doc2

ростью v. На платформе имеется выступ, в который упирается ребро В груза, препятствуя последнему скользить по платформе вперед, но не препятст-

вуя вращению его около ребра В. Дано: И — высота центра масс груза над платформой, р — радиус инерции груза относительно ребра В. Определить угловую скорость со вращения груза около ребра В в момент мгновенной остановки платформы.

Задача 44.29

Полагая при условиях предыдущей задачи, что груз представляет собой однородный прямоугольный параллелепипед, длина ребра которого вдоль платформы равна 4 м, а высота 3 м, найти, при какой скорости произойдет опрокидывание груза.

Р е ш е н и е

По теореме об изменении кинетической энергии механической системы

552 X. Динамика материальной системы

С учетом этого выражения

Так как опрокидывание происходит в наивысшем положении центра тяжести с нулевой угловой скоростью, Т - 0.

Найдем

Подставим выражения (2) и (3) в формулу (1) и найдем

• i ^ ( V 4 I + 3 I - 3)(42 + З2) = 72,59. 3-9

Тогда

v = / 7 2 3 9 =8,52 (м/с) « 30,7 (км/ч).

О т в е т : v = 30,7 км/ч.

45. Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава)

Методические указания к решению задач

В классической механике в отличие от релятивистской механики масса каждой точки или частицы системы считается при движении величиной постоянной, независящей от скорости движения тела.

Однако в ряде случаев при движении тела его масса может увеличиваться или уменьшаться.

Увеличение массы тела может происходить за счет присоединения частиц (например, обледенение самолета при его посадке или взлете, налипание твердых частиц или конденсация частиц влаги на движущемся теле) или изменения геометрических размеров тела при движении (например, увеличение длины поднимаемого троса или цепи, увеличение диаметра барабана, шпули при наматывании на них троса или нити).

Масса тела может уменьшаться за счет отделения частиц (например, при движении ракеты или реактивного самолета в результате сгорания топлива) или за счет уменьшения геометрических размеров тела (например, уменьшение диаметра барабана или шпули при разматывании троса или нити, навитых на эти тела вращения).

Тело, масса которого непрерывно изменяется с течением времени вследствие присоединения к нему или отделения от него материальных частиц, называется телом переменной массы. Если при движении тела переменной массы его размерами можно пренебречь по сравнению с пройденным расстоянием, то это тело можно рассматривать как точку переменной массы.

Основное уравнение динамики тела переменной массы при поступательном движении имеет вид

где M — масса тела (точки) в данный момент времени; v — абсолютная скорость тела переменной массы; и — абсолютная скорость отбрасы-

Так как в данном случае переносной скоростью для частицы является скорость тела, то ve = v. Тогда разность i f - v в уравнении (45.1) является относительной скоростью, т.е.

Поэтому уравнение (45.1) можно записать так:

где dM _ — реактивная сила. dt vr

Если М - величина убывающая, то — - <0, и, следовательно, ре- dt

активная сила направлена противоположно вектору vr. Введем обозначение

Таким образом, если абсолютная скорость отделяющихся (присоединяющихся) частиц равна нулю, то производная по времени от количества движения тела переменной массы равна равнодействующей приложенных к нему внешних сил.

Когда v, =0, то уравнение (45.4) принимает вид

Поэтому уравнение движения тела (точки) переменной массы записывается так же, как и для точки постоянной массы, но при этом следует иметь в виду, что М = /(/). Применительно к движению ракеты в уравнении (45.4) <0, а следовательно, реактивная сила Ф

dt

направлена в сторону, противоположную направлению относительной скорости истечения газов, и является тягой двигателя.

Определенное по формуле (45.5) значение силы тяги реактивного двигателя было бы верным, если бы отделяющиеся частицы не оказывали взаимного действия друг на друга. Фактически при полете ракеты в атмосфере продукты горения топлива выбрасываются в виде непрерывной газовой струи, частицы которой оказывают взаимное давление друг на друга и взаимодействуют с атмосферой. Поэтому сила тяги несколько больше рассчитанной по формуле (45.5).

Чтобы учесть это, вместо относительной скорости истечения газов vr вводится некоторая эффективная скорость истечения ve > vr. В условиях задач в сборнике И.В. Мещерского задается именно эффективная скорость истечения газов ve.

К.Э. Циолковским решены две задачи прямолинейного движения ракеты.

Рассмотрим решение первой задачи Циолковского. Ракета движется прямолинейно под действием только реактивной силы. Относительная скорость истечения газов vr постоянна и направлена в сторону, противоположную скорости v движения ракеты. Дифференциальное

556 X. Динамика материальной системы

уравнение движения ракеты вдоль оси Ох, направленной в сторону движения ракеты,

Разделив в уравнении (45.10) переменные и проинтегрировав его,

где v0 — начальная скорость ракеты, направленная по реактивной силе; М0 — начальная масса ракеты; М — конечная масса ракеты.

Обозначим массу корпуса ракеты со всем оборудованием Мк, а массу топлива Мт. Тогда

М0 = МК+МТ,

а М — конечная масса ракеты, когда все топливо будет израсходовано, равна Мк.

Подставим эти значения в равенство (45.11) и получим формулу Циолковского для определения скорости ракеты в конце активного

Из формулы (45.12) следует, что скорость ракеты зависит:

•от ее начальной скорости v0;

•относительной скорости \>г\

•относительного запаса топлива Мт/Мк.

Однако при решении задач этого параграфа, связанных с движением ракет, в том числе и многоступенчатых, число Циолковского

принимают равным отношению обшей начальной массы Мо6 ракеты к массе ее корпуса, т.е.

Мк

Для многоступенчатой ракеты при условии, что эффективная скорость истечения газов ve для всех ступеней одинакова, общее число Циолковского

где п — число ступеней ракеты; v„ — расчетная скорость последней ступени.

Для определения уравнения движения ракеты представим в формуле (45.12)

= dx

V dt

и проинтегрируем, считая, что при t = 0, х0 =0, тогда получим

где М = f{t).

В теоретических работах по ракетодинамике обычно рассматривают два закона изменения массы: линейный и показательный.

При линейном законе изменение массы точки с течением времени описывается уравнением

где а — удельный расход (а = const); М0 — масса точки в начальный момент времени.

С учетом уравнения (45.16), проинтегрировав выражение (45.15),

и уравнение движения ракеты при показательном законе изменения ее массы имеет вид

Вторая задача Циолковского — исследование вертикального движения ракеты в однородном поле земного притяжения (g = const) без учета сопротивления воздуха.

В этом случае дифференциальное уравнение движения ракеты имеет

dx

Заменим в выражении (45.21) v на — и проинтегрируем его при dt

начальных условиях движения: ( = 0, х0 = 0:

При линейном законе изменения массы после интегрирования выражения (45.22) получим

При показательном законе изменения массы

Дифференциальное уравнение вращения тела переменной массы вокруг неподвижной оси можно записать по аналогии с уравнением Мещерского для точки переменной массы в следующем виде:

где Mz(Fe) — момент внешних сил, действующих на тело, относительно оси Z', Мг(Ф) — момент реактивной силы,

где h — плечо реактивной силы относительно оси г.

Если относительная скорость отбрасываемых телом частиц равна нулю (частицы отделяются от вращающегося тела без ударов), то Mz(0)-0 и уравнение (45.25) примет вид

На практике это имеет место при вращении, например, барабанов, шпуль, веретен, с которых сматывается трос или нити. В этом случае отделяющиеся от тела частицы имеют скорости соответствующих точек тела, т.е. и = v, а следовательно, vr = 0, и уравнение (45.27) отличается от уравнения вращательного движения тела постоянной массы тем, что Iz - Iz{t).

Если абсолютная скорость отделяемых частиц равна нулю, то в уравнение вращения момент инерции тела входит под знаком производ-

Последовательность решения задач этого параграфа:

1. Изобразить тело переменной массы, если это необходимо по условию задачи.

2.Показать на рисунке действующие на тело силы, включая реакцию связи и реактивную силу, если они имеют место.

3.Записать основное уравнение динамики тела переменной массы

ввиде формул (45.4), (45.8) или (45.9), а при вращении тела вокруг неподвижной оси в виде формул (45.25), (45.27) или (45.28).