаты z запишем дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось

 

mz = P

 

или

 

 

1

dt 8'

(3)

 

так как P = mg.

В выражении (3) разделим переменные и дважды проинтегрируем его:

Z =

gt+Ci,

(4)

Z =

^-+Clt+C2.

(5)

Подставим начальные условия: / = 0, Zo = 0, to - v0 sin а, в формулы

(4) и (5) и получим

to = v0sina = C,,

Zo=0 = C2.

284

IX. Динамика материальной точки;

Подставим значения постоянных интегрирования С, и С2 в формулу (5):

 

 

 

gt2

 

 

 

 

z =

2 + v0tsma.

 

 

„

fvocosa^

 

. fv0sina^

.

gt

О т в е т :

x = rcosl —

/J; j' = /*sm}-!!——-tj; £ = v0 fsina+-^-

Задача 31.22

Камень M, находящийся на вершине А гладкого полусферического купола радиуса R, получает начальную горизонтальную скорость v0. В каком месте камень покинет купол? При каких значениях v0 камень сойдет с купола в начальный момент? Сопротивлением движению камня по куполу пренебречь.

Р е ш е н и е

На камень действуют сила тяжести mg и реакция N поверхности (см. рисунок). Свяжем с движущимся камнем естественные оси л и т . Запишем дифференциальное уравнение движения камня в проекции на ось гг.

та„ =mgcos(p-iV,

(1)

В момент отрыва камня от купола N= 0, тогда уравнение (1) примет вид

v2 = gKcoscp.

(2)

Для определения скорости камня запишем теорему об изменении кинетической энергии материальной точки:

mv2

mvl

•

—

^-=mgJ?(l-cos(p)

31. Смешанные задачи

285

или

V2 = v$ + 2 g / ? ( L - C 0 S ( p ) .

(3)

Подставим выражение (3) в формулу (2) и получим

 

Vq +2gR (1 - coscp) = gRcosy.

 

Откуда

 

 

Vo +2gR = 3gRcosq>,

 

f2

v2

 

cosm = —+——

 

1з

3gR

 

<p = arccos

U 3gR)

Из формулы (2) найдем значение v0, при котором камень сойдет с купола в начальный момент. При этом <р = 0. Тогда

 

v0

> Ш

О т в е т : ф= a r c c o

s I ; v0

£.JgR.

\з

3gR

 

Задача 31.23

Точка М массы т движется по гладкой поверхности полусферического купола радиуса R. Считая, что на точку действует сила тяжести, параллельная оси z, и зная, что в начальный момент точка имела скорость v0 и находилась на высоте h0 от основания купола, определить давление точки на купол, когда она будет на высоте h от основания купола.

Р е ш е н и е

Тело движется по гладкой полусфере. На него действуют сила тяжести trig и реакция N поверхности (см. рисунок). Свяжем с телом естественные оси п и т. Запишем дифференциальное уравнение движения тела в проекции на ось л:

та„ =mgcos<p-N,

(1)

v2 где <*„ = —.

286

 

IX. Динамика материальной точки;

Откуда

 

 

 

if

 

mv2

...

N =mgc oscp--—.

(2)

 

 

R

 

Для определения скорости точки М применим теорему об измене-

нии кинетической энергии:

 

 

mv2

mvl

•

 

~2

2

=

 

Откуда

 

 

 

mv2

= mvl + 2mg(h0 -А).

(3)

Подставим выражение (3) в формулу (2):

 

N =mgcos(p-[/nVo +2mg(h0 -Л)]—.

R

~ И

Так как cosq> = —, то

R

N ^ [ m v i + 2 m g { K _ h ) ] L

к

к

V2

О т в е т : N = — ЗА -2А0 - —

R

Задача 31.24

2 Л к^ ЗА -2Л0 - —

Точка М массы т движется по цепной линии

y = -(ex/a

+ e-x/a) = ach-

2

 

а

под действием силы отталкивания,

параллельной

оси Оу, направленной от оси и равной кту. В момент / = 0 х= 1 м, JC = 1 м/с. Определить давление N точки

на кривую и движение точки при к = 1 рад/с2 и а - 1 м (силой тяжести пренебрегаем). Радиус кривизны цепной линии равен у2/а.

31. Смешанные задачи

Р е ш е н и е

Свяжем с движущейся точкой М естественную ось п (см. рисунок) и составим дифференциальное уравнение движения точки в проекции на эту ось:

тап

mv2

-г-, '

Р

= 2 Л * .

где ^Fk„ = R+Fcos<p, F = кту;

 

 

V2 = X2 +у2 ,

Тогда

 

 

mv =

R+kmycos<p.

Откуда

 

 

R=

- кту cosy,

где

х

COS(p = —.

287

(1)

(2)

(3)

Для определения х запишем дифференциальное уравнение движения точки М в проекции на ось х:

Проинтегрируем это уравнение дважды и получим

x = Cl = const,

(4)

x = C.t+C7.

(5)

Исходя из начальных условий: / = 0, х0 = 1; х0

= 1, найдем постоян-

ные интегрирования. Из формулы (4): -*о =1 = С,, из формулы (5): х0 = 1 = С2.

Подставим значения С, и С2 в (4) и (5) и найдем:

* = 1, x = t + \.

288

 

 

 

IX. Динамика материальной точки;

Найдем проекцию скорости точки М На ось у:

 

 

 

y = ir^

 

=

yx>

 

 

 

dx dt

 

 

 

 

U х

 

 

 

 

 

 

где у = sh—.

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

= xsh—,

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

v = xj 1 + sh 2 - .

 

(7)

Подставим выражения (1), (3), (7) в формулу (2):

 

 

m;c2[l + s h 2 | j a

k m y j c

 

 

тх2 f 1 + sh2 — j

 

akmch-

R =

 

 

 

 

 

 

y 2

x j l + s h

2 -

 

ach2—

J l + S h 2 -

 

V

a

 

а

V

a

Учтем, что 1 + sh2 — = ch2 —, и получим

 

 

a

a

 

 

 

 

 

 

R = T^L ~ kma.

 

(8)

 

a

 

 

 

 

 

Подставим в выражение (8) заданные в условии задачи величины и получим, что R- 0.

Сила давления N точки М на кривую равна реакции связи, т.е.

N = R = 0.

О т в е т: N = 0; х = (1 +/) м.

Задача 31.25

По какой плоской кривой следует изогнуть трубку, чтобы помещенный в нее в любом месте шарик оставался по отношению к трубке в равновесии, если трубка вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг оси Оу?

31. Смешанные задачи

 

289

Р е ш е н и е

 

 

Свяжем подвижную ось х с точкой М (см. ри-

у,

сунок) и запишем уравнение относительного

,п

движения в проекции на эту ось, учитывая, что

\\Я

Ф» =тсо2х:

 

т~ = - mgsin а+Ф"е cos а,

(1)

 

так как Nix.

Согласно условию задачи шарик должен оставаться по отношению к трубке в равновесии, значит,

= 0.

dt

Тогда уравнение (1) примет вид

/исо2 х cos а - mg sin а = О

или

tga = со2х

8

„

dy

 

 

Поскольку tga = —, то

 

 

 

dx

 

 

 

dy _ (о2х

 

 

dx

g

 

Разделим переменные, проинтегрируем

 

 

jdy =

j—xdx

 

и получим

 

 

 

 

(О2*2 +С.

(2)

 

2S

 

В начальный момент xQ = 0, тогда согласно формуле (2): С =

= с.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности