doc1

Задача 32.98

Материальная точка массы 3 кг подвешена к пружине с коэффициентом жесткости с = 117,6 Н/м. На точку действует возмущающая сила F = #sin(6,26/ + P) Н и сила вязкого сопротивления среды Ж = - a v (R в Н). Как изменится амплитуда вынужденных колебаний точки, если вследствие изменения температуры вязкость среды (коэффициент а) увеличится в 3 раза?

Р е ш е н и е

Амплитуда вынужденных колебаний при наличии сопротивления среды

где и — коэффициент затухания, п = — .

2т

По данным задачи рассчитаем

к2 = — = HZ^ - 39)2) А = Л/39Д =6Д6 (рад/с).

т 3

Так как р = к, то формула (1) примет вид

^2пр

Очевидно, что при увеличении п, характеризующего сопротивление среды, в 3 раза, амплитуда колебаний уменьшится в 3 раза.

О т в е т : амплитуда вынужденных колебаний уменьшится в три раза.

Задача 32.99

Тело массы 2 кг, прикрепленное пружиной к неподвижной точке А, движется по гладкой плоскости, образующей угол а с горизонтом, под действием возмущающей силы S = 180sinl0/ Н и силы сопротивления, пропорциональной скорости R = -29,4v (R в Н). Коэффициент жестко-

ста пружины с = 5 кН/м. В начальный момент тело находилось в покое в положении статистического равновесия. Найти уравнение движения тела, периоды Г свободных и Г, вынужденных колебаний, сдвиг фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы.

откуда (3 = e = -3°30'.

Общее решение уравнения (1) ищем в виде

х= е-"'(С, cos£/+C, sin А,/) + Д. sin(p/+Р),

х= -ne~"'(Ct cosA,/ +С2 sin А,/) + А, е-"' х х(-С, sinA1/+C2cosAl/) + 4./>cos(/»/+P),

где /с, = л/А2 - л 2 = 49,46 (рад/с).

При / = 0 Хо = 0, х0 = 0. Найдем постоянные интегрирования: С, = = 0,228 см; С2 =-0,72 см.

Следовательно, уравнение движения тела имеет вид

х= е 1 ^ '(0,228 cos 49,46/ - 0,72 sin 49,46/) + 3,74 sin(10/ - 3°300-

От в е т: х = е"7-35 '(0,228cos 49,46/ -0,72 sin 49,46/) + 3,74sin(10/ - 3°300,

Т= ОД27 с; Г, = 0,628 с; е = 3°30'.

Задача 32.100

На тело массы 0,4 кг, прикрепленное к пружине с коэффициентом жесткости с = 4 кН/м, действуют сила S =40sin50/ Н и сила сопротивления среды R = - av, где a = 25 Н • с/м, v — скорость тела (v в м/с). В начальный момент тело покоится В положении статического равновесия. Найти закон движения тела и определить значение частоты возмущающей силы, при котором амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной.

Р е ш е н и е

Приняв тело за материальную точку В, покажем на рисунке приложенные к ней силы: силу тяжести mg, возмущающую силу S, силу упругости Fynp пружины, силу сопротивления среды R.

и сдвиг фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы

Общее решение уравнения (1) запишем в виде х = ае"" sin(fy + а) + Д. sin (pt+р),

х = -апе'"' sin(fy + а) + ак] е"" сos(fy + а) + А,р cos(pt+Р), где А, = 4 к 2 - п 2 = -v/l-104 — (31Д5)2 = 95 (рад/с).

При t = 0 х0 = 0, х0 = 0, тогда а = 0,647, sina = 0,73, a = - 46°55'.

С учетом найденных значений а и а решение уравнения (1) примет вид

х = 0,647е-31'25'sin(95/-46°550+ U3sin(50 /-22о360-

Из начальных условий: при / = 0 х0 = 0, jc„ =0, найдем С, и С2:

С2 п р к

1(;'с2-р2)2+4п2р2'

с= ph(2n2+p2-k2)

-JF-t?p2-p2)2+4n2p2]

Подставим значения постоянных Сх и С2, коэффициентов А и В в уравнение (2) и запишем уравнение движения тела в окончательном виде:

тивления а = 110 Н-с/м.

Найдем коэффициент затухания

2т 2-6

и коэффициент расстройки

_ -Jk2 ~2п2 _ V2^4 103 -2 9Д72

1 к

С учетом того, что z = —, определим частоту возмущающей силы

/с

р = zk = 0£7• JvmW = 52,6 (рад/с)

и рассчитаем сдвиг фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы

Задача 32.103

На тело массы 0,1 кг, прикрепленное к пружине с коэффициентом жесткости с = 5 кН/м, действует сила S = Н sinpt, где Н= 100 Н, р = 100 рад/с, и сила сопротивления R = pv Н, где р =50 Н • с/м. Написать уравнение вынужденных колебаний и определить значение частоты р, при котором амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной.

Р е ш е н и е

Составим дифференциальное уравнение движения тела в проекции на ось х (см. решение задачи 32.101):