doc2

Р е ш е н и е

Ударный импульс не будет передаваться на точки закрепления оси, если он перпендикулярен плоскости пластины и при этом выполняется условие 1ху = 0, т.е. ось вращения мишени у должна быть для точки О главной осью инерции (см. рисунок). В данном случае это условие выполняется, так как ось х является осью симметрии, а точка К расположена на этой оси.

Рассчитаем расстояние s от точки О до центра удара К:

(1)

Мхс

где 1у — момент инерции мишени относительно оси у, хс — расстояние от оси вращения до центра тяжести С мишени.

По теореме Гюйгенса —Штейнера, воспользовавшись решением задачи 34.12, определим

Зная, что хс = А/3, найдем положение центра удара:

s = Mh2/6— h

Mh/3 2'

О т в е т : 5 = /г/2.

Задача 44.24

Два шкива вращаются в одной плоскости вокруг своих осей с угловыми скоростями со,0 и (й2о- Определить угловые скорости шкивов СО! и со2 после того, как на них будет накинут ремень, считая шкивы круглыми дисками одинаковой плотности с радиусами Л, и R2 и пренебрегая скольжением и массой ремня.

Р е ш е н и е

Рассматривается случай, когда движущееся тело испытывает удар в результате того, что на него накинут ремень. Внешним ударным импульсом S, приложенным к каждому из шкивов, в данном случае будет импульс ударной силы натя-

жения ремня (см. рисунок). При этом угловая скорость твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, изменится за время удара на величину, равную моменту ударного импульса относительно оси вращения, деленному на момент инерции тела относительно той же оси:

Имея в виду, что шкивы, соединенные ремнем, будут вращаться совместно и что скольжение ремня отсутствует, зависимость между

OD = а — расстояние от линии действия ударного импульса до оси; а — угол отклонения маятника. Определить скорость снаряда, предполагая, что ось маятника О не испытывает удара, причем ah - р2.

где и = 0 — конечная скорость снаряда; v — начальная (искомая) скорость.

При этом момент ударного импульса относительно оси О вызовет изменение кинетического момента системы (маятник — снаряд) относительно той же оси, т.е.

1А — момент инерции маятника вместе со снарядом относительно оси вращения А.

Реактивные ударные импульсы в оси А не возникнут, если точка D будет для этой оси центром удара, т.е. согласно формуле (1) (см. решение задачи 44.23)

Для определения угловой скорости маятника воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

которую применим к перемещению системы снаряд — маятник после удара. Так как конечная скорость равна нулю, то Т = 0:

Y,Ak = -Mgh( 1 - cosa) ~mga(\ - cosa) = ~g(Mh +ma)( 1 - cosa) =

= -g(Mh +ma) 2 sin2 —.

Подставим это выражение в формуле (5) и после преобразований получим

С учетом этого выражения найдем скорость снаряда по формуле (4):

Так как движение началось из состояния покоя, То = 0. Поскольку при повороте на угол (р = л/2 в поле сил тяжести центр

и получим

Подставив значение Ш; в формулу (1) при условии, что соо = о)|,

где v = соI — скорость ударяющего конца стержня.

С другой стороны, так как удар неупругий, подставив в формулу (3) значение S = mv, найдем

a=-fg-

548 X. Динамика материальной системы

Пройденный телом путь s определим с учетом того, что его ко-

Отметим, что если рассмотреть систему стержень груз и считать ударный момент со стороны груза равным нулю ввиду конечной величины силы трения и малой продолжительности удара, то формула (1) примет вид

/г (со- СЙО) = -mvl, где со = М/1, так как удар неупругий.

Легко убедиться, что и в этом случае результат не изменится.

Задача 44.27

Однородная прямая призма с квадратным основанием стоит на горизонтальной плоскости и может вращаться вокруг ребра АВ, лежащего в этой плоскости. Ребро основания призмы равно а, высота ее За, масса 3т. В середину С боковой грани, противоположной ребру АВ, ударяет шар массы т с горизонтальной скоростью v.

Предполагая, что удар неупругий и что масса шара сосредоточена в его центре, который после удара остается в точке С, определить наименьшую величину скорости v, при которой призма опрокинется.

Р е ш е н и е

Момент ударных сил относительно оси 0[у[ равен нулю, так как ударные нагрузки приложены в точках А и В, лежащих на этой оси (см. рисунок). Поэтому момент количества движения до и после удара сохраняется, т.е.

Момент инерции призмы по теореме Гюйгенса — Штейнера

Для определения наименьшей скорости, при которой призма опрокинется, применим теорему об изменении кинетической энергии

Найдем входящие в формулу (3) величины: Т = 0, так как призма начинает опрокидываться с ничтожно малой скоростью;

X Ак = ~(тш +mnp)gAhc.

В момент удара координаты центра тяжести 1 «