Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1276 вузов, 4772 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

doc1

.pdf
Скачиваний:
527
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
11.39 Mб
Скачать
☆

480 IX. Динамика материальной точки

Определим сдвиг фазы вынужденных колебаний и возмущающей

силы

2пр

_ 245-14

 

tge =

= -35,

 

к2-р2

98-196

 

е = 91°38'.

О т в е т : е = 9Г38'.

Задача 32.106

В условиях предьщущей задачи найти коэффициент жесткости с, новой пружины, которой нужно заменить данную пружину, чтобы сдвиг фаз вынужденных колебаний и возмущающей силы стал равным я / 2 .

Р е ш е н и е

Сдвиг фаз е вынужденных колебаний и возмущающей силы определяется по формуле

_

2 пр

tge =

к 2 ^ 2

Так как согласно условию е = —, то tge = и, следовательно, р = к.

Тогда

к2 = 142 = —.

 

т

 

Откуда

 

с, =196-0,2 =39,2 (Н/м).

 

О т в е т: с, = 39,2 Н/м.

 

Задача 32.107

 

Для уменьшения действия на тело массы т воз-

i L

мущающей силы F = F0 sin{pt + 6) устанавливают пру-

 

жинный амортизатор с жидкостным демпфером. Ко-

 

эффициент жесткости пружины с. Считая, что сила

 

сопротивления пропорциональна первой степени

 

32. Колебательное движение

481

скорости (J^p = av), найти максимальное динамическое давление всей системы на фундамент при установившихся колебаниях.

Р е ш е н и е

При установившемся движении будут иметь ме- сто только вынужденные колебания, уравнение которых имеет вид

. ^

т

• <!

 

 

 

x = 4 s i n (pr + 8-e),

(1)

ЕЙ ^

Ас — амплитуда вынужденных колебаний,

 

 

 

 

 

 

 

Ас =

 

И

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, 2

с

 

а

,

 

F0

 

 

 

 

 

где к1

= —; п = — ;

 

h = —.

 

 

 

 

 

m

 

2m

 

 

m

 

 

 

 

 

Представим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(/>/ + 5 -

e) = sin(pt + 8) cose -

cos(pt + 8) sin e,

где cose =

,

k2-p2

 

 

 

 

.

 

2np

 

 

 

 

 

 

 

, sine = , .

 

 

 

 

J(k2-p2)+4n2p2

 

 

 

J(k2-p2)2 +4n2p2

 

Тогда уравнение (1) примет вид

 

 

 

х = —- Л

 

 

 

^-[(Л2

~P2)$in(j>t + S)-2npcos(pt

+ 8)],

 

 

(к2-р2)2+4п2р2

 

 

 

 

 

 

 

JC =

 

hp2

 

 

 

[-(/t2

- p2)sin(pt

+ Ъ)+2прcos(pt

+ 8)].

 

(к2 -р2 )+4п

2 р2

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциальное уравнение колебаний тела в проекции на ось х (см. рисунок):

 

 

 

 

mx =

F-N.

 

 

Откуда с учетом того, что F^=mh, получим

 

 

А, „

.

р

. ,

F^p2Uk2 -p2)sxx\(pt

+ 8)-2pncos(pt + 8)1

N = F-mx

 

= F0sm(pt + S)+

L

—

+4n p

J

 

 

 

 

 

(к1 - ply

 

482

IX. Динамика материальной точки

или

 

 

N = a sin(pt + 8) +bcos(pt + 5),

 

 

 

где a = F0 1 + -(кг

р2(к2-р2)

,b

= F0

2пр'

 

 

 

-рг)г

+4п2р2

(к1 -рг? +4п2р2

 

Максимальное значение динамического давления

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + -

р\к2-Р2)

 

 

4п2р„6

 

 

 

 

 

 

_

[(А:2 -р2 )2

+4л2/>2]

 

 

(к2-р2)2+4п2р2

 

(А2 -р2 )2

+4п2р2 д/[(А2 -/>2)2 +4л2/>2 + р2(к2 -р2)]1 +4п2рв

 

 

Fn

 

т](к4 -р2к2

+4п2р2)2

+4п2р6 =

 

(к2 —р2)2

+4п2р2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А4 +4п2р2

 

 

 

 

 

 

(к2 -р2)2

+4п2р2'

 

 

 

так как подкоренное выражение

 

 

 

 

 

 

 

(А2 - / А 2 +4п2р2)2

+4 п2р6

 

 

 

делится без остатка на (к2 -р2)2

+4п2р2.

 

 

 

П

л;

Г

к4+4п2р2

 

 

с

 

 

а

О т в е т : Nmax = F0 —

- / г )

\

 

, где А2 = —, л =

2т

 

 

\(А

+4л /г

 

лг

 

33. Относительное движение

Методические указания к решению задач

Относительным движением материальной точки называется движение точки относительно подвижной системы координат. В общем случае такая система координат может двигаться произвольно и поэтому не является инерциальной. В этой системе координат второй закон динамики в обычном виде неприменим.

Так как абсолютное ускорение точки в сложном движении определяется по теореме Кориолиса,

 

а = а г

+ а е +а с ,

(33.1)

где аг, ае, ас

— ускорение точки соответственно относительное, пе-

реносное и Кориолиса.

 

 

Второй закон динамики в подвижной системе координат имеет

вид

 

_ __

 

 

таг = ^

+ Фе + Фс,

(33.2)

где Фе = -тае

— переносная сила инерции; Фс = -тас

- -2/и(сое xVr) —

сила инерции Кориолиса материальной точки.

 

Уравнение (33.2) выражает основной закон динамики для относительного движения материальной точки. Проектируя это уравнение на подвижные оси координат, например Oxyz, получим дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки в проекциях на эти оси:

mX = ^Fb + Ф„+Фв,

ту =

+Фе, +ФС,,

=

(33.3)

Уравнение (33.2) можно записать и в проекциях на естественные оси, в частности на касательную и главную нормаль, в случае криво-

484

IX. Динамика материальной точки

линейного движения, когда траектория точки известна, например, при исследовании движения математического маятника.

Таким образом, при решении задач на движение точки в подвижной системе координат все уравнения и теоремы механики для относительного движения материальной точки составляются так же, как и уравнения абсолютного движения, если к силам, действующим на точку, прибавить переносную силу инерции и силу инерции Кориолиса.

Если точка в подвижной системе координат покоится, то ее относительная_скорость vr = 0 и относительное ускорение аг = 0, следовательно, и Фс =0, тогда равенство (33.2) примет вид

£ Я + Ф«=0.

(33.4)

Уравнение (33.4) — уравнение относительного равновесия (покоя) точки.

На точку (тело), покоящуюся на земной поверхности, действуют сила Р притяжения к центру Земли, нормальная реакция N поверхности и центробежная сила инерции Фец. Силы Р и Фги обусловливают давление тела на поверхность Земли, а их сумма является силой

тяжести G, т.е.

_

G=P

+ ФД

Поэтому при решении задач статики, принимая систему координат, связанную с Землей, за неподвижную, никаких поправок вследствие вращения Земли вводить не надо.

При движении тела по земной поверхности или вблизи Земли с некоторой относительной скоростью vr на него действует сила инерции Кориолиса, которая при движении тела в Северном полушарии стремится отклонить его вправо от направления движения. Этим объясняется боковое давление поезда на рельсы, подмыв правого берега рек, отклонение ветров постоянного направления и морских течений. Вследствие вращения Земли свободно падающее тело отклоняется от вертикали к востоку.

Последовательность решения задач этого параграфа:

1.Выбрать подвижную систему декартовых либо естественных осей.

2.Изобразить материальную точку в выбранной системе координат в произвольном положении.

3.Записать выражения для переносного ускорения и ускорения Кориолиса и показать векторы этих ускорений на рисунке.

32. Колебательное движение

485

4.Показать все действующие на точку силы, включая и силы реакций связи, если точка несвободна, а также силы инерции — переносную и Кориолиса.

5.Составить необходимые дифференциальные уравнения движения точки в выбранной системе координат.

6.Определить начальные условия движения.

7.Проинтегрировать дифференциальные уравнения и с учетом начальных условий движения определить искомые величины в общем виде.

Задачи и решения

Задача 33.1

К концу А вертикального упругого стержня АВ прикреплен груз С массы 2,5 кг. Груз С, будучи выведен из положения равновесия, совершает гармонические колебания под влиянием силы, пропорциональной расстоянию от положения равновесия. Стержень АВ таков, что для отклонения конца его А на 1 см нужно приложить силу 1 Н. Найти амплитуду выну-

жденных колебаний груза С в том случае, ко- в гда точка закрепления стержня В совершает по горизонтальной прямой гармонические колебания амплитуды 1 мм и периода 1,1с.

Р е ш е н и е

Покажем на рисунке силы, приложенные к грузу: силу упругости Fynp стержня, переносную силу инерции Фс, силу тяжести mg.

Запишем основное уравнение относительного движения груза С в проекции на ось х:

тх • -Fупо - Ф >

(1)

L

Ф./'

' mg

где Fynp = сх; Фе -тхе, хе = Лв sin со/ — уравнение гармонических колебаний точки закреп-

ления стержня, амплитуда колебаний которых Ar = 1 мм.

486

 

 

 

 

IX. Динамика материальной точки

Найдем вторую производную от хе по времени

 

 

 

 

 

хе

= -Авсо2 sin со/,

 

 

2л

2-3,14

 

. .

 

где со = —

= - у - р = 5,7 (рад/с).

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

Фг

= -тАва>2 sin со/.

 

Подставим Fynp и Ф , в

уравнение (1) и получим

 

 

 

 

тх = -сх + Авоз2 sin со/

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х + к2 х = A sin со/,

(2)

/ 2

с

100

л п .

.

2

 

где к2

= — = —

= 40; h = Лео2.

 

 

т

2,5

 

 

 

 

Общее решение уравнения (2) ищем в виде х = х + х*,

где х — общее решение однородного уравнения х + к2х = 0, х = С, cosА/ + + С2 sin kt; х* — частное решение уравнения (2):

x* = 5sinco/,

(3)

х*=-Вт2

sin со/.

(4)

Подставим выражения (3) и (4) в уравнение (2) и получим

 

-Biо2 sin со/+Вк2 sin со/ = h sin со/.

 

Откуда

 

 

п_ 4,со2

 

А2 — со2

 

Тогда общее решение уравнения (2)

 

х = С, coskt+C2sinkt

ЛдСО2

(5)

+ -~—j-sinco/.

 

А2 -со

 

32. Колебательное движение

487

В выражении (5) последнее слагаемое описывает вынужденные колебания точки С в относительном движении, амплитуда которых

л -

лв®2

1-5,72

Аггн - 'к2- со2

40-32,49 = 4,42 (мм).

Тогда общая амплитуда вынужденных колебаний

Авын = Лтн +АВ=

4,42 +1,00 = 5,42 (мм).

О т в е т : 5,42 мм.

Задача 33.2

Точка привеса математического маятника длины / движется по вертикали равноускоренно. Определить период Т малых колебаний маятника в двух случаях: 1) когда ускорение точки привеса направлено вверх и имеет какую угодно величину р\ 2) когда это ускорение направлено вниз и величина его р < g.

Ре ш е н и е

1)Движение маятника сложное: движение точки привеса — переносное, а качание маятника — относительное. Покажем на рис. 1 силы, приложенные к маятнику: переносную силу инерции Фе, силу тяжести mg, реакцию N нити.

Запишем дифференциальное уравнение относительного движения в проекции на естественную ось т, когда ускорение р точки привеса направлено вверх:

ma) = -(mg sin ф+Фе sin cp),

(1)

где Ф„ = тае = тр, так как ае = р.

Рис. 1

Уравнение (1) примет вид

 

та) = -mgsin<p-mpsin<p,

где а) = /ф; sin ф = ф.

Тогда уравнение (2) запишем в виде /ф = -(#+/>)ф

(2)

(3)

488

 

 

IX. Динамика материальной точки

или

 

ф+£2 ф = 0,

(4)

 

 

да

 

 

 

Период колебаний маятника

 

 

 

Т- —

 

 

 

к'

 

подставим значение к =

/

и найдем

 

 

 

 

Т = 2%-Л

•Jg+p'

2) Рассмотрим движение маятника, когда точка привеса движется с ускорением р < g вниз. На рис. 2 покажем силы, действующие на маятник: переносную силу инерции Фг, силу тяжести mg, реакцию N нити.

Запишем дифференциальное уравнение относительного движения в проекции на ось т:

malr = -mg sin tp+Фе sin ф,

(5)

где a%r = /ф, э т ф = ф; Фс = тае = тр, так как ае = р. Тогда уравнение (5) примет вид

или

 

Ф+ £2ф=:0,

где * > = £ z £ .

 

В этом случае к =

а период колебаний

 

у, _ 2%-Л

 

-Jg-P

О т в е т : 1) Т =

2 ) Т = 2тсЛ

•Jg + P

4g~P

33. Относительное движение

489

Задача 33.3

Математический маятник ОМ длины / в начальный момент отклонен от положения равновесия OA на некоторый угол а и имеет скорость, равную нулю; точка привеса его в этот момент имеет также скорость, равную нулю, но затем опускается с постоянным ускорением p > g . Определить длину s дуги окружности, описываемой точкой М в относительном движении вокруг точки О.

Р е ш е н и е

Движение маятника сложное: движение точки привеса — переносное, а качание маятника — относительное. Свяжем с маятником естественные оси (л и т) и составим дифференциальное уравнение относительного движения в проекции на ось х:

та) =-/ngsincp+Ф,, sin<p,

(1)

где а) = /ф; Фе = тхг - тр.

Тогда уравнение (1) примет вид

/ф = -(£-/>) sin ф

(2)

или

g-P

 

 

 

sin фАр,

(3)

так как

 

I

 

 

 

 

 

 

 

ф:

. d(a

 

 

 

 

ац>

 

Проинтегрируем выражение (3) и получим

 

Ф2

=

^cosm+C..

(4)

2

1

 

1

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности