doc1
.pdf352 |
IX. Динамика материальной точки |
Задача 32.21
В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза М, если в начальный момент /.ВАМ = ф0 и точке М сообщили начальную скорость v0, направленную по касательной к окружности вниз.
Р е ш е н и е
Согласно результатам решения задачи 32.20 уравнение движения груза М имеет вид
|
Ф+£2Ф = 0, |
|
где к1 = j-. |
|
|
Решение этого дифференциального уравнения |
|
|
ф = С,со5£/+С2 5т/:?, |
(1) |
|
ф = -кС, sin к! + кС2 cosк!. |
(2) |
|
Из формул (1) и (2) найдем С, и С2 по начальным условиям: при |
||
t = 0 ф = ф0, v = v0 ф0 = |
так как v0 направлено в сторону, обрат- |
|
ную возрастанию угла ф; С, = ф0, С2 = —jL. |
|
|
|
лД? |
|
Подставим значения С, и С2 в формулу (1) и окончательно получим
|
Ф = ф0 cos J— t - —= sin J— t. |
|
|
|
41 4ig v / |
О т в е т : ф = ф0 |
соs J— |
L sin J— t. |
|
V/ |
V¥ . V / |
Задача 32.22
Тело E, масса которого равна т , находится на гладкой горизонтальной плоскости. К телу прикреплена пружина жесткости с, второй конец которой прикреплен к шарниру О,. Длина недеформированной пружины равна /„; в положении равновесия тела пружина
32. Колебательное движение |
|
353 |
имеет конечный предварительный натяг, рав- |
о |
|
ный Fg = c(l~l0), где I = OOv Учитывая в гори- |
|
|
зонтальной составляющей упругой силы пру- |
|
|
жины лишь линейные члены |
относительно |
|
отклонения тела от положения равновесия, |
|
|
определить период малых колебаний тела. |
|
|
Р е ш е н и е |
|
|
Рассмотрим малые колебания те- |
|
|
ла Е, происходящие под действием |
|
|
силы тяжести G, реакции плоско- |
|
|
сти N и силы упругости Fy„p. Ось х |
|
|
направим вдоль плоскости из поло- |
|
|
жения О равновесия тела по ходу его |
|
|
движения (см. рисунок). |
|
|
Запишем дифференциальное урав- |
|
|
нение движения тела Е в проекции |
|
|
на ось.*: |
|
|
mx = '£jFkx = -Fynp sincp. |
(1) |
|
Найдем силу упругости |
|
|
|
-Fynp = сЛ, |
|
где А — деформация пружины, А = О.Е-10, О.Е = coscp
Тогда
F* упр= с coscp
Ввиду малости угла ср можно считать, что coscp = 1, sin cp = tgcp =1
Тогда уравнение (1) примет вид
т х - -с(/-/0 ) у. |
( 2 ) |
По условию задачи
F0 = с(1 -/„)=> с =
/-/о'
354 |
|
IX. Динамика материальной точки |
С учетом этого уравнение (2) запишем в виде |
||
/ - / 0 |
/ |
/ |
или |
|
|
х + к2х = О,
где к2 = Im
Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний с круговой частотой к = I— и периодом Т = — -=2%
\lm |
к |
О т в е т : Т = 2 n^lmjF^. |
|
Задача 32.23
Материальная точка массы m подвешена к концу нерастянутой пружины с коэффициентом жесткости с и отпущена с начальной скоростью v0, направленной вниз. Найти уравнение движения и период колебаний точки, если, в момент времени, когда точка находилась в крайнем нижнем положении, к ней прикладывают силу Q = const, направленную вниз.
Начало координат выбрать в положении статического равновесия, т.е. на расстоянии Р/с от конца нерастянутой пружины.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение материальной точки с момента, когда ее подвесили к нерастянутой пружине, до нижнего крайнего положения (рис. 1). Силы, действующие на точку: сила упругости
Fynp, сила тяжести Р. Начало оси х совместим с положением статического
равновесия и направим ее вниз.
Запишем дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось х:
m x = Y j F > « = P - F y пр. |
( 1 ) |
где Fynp = сД, Д = f„ + х — деформация пружины.
32. Колебательное движение |
355 |
|
Тогда уравнение (1) примет вид |
|
|
|
тх- P-cf„-сх. |
(2) |
В положении равновесия |
|
|
|
= cfa = Р, |
|
тогда согласно формуле (2) |
|
|
или |
тх = -сх, |
|
|
|
|
/ 2 |
х + А:2х = 0, |
(3) |
с |
|
|
где к |
= —. |
|
|
т |
|
Решение уравнения (3) имеет вид |
|
|
|
х = С, coskt+C2 sinA/, |
(4) |
|
x = -kCxsinkt + kC2coskt. |
(5) |
Из формул (4) и (5) определим С, и Сг по начальным |
условиям |
||||
движения: / = 0, х0 |
Р |
mg |
та |
v0 |
= кС2 => |
= - / „ = — |
= ——, х0 |
= v0; — - - Сп |
|||
|
с |
с |
с |
|
|
=*С2=\ к
Подставим значения С, и С2 в формулу (4) и получим
х= coskt + —sin к t.
ск
Амплитуда колебаний
Рассмотрим дальнейшее движение точки после того, как к ней приложили силу Q (рис. 2).
Дифференциальное уравнение движения точки (начало коорди-
нат и ось — те же) в проекции на ось х: |
|
|
или |
m£ = JlFla=Q + P-Fynp=Q + P-c(f„+x) |
= Q-cx, |
|
|
|
|
x + k2x = Q, |
(6) |
, 2 |
т |
|
С |
|
|
где к |
= —. |
|
|
т |
|
356 |
IX. Динамика материальной точки |
Решение неоднородного дифференциального уравнения (6) ищем |
|
в виде |
|
|
X = х + х*, |
где X = С, coskt+C2 sin kt; |
x* = A. |
Из уравнения (6) найдем
т |
с |
|
Тогда |
|
|
х = С{ coskt+С2 |
sin kt + —, |
(7) |
х = -кС, sin А/ + kCj coskt. |
(8) |
Из формул (7) и (8) определим С, и С2 по начальным условиям:
при t = 0 х0 = 0, хй= а |
|
mg)2 (v, 42 |
Q |
0 = кС2 =>С2=0.
Подставим значения С, и С2 в формулу (7) и запишем уравнение движения точки после того, как к ней приложим силу Q:
|
ж2 / |
|
/-1 |
X = |
т8 \ + ( |
Vo 1 |
Q cos |
Период колебаний
|
Cm |
|
О т в е т : х = |
cos |
Q |
+ —, где t отсчитывается |
||
|
|
с |
от момента времени, когда начала действовать сила Q;
Т = 2njm/c.
358 |
|
|
|
IX. Динамика материальной точки |
|
Эквивалентная пружина должна иметь жесткость |
|||
|
|
|
|
с = с, +с2. |
„ |
~ |
2% „ |
I т |
; с = с. + с2; расположение груза таково, |
О т в е т : / = — = 2л |
\(<h+<h) |
|||
|
|
к |
|
|
|
что |
а,/д2 = с2/с\. |
|
Задача 32.25
В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза, если его подвесили к нерастянутым пружинам и сообщили ему начальную скорость v0, направленную вверх.
Р е ш е н и е Решение дифференциального уравнения
х + к2х = О,
полученного в решении задачи 32.24, имеет вид
|
|
х = С, coskt+С2 |
sinkt, |
|
|
(1) |
||
|
х = ~kCt sin kt + kC2 coskt, |
|
(2) |
|||||
где к = p + С г |
— круговая частота. |
|
|
|
|
|
||
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из формул (I) и (2) определим постоянные С, и С2 по началь- |
||||||||
ным условиям: / =0, х0 |
- ~/ст |
/> |
|
х0 = -v0; |
|
|
||
с, +с2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
С, = |
— , |
-v0 =fcC2=>С2 |
= |
А |
= -v0 |
' |
Ш |
|
|
с, + с2 |
|
|
|
|
Ц q +с2 |
где P-mg.
Подставим значения С, и С2 в формулу (1) и запишем уравнение движения груза: .
x = - A c o s |
/S+SL, |
- v 0 |
J - ^ - s i n |
UOL+fL, |
|||||
+с2 |
^V /я |
|
c,+c2 |
(J m |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
О т в е т : х = — — c o s [ JSLtSl t |
-v0 |
|
-J5L-sin |
|
/ |
||||
2 |
V* |
у |
v |
c |
i |
+ c |
2 |
\V |
m |
C| + c |
|
|
|