doc1
.pdf410 |
IX. Динамика материальной точки |
|
или |
|
|
|
x + k2x = fg, |
(6) |
причем начальные условия: при t = х = х,, ^ = 0. |
(7) |
|
По аналогии для tx <t<t2 |
получим |
|
или, подставив значения , и х,а :.
"-iKf^H-
2л
Если * = 0 в момент и = —, то
к
х2 - —х0 —.
к2
Движение не прекратится, если |х2| > ~ и т.д.
к
Итак, максимальные по абсолютной величине последовательные отклонения от положения равновесия будут происходить при:
х, х |
- х |
0 + Ш |
хг - |
хх |
хX - г |
+ |
-ч |
ло, л, - |
х |
|
2 - |
~ о |
з - -Ха |
|
(8)
а соответствующие им моменты остановок тела:
Л л |
2л |
пп |
к |
к |
к |
Если jx„| < то движение прекратится.
/С
Период колебаний тела |
|
|
2л |
T* = |
t„-tn.2=^,к |
32. Колебательное движение |
411 |
т.е. равен периоду колебаний при отсутствии силы трения. В данном случае
с = |
245 |
= 245 (Н/м), |
|
0,01 |
|
к2 =- |
= — |
= 490 (рад/с2), |
т |
0,5 |
|
к2 |
490 |
|
Найдем:
1) число п размахов, которое совершит тело А:
|
к2 |
к2 |
=>2п |
+1 = А ^ „ т 1 п = 3 Д 5 , т . е . и = 4; |
|
g |
0,4 |
||
2) величины размахов: |
|
|
||
А, = |хо|+|jc, | = 3,0 +|-3,d+2 -0,4| = 3,0+2,2 = 5,2 (см), |
||||
А2 |
=1^1+1x21 = 2,2+13,0-4-0,4| = 2,2+1,4 = 3,6 (см), |
|||
А3 |
= |х2| +|х3| = l,4+|-3,0+6-0,4j = 1,4+0,6 = 2,0 (см), |
|||
А4 |
= |х3| = р,0-8,0-0,4| = 0,6-ОД = 0,4 (см); |
|||
3)продолжительность одного размаха
Т= — = - ^ L = од4 (с).
к22Д4
От в е т : 1) 4 размаха; 2) 5,2 см, 3,6 см, 2 см, 0,4 см; 3) Т = 0,14 с.
Задача 32.58
Груз массы М = 20 кг, лежащий на наклонной негладкой плоскости, прикрепили к нерастянутой пружине и сообщили ему начальную скорость v0 =0,5 м/с, направленную вниз. Коэффициент трения скольжения / = 0,08, коэффициент жесткости пружины с = 20 Н/см. Угол, образованный наклонной плоскостью с горизонтом, а = 45°. Определить: 1) период колебаний, 2) число максимальных отклонений от положения равновесия, которые совершит груз, 3) величины этих отклонений.
32. Колебательное движение |
413 |
В момент остановки х = 0, следовательно,
х, = A, sin{-+p, - р , |
J к |
cos45°= A,~4cos45°. |
|||||
|
2 |
|
|
|
к |
||
Вычислим частоту колебаний |
|
|
|
||||
^=£ и = Ш20 |
= Ю0, |
к =10 рад/с |
|||||
и рассчитаем х |
|
|
|
|
|
|
|
/ с т - 4 cos 45° = m g s m 4 5 ° - 4 - cos 45°= 4-(sin 45°-/ cos 45°) = |
|||||||
к2 |
с |
|
|
к2 |
|
|
к2 |
|
g |
_ |
= |
980-0,92 |
. |
||
= ... P.... (1 - / ) |
|
|
— |
= 6,38 (см); |
|||
|
л/2£2 |
|
|
1,414-100 |
|
||
|
|
v„ |
50 |
|
|
. |
|
|
|
— = — = 5 (см); |
|||||
|
|
к |
10 |
|
|
|
|
|
А, = V6382 +52 |
|
=8Д (см); |
||||
fg |
„<0 |
0,08-980-0,707 |
. |
||||
к2 |
cos 45°= — |
|
100 |
1 |
= 0,55 (см), |
||
|
|
|
|||||
х, =8,10-0,55 = 7,55 (см).
При движении тела вверх по наклонной плоскости дифференциальное уравнение (1) примет вид
x + /t2x = ^cos45° |
(5) |
при условии, что сх, >mg(sin45°+/cos45°). Тогда решение уравнения (5)
к2
х = Л2 A: cos [jt(r — Г, > — р2 ]-
32. Колебательное движение |
417 |
|
Задача 32.60 |
Под действием силы сопротивления R, пропорциональной первой степени скорости (R = av), тело массы т, подвешенное к пружине жесткости с, совершает затухающие колебания. Определить, во сколько раз период затухающих колебаний Г превосходит период незатухающих колебаний Т0, если отношение п/к =0,] (к2 = с/т, п = а/(2т)).
Р е ш е н и е
Начало системы координат Оху совместим с положением статического равновесия тела. Покажем на рисунке действующие на тело силы: силу тяжести mg, силу упругости Fynp, силу сопротивления R.
Запишем дифференциальное уравнение движения тела в проекции на ось х:
mx = mg-Fynp-R |
(1) |
|
или |
|
|
mx = |
mg-c(x+f„)-ax, |
|
где /„ =mg |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
mx-mg-cx-mg-ах. |
|
|
После преобразований запишем уравнение (1) в виде |
|
||
|
|
х+2пх + к2х = 0, |
(2) |
а ,2 |
с |
|
|
где п = — ; к = —. |
|
|
|
2т |
т |
|
|
Решение уравнения (2) при к > п имеет вид |
|
||
|
х = |
cosk,t+C2 sinIc^t), |
|
где к, = -Jk2 -n2 |
— круговая частота колебаний. |
|
|
Период затухающих колебаний
418 |
|
|
|
|
|
IX. Динамика материальной точки |
|
период незатухающих колебаний |
|
|
|
||||
|
|
|
|
2л |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
к ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
к |
к |
1 |
|
. |
1л |
. I . . . . . . |
—• = — = |
. , „ |
= = 1 |
|
+ — |
= 1+--0,1 = 1,005. |
||
т0 |
к, |
-fis^rf |
гут |
|
2 к |
2 |
|
|
|
|
V |
к2 |
|
|
|
Откуда найдем
Т «1,ОО5Г0.
О т в е т : Т «1,0057V
Задача 32.61
В условиях предыдущей задачи определить, через сколько полных колебаний амплитуда уменьшится в сто раз.
Р е ш е н и е
За одно полное колебание амплитуда уменьшается в е'"т раз. Если амплитуда уменьшится в 100 раз, то
|
|
Ая =Л(е-"пТ< = 4 / 1 0 0 . |
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е -ш т < |
=М0"2 . |
|
|
(1) |
|
Прологарифмируем выражение (1) и получим |
|
|||||||
или |
|
|
NnTt |
= InlOO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пГ{ |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
2л |
= 2я-,. |
п |
= |
2л |
- = |
2-ЗД4 |
= 0,63. |
пТ, = п — |
|
|
-1 |
|||||
|
|
•Jk -п |
|
|
|
|
||
32. Колебательное движение |
419 |
Подставим это значение в формулу (2) и найдем
0,63
О т в е т : через 7,5 полных колебаний.
Задача 32.62
Для определения сопротивления воды движению модели судна при очень малых скоростях модель М пустили плавать в сосуде, привязав нос и корму посредством двух одинаковых пружин А и В, силы натяжения кото-
рых пропорциональны удлинениям. Результаты наблюдений показали, что отклонения модели от положения равновесия после каждого размаха уменьшаются, составляя геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен 0,9, а продолжительность каждого размаха Т = 0,5 с. Определить силу R сопротивления воды, приходящуюся на каждый килограмм массы модели, при скорости ее, равной 1 м/с, предполагая, что сопротивление воды пропорционально первой степени скорости.
Р е ш е н и е За один размах амплитуда уменьшается в 0,9 раза, т.е.
Тогда
е-"' =0,9 = 10V'
Прологарифмируем это выражение и получим
9
или
1 . |
10 |
(1) |
п = — In—. |
||
Т |
9 |
|