Начертательная геометрия. Часть 2

й

сительные значения (А2, В-7) (удаление от плоскости промежуточного уровня).

и

р

о

т

и

з

Р

о

Рис. 14.4

п

14.2. Проекции прямой

еПри геометрических операциях на прямых линиях используют понятия:

У

Т

Рис. 14.5

Н

Уклоном прямой

Б

называется отношение превышения отрезка прямой к его

заложению. Уклон обозначается буквой i и равен тангенсу угла наклона прямой

к плоскости П0 (см. рис. 14.5):

i =

H

= tgα.

L

и

Заложение прямой, соответствующее ед н це превышения, называется

р

йl (см. рис. 14.5). Нетрудно заме-

интервалом прямой и обозначается буквой

тить, что интервал прямой есть величина, об атная ее уклону:

о

1.

т

i =

словыми

l

В проекциях с ч

метками прямая общего положения может

быть задана:

1) проекциями двух точек прямой и их отметками (рис. 14.6, а);

о

2) горизонтальной проекц ей, отметкой одной из точек прямой и углом

наклона прям й к пл скости проекций (рис. 14.6, б);

пр

3)

екциейзна сновную плоскость, отметкой одной из ее точек и укло-

ном рям й (рис. 14.6,

в).

е

Р

14.3. Градуирование прямой

У

Графические действия по определению интервала прямой называются гра-

Т

дуированием прямой. Проградуировать прямую – это значит определить на ее

горизонтальной проекции точки,

разность высотных отметок которых равна

единице.

Н

Существует несколько способов градуирования прямой. Все они представ-

Б

ляют различные варианты решения задачи деления отрезка в данном отношении.

Рассмотрим наиболее распространенные способы решения этой задачи.

1-й способ (рис. 14.7) – использование пропорционального деления отрез-

й

ка. Через один из концов отрезка (например, А2,3) проводится вспомогательная

прямая любого направления и на этой прямой в произвольном масштабе откла-

дываются величины, соответствующие

превышениям

между концевыми и ис-

комыми точками отрезка прямой. Построенная последняя точка на вспомога-

р

тельной прямой соединяется со вторым концом отрезка и через точки деления

параллельно замыкающей прямой п оводятся прямы . Эти прямые определяют

искомые точки на заданной

проекции

от езка.

т

и

з

о

п

е

Рис. 14.7

Р

разность отметок которых

Отм тим, что заложение между двумя точками,

У

Т

Н

Б

Рис. 14.8

й

р

На рис. 14.8 вспомогательная плоскость П' проведена через заданный отре-

зок АВ(А2В7),

поэтому ось

П´

совпадаетис проекцией отрезка. Восстановив

П0

перпендикуляры к проекции

трезка (линии связи) в точках, являющихся про-

екциями концов отрезка, и,

л жив на них отрезки, равные высотам этих то-

и

чек, получают А/В/ –

на уральнуюовеличину отрезка АВ и угла α – угла наклона

прямой к плоскости П0. За ем с помощью прямых, параллельных проекции от-

резка, на А/В/

определеныточки с целыми отметками, после чего построены

целой

проекции этих точек на аданной проекции отрезка.

3-й сп с б – графическое определение интервала прямой с помощью гра-

фика укл на прямз, называемого масштабом уклонов.

Этот с с б м жно использовать, если прямая задана проекцией, одной

точкой с

числовой отметкой и известен уклон прямой или угол наклона к

основной лоскости.

Р

У

Т

Н

Рис. 14.9

Б

14.4. Взаимное положение двух прямых

р

Две прямые в пространстве могут пересекатьсяй, скрещиваться и быть па-

раллельными. Однако отсутствие вто ой п оекц не дает возможности опре-

о

делить взаимное расположение п ямых непосиедственно по чертежу, не прове-

дя предварительно вспомогательных п ст оений. Так, взаимное расположение

т

прямых можно определи ь, если пр градуировать прямые и сравнить интерва-

При

лы, уклоны и отметки точек пересечения проекций прямых. Отметим признаки,

характерные для разл чных случаев расположения прямых.

з

Параллельные прямые – проекции прямых параллельны, уклоны (или ин-

тервалы) равны,

ч словые отметки возрастают (или убывают) в одном

о

этом прямые, соединяющие точки с одинаковы-

направлении (рис. 14.10).

ми отметками, параллельны. Они являются горизонталями плоскости, прохо-

п

дящей через заданные прямые.

е

Р

Рис. 14.10

Рис. 14.11

Рис. 14.12

секающиеся прямые.

У

Скрещивающиеся прямые – прямые, у которых признаки пересечения и

параллельности отсутствуют (рис. 14.12). В этом случае прямые, соединяющие

точки с одинаковыми отметками, не параллельны.

Т

Задача 14.1. Через точку А(А3) провести горизонтальную прямую, пересе-

кающую заданную прямую СD(С1D7) (рис. 14.13).

Н

Б

й

и

р

о

т

о

и

Рис. 14.13

Решение.

Иск мая горизонтальная прямая определяется точкой А(А3) и

точкой В(В3) назпрям й СD, имеющей такую же отметку.

Проградуируем прямую СD, применяя пропорциональное деление отрезка.

Построенную

роекцию

В3 соединим с проекциейА3. Прямая АВ(А3В3) – искомая.

Р

п

14.5. Плоскость

У

Рис. 14.14

Т

изображение плоскости Г общего положения. Дадим определения основных

элементов этой плоскости, которые используются в проекциях с числовыми

отметками.

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

Рис. 14.15

о

Отм тка горизонтали – высота горизонтали над плоскостью проекций (на

рис. 14.15 горизонтали проведены соответственно с отметками 1, 2, 3 единицы

п

является горизонталью с нулевой отметкой.

масштаба). След плоскости ГП0

Линия наибольшего ската плоскости, иначе называется линией паде-

е

ния АВ (рис. 14.15), – прямая, принадлежащая плоскости и перпендикулярная ее

горизонталям (АВ ГП0). Она определяет угол падения плоскости (он же угол

Р

У

Т

Н

Б

Рис. 14.16

й

и

Перпендикулярно масштабу укл на плоскости проводятся проекции гори-

зонталей. Вдоль масштаба укл на пл ск сти (со стороны тонкой линии) указы-

р

ваются отметки этих гориз н алей. Цифры числовых отметок проставляются

так, чтобы их верх был

ировансторону подъема плоскости.

Расстояния между соседн ми делениями масштаба уклона l, соответству-

т

ющие единице превышен я,

являются интервалом линии наибольшего ската, а

следовательно, и интервалом плоскости.

ориен

α

– угол наклона плоскости к плоскости проек-

Угол падения пл скости

ций (угол накл на линии наибольшего ската к плоскости проекций). На черте-

з

же в роекциях с числ выми отметками угол падения α определяется из прямо-

угольного треугольника, у которого один катет равен интервалу линии

наибольш го ската, а второй катет равен единице высоты в масштабе чертежа

(см. рисп. 14.16).

Уклон плоскости – тангенс угла падения плоскости. Уклон плоскости ра-

уклону линии наибольшего ската. Уклон плоскости есть величина, обратная

вен

интервалу плоскости.

Для решения инженерных задач на земной поверхности необходимо ори-

Р

ентировать заданную плоскость относительно меридиана Земли. Для этого вво-

Плоскость задана горизонталью 5, уклоном i = 1:3 и направлением спуска,

которое обозначено штрихом в сторону спуска. Такой штрих называется берг-

штрихом (рис. 14.17, а).

У

Т

Н

Б

геологии и т. д.

й

плоскости

Рис. 14.17

Плоскость может быть задана углом паден я и направлением простира-

ния (рис. 14.17, б). Этот метод задан я

применяется в топографии,

о

Для решения большинства мет ических и позиционных задач удобно, ко-

т

гда плоскость задана гориз н алямир. Проведение на плоскости горизонталей

называется градуированием плоск сти.

и

з

Задача 14.2.

Определ ь углы падения α и простирания φ плоскости Г, за-

данной треугольн ком АВС (р с. 14.18).

о

п

е

Р

Рис. 14.18

прямоугольного треугольника, одним катетом которого является отрезок Е11F12,

а другим – отрезок, равный единице высоты, определяем угол наклона линии

наибольшего ската плоскости Г к П0. Затем, установив направление простира-

ния, строим угол простирания φ.

У

Задачи на взаимную принадлежность точки и прямой линии плоскости в

проекциях с числовыми отметками решаются обычными методами.

Т

Прямая в плоскости строится по двум точкам, отметки которых определя-

ются

в местах пересечения

проекции прямой с

горизонталями

плоскости

(рис. 14.19).

Н

Б

й

и

точки

р

оРис. 14.19

Точка в плоскости стротсяс помощью произвольной прямой плоскости.

роведение

вспомогательная прямая градуируется.

Для определения отметки

При пр ектир вании инженерных сооружений в проекциях с числовыми

отметками

ченьзчасто необходимо решить два типа задач:

–

р

в плоскости прямой с заданным уклоном i;

Р

–

через прямую плоскости с заданным уклоном i.

Задачап14.3. В плоскости, заданной масштабом уклона Гi, через точку А8

пров сти прямую с уклоном i = 1:3 (рис. 14.20).

еешение. Интервал прямой, которую требуется построить, равен l = 1/i = 3

единицам масштаба. Следовательно, точка искомой прямой, имеющая отмет-

ку 7, должна лежать на горизонтали плоскости с отметкой 7 и быть удалена от

точки А8 на величину интервала прямой l = 3 м. Через точку А8

проведем

окружность радиусом R = 3 м и найдем точки ее пересечения с 7-й горизонта-

лью плоскости Г. Точка А8 и полученные точки В7

и С7 определят две прямые,

удовлетворяющие условию задачи.