Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Начертательная геометрия. Часть 2

.pdf
Скачиваний:
37
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
6.97 Mб
Скачать

В некоторых случаях, когда наименование точки не имеет значения, для упрощения не указывают буквенного обозначения точек, а оставляют только их числовые отметки (рис. 14.3).

На чертежах, выполненных в проекциях с числовыми отметками, не указывают координатные оси, начало координат и индекс плоскости проекций. Усло-

вимся такие чертежи называть планами. На планах необходимо вычерчивать линейный масштаб, которым приходится пользоваться при решении различныхУ

метрических задач, размеры обычно указываются в метрах (см. рис. 14.3).

На территории СНГ за плоскость нулевого уровня принят уровень Балтийского моря (нуль Крондштадского футштока). При проектированииТинженер-

ных сооружений за горизонтальную плоскость проекций может быть принята любая горизонтальная плоскость (плоскость промежуточногоНуровня) при условии, что известно ее расстояние до уровня Балтийского моря.

отметки имеют абсолютные значения (А7, В-2). Если план выполнен на плоскости проекций промежуточного уровня, то числовые отметки точек имеют отно-

Если план выполнен на плоскости нулевого уровняБ(рис. 14.4), то числовые

 

 

 

 

 

 

 

 

й

сительные значения 2, В-7) (удаление от плоскости промежуточного уровня).

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

Р

о

 

 

 

Рис. 14.4

 

п

 

 

14.2. Проекции прямой

еПри геометрических операциях на прямых линиях используют понятия:

«заложение отрезка прямой», «интервал и уклон прямой линии». На рис. 14.5 изображен отрезок прямой АВ и его проекция А1В3,5 на плоскости П0. Величина горизонтальной проекции отрезка называется заложением отрезка и обозначается буквой L. Разность отметок концов отрезка прямой (расстояние по вертикали между концами отрезка) называется превышением отрезка и обозначается буквой Н.

61

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

Рис. 14.5

 

Н

 

 

Уклоном прямой

 

 

 

 

 

 

Б

 

 

 

называется отношение превышения отрезка прямой к его

заложению. Уклон обозначается буквой i и равен тангенсу угла наклона прямой

к плоскости П0 (см. рис. 14.5):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i =

H

= tgα.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заложение прямой, соответствующее ед н це превышения, называется

 

 

 

 

 

 

р

йl (см. рис. 14.5). Нетрудно заме-

интервалом прямой и обозначается буквой

тить, что интервал прямой есть величина, об атная ее уклону:

 

 

 

 

 

 

о

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

i =

 

 

 

 

 

 

 

словыми

 

 

 

l

 

 

 

 

 

В проекциях с ч

 

 

метками прямая общего положения может

быть задана:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) проекциями двух точек прямой и их отметками (рис. 14.6, а);

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) горизонтальной проекц ей, отметкой одной из точек прямой и углом

наклона прям й к пл скости проекций (рис. 14.6, б);

 

 

 

 

пр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

екциейзна сновную плоскость, отметкой одной из ее точек и укло-

ном рям й (рис. 14.6,

в).

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 14.6

62

Обозначение угла наклона или уклона прямой должно быть дополнено стрелкой, указывающей направление спуска прямой. Горизонтальную прямую будем обозначать буквой h c указанием числовой отметки, например h5, или только отметкой 5. Отрезок вертикальной прямой задается концевыми точками с указанием их отметок.

 

 

 

 

14.3. Градуирование прямой

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

Графические действия по определению интервала прямой называются гра-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

дуированием прямой. Проградуировать прямую – это значит определить на ее

горизонтальной проекции точки,

разность высотных отметок которых равна

единице.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Существует несколько способов градуирования прямой. Все они представ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

 

ляют различные варианты решения задачи деления отрезка в данном отношении.

Рассмотрим наиболее распространенные способы решения этой задачи.

1-й способ (рис. 14.7) – использование пропорционального деления отрез-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

ка. Через один из концов отрезка (например, А2,3) проводится вспомогательная

прямая любого направления и на этой прямой в произвольном масштабе откла-

дываются величины, соответствующие

превышениям

между концевыми и ис-

 

 

 

комыми точками отрезка прямой. Построенная последняя точка на вспомога-

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

тельной прямой соединяется со вторым концом отрезка и через точки деления

параллельно замыкающей прямой п оводятся прямы . Эти прямые определяют

искомые точки на заданной

проекции

 

 

 

 

 

 

 

от езка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

Рис. 14.7

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

разность отметок которых

Отм тим, что заложение между двумя точками,

равна единице, есть интервал прямой. На рис. 14.7 величина интервала показана между точками с отметками 4 и 5.

2-й способ (рис. 14.8) – использование дополнительной горизонтально проецирующей (вертикальной) плоскости П΄, параллельной заданному отрезку (или проходящей через него) и совмещенной затем с плоскостью проекций П0

поворотом вокруг оси П´ .

П0

63

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 14.8

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

На рис. 14.8 вспомогательная плоскость П' проведена через заданный отре-

зок АВ(А2В7),

поэтому ось

П´

совпадаетис проекцией отрезка. Восстановив

П0

 

 

 

 

 

 

 

 

перпендикуляры к проекции

 

трезка (линии связи) в точках, являющихся про-

екциями концов отрезка, и,

 

л жив на них отрезки, равные высотам этих то-

 

 

 

и

 

 

 

 

 

чек, получают А/В/

на уральнуюовеличину отрезка АВ и угла α – угла наклона

прямой к плоскости П0. За ем с помощью прямых, параллельных проекции от-

резка, на А/В/

определеныточки с целыми отметками, после чего построены

 

целой

 

 

 

 

 

 

 

проекции этих точек на аданной проекции отрезка.

 

 

3-й сп с б – графическое определение интервала прямой с помощью гра-

фика укл на прямз, называемого масштабом уклонов.

 

 

Этот с с б м жно использовать, если прямая задана проекцией, одной

точкой с

 

числовой отметкой и известен уклон прямой или угол наклона к

основной лоскости.

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

еНаприс. 14.9 показано градуирование прямой, которая задана горизонтальной про кцией, точкой А9 и углом наклона к плоскости проекций. График уклона прямой выполняется в масштабе чертежа: по одной (горизонтальной) оси откладываются заложения, а по другой (вертикальной) – превышения Н. Из нача-

ла координат проводится прямая под заданным углом α к оси L. На этом графике величина заложения, соответствующая единице превышения и будет интервалом l данной прямой.

Найденная величина интервала l откладывается на заданной прямой от заданной точки А.

64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 14.9

Б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.4. Взаимное положение двух прямых

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

Две прямые в пространстве могут пересекатьсяй, скрещиваться и быть па-

раллельными. Однако отсутствие вто ой п оекц не дает возможности опре-

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

делить взаимное расположение п ямых непосиедственно по чертежу, не прове-

дя предварительно вспомогательных п ст оений. Так, взаимное расположение

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

прямых можно определи ь, если пр градуировать прямые и сравнить интерва-

 

 

 

 

 

При

 

 

 

 

 

лы, уклоны и отметки точек пересечения проекций прямых. Отметим признаки,

характерные для разл чных случаев расположения прямых.

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

Параллельные прямые – проекции прямых параллельны, уклоны (или ин-

тервалы) равны,

 

ч словые отметки возрастают (или убывают) в одном

 

 

о

 

 

этом прямые, соединяющие точки с одинаковы-

направлении (рис. 14.10).

ми отметками, параллельны. Они являются горизонталями плоскости, прохо-

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дящей через заданные прямые.

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 14.10

Рис. 14.11

Рис. 14.12

65

Пересекающиеся прямые – проекции прямых пересекаются в точке, которая, будучи отнесена к каждой из пересекающихся прямых, имеет одинаковую отметку (рис. 14.11). Это легко проверить, если прямые проградуированы. Отметим, что прямые, соединяющие точки с одинаковыми отметками, параллельны. Они являются горизонталями плоскости, проходящей через заданные пере-

секающиеся прямые.

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

Скрещивающиеся прямые – прямые, у которых признаки пересечения и

параллельности отсутствуют (рис. 14.12). В этом случае прямые, соединяющие

точки с одинаковыми отметками, не параллельны.

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 14.1. Через точку А(А3) провести горизонтальную прямую, пересе-

кающую заданную прямую СD(С1D7) (рис. 14.13).

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

о

и

 

Рис. 14.13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Иск мая горизонтальная прямая определяется точкой А(А3) и

точкой В(В3) назпрям й СD, имеющей такую же отметку.

 

 

 

 

Проградуируем прямую СD, применяя пропорциональное деление отрезка.

Построенную

роекцию

В3 соединим с проекциейА3. Прямая АВ(А3В3) искомая.

Р

п

 

 

14.5. Плоскость

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Плоскость в проекциях с числовыми отметками может быть задана проекциями с числовыми отметками следующих геометрических элементов: трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 14.14, а); прямой и точки вне этой прямой (рис. 14.14, б); параллельных прямых (рис.14.10); пересекающихся прямых (рис.14.11); плоской фигурой (рис. 14.14, в).

Но наиболее удобным и наглядным изображением плоскости в проекциях с числовыми отметками является задание с помощью масштаба уклона плоскости.

66

 

У

Рис. 14.14

Т

 

Масштаб уклона плоскости, или масштаб падения, проградуированная проекция линии наибольшего ската плоскости. На рис. 14.15 дано наглядное

изображение плоскости Г общего положения. Дадим определения основных

элементов этой плоскости, которые используются в проекциях с числовыми

отметками.

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

Рис. 14.15

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отм тка горизонтали высота горизонтали над плоскостью проекций (на

рис. 14.15 горизонтали проведены соответственно с отметками 1, 2, 3 единицы

 

п

 

 

 

 

является горизонталью с нулевой отметкой.

масштаба). След плоскости ГП0

 

Линия наибольшего ската плоскости, иначе называется линией паде-

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ния АВ (рис. 14.15), – прямая, принадлежащая плоскости и перпендикулярная ее

горизонталям (АВ ГП0). Она определяет угол падения плоскости (он же угол

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

наклона плоскости). Так как линия наибольшего ската перпендикулярна горизонталям, то масштаб уклона плоскости (проекция линии наибольшего ската) тоже перпендикулярен проекциям горизонталей (теорема об ортогональном проецировании прямого угла).

67

Изображение плоскости Г масштабом уклона плоскости показано на рис. 14.16. Масштаб уклона плоскости изображается двумя параллельными прямыми (толстой и тонкой) и обозначается той же буквой, что и плоскость, с нижним индексом i – Гi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 14.16

й

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

Перпендикулярно масштабу укл на плоскости проводятся проекции гори-

зонталей. Вдоль масштаба укл на пл ск сти (со стороны тонкой линии) указы-

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

ваются отметки этих гориз н алей. Цифры числовых отметок проставляются

так, чтобы их верх был

 

ировансторону подъема плоскости.

 

Расстояния между соседн ми делениями масштаба уклона l, соответству-

 

т

 

 

 

 

 

ющие единице превышен я,

являются интервалом линии наибольшего ската, а

следовательно, и интервалом плоскости.

 

 

 

 

ориен

α

– угол наклона плоскости к плоскости проек-

Угол падения пл скости

 

ций (угол накл на линии наибольшего ската к плоскости проекций). На черте-

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

же в роекциях с числ выми отметками угол падения α определяется из прямо-

угольного треугольника, у которого один катет равен интервалу линии

наибольш го ската, а второй катет равен единице высоты в масштабе чертежа

(см. рисп. 14.16).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уклон плоскости – тангенс угла падения плоскости. Уклон плоскости ра-

уклону линии наибольшего ската. Уклон плоскости есть величина, обратная

вен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интервалу плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для решения инженерных задач на земной поверхности необходимо ори-

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ентировать заданную плоскость относительно меридиана Земли. Для этого вво-

дят понятия:

направление простирания плоскости – правое направление ее горизон-

талей, если смотреть на плоскость в сторону возрастания отметок;

68

угол простирания плоскости – угол ϕ между меридианом Земли и направлением простирания (см. рис. 14.15, 14.16). Угол простирания измеряют от северного конца меридиана против часовой стрелки до направления простирания плоскости.

 

Плоскость задана горизонталью 5, уклоном i = 1:3 и направлением спуска,

которое обозначено штрихом в сторону спуска. Такой штрих называется берг-

штрихом (рис. 14.17, а).

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

 

геологии и т. д.

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

плоскости

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 14.17

 

 

 

 

 

Плоскость может быть задана углом паден я и направлением простира-

ния (рис. 14.17, б). Этот метод задан я

 

 

применяется в топографии,

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

Для решения большинства мет ических и позиционных задач удобно, ко-

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

гда плоскость задана гориз н алямир. Проведение на плоскости горизонталей

называется градуированием плоск сти.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

Задача 14.2.

Определ ь углы падения α и простирания φ плоскости Г, за-

данной треугольн ком АВС (р с. 14.18).

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 14.18

 

 

 

 

69

Решение. Проградуировав отрезки АВ и СB, соединяем прямыми точки с одинаковыми отметками. Это будут горизонтали заданной плоскости. Масштаб падения плоскости проводится перпендикулярно горизонталям. С помощью

прямоугольного треугольника, одним катетом которого является отрезок Е11F12,

а другим – отрезок, равный единице высоты, определяем угол наклона линии

наибольшего ската плоскости Г к П0. Затем, установив направление простира-

ния, строим угол простирания φ.

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

Задачи на взаимную принадлежность точки и прямой линии плоскости в

проекциях с числовыми отметками решаются обычными методами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

Прямая в плоскости строится по двум точкам, отметки которых определя-

ются

в местах пересечения

проекции прямой с

горизонталями

плоскости

(рис. 14.19).

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

точки

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оРис. 14.19

 

 

 

 

 

 

Точка в плоскости стротсяс помощью произвольной прямой плоскости.

 

 

роведение

 

вспомогательная прямая градуируется.

Для определения отметки

 

 

При пр ектир вании инженерных сооружений в проекциях с числовыми

отметками

ченьзчасто необходимо решить два типа задач:

 

 

 

 

р

в плоскости прямой с заданным уклоном i;

 

 

 

Р

 

через прямую плоскости с заданным уклоном i.

 

 

 

Задачап14.3. В плоскости, заданной масштабом уклона Гi, через точку А8

пров сти прямую с уклоном i = 1:3 (рис. 14.20).

 

 

 

 

еешение. Интервал прямой, которую требуется построить, равен l = 1/i = 3

единицам масштаба. Следовательно, точка искомой прямой, имеющая отмет-

ку 7, должна лежать на горизонтали плоскости с отметкой 7 и быть удалена от

точки А8 на величину интервала прямой l = 3 м. Через точку А8

 

проведем

окружность радиусом R = 3 м и найдем точки ее пересечения с 7-й горизонта-

лью плоскости Г. Точка А8 и полученные точки В7

и С7 определят две прямые,

удовлетворяющие условию задачи.

 

 

 

 

 

70

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.