Начертательная геометрия. Часть 2

Задача 11.4. Построить плоскость, касательную к конической поверхности и

проходящую через точку K, не принадлежащую поверхности конуса. В качествеУ

двух линий на заданной поверхности выберем две прямые– образующие конуса –

и окружность– параллель m, расположенную на высоте точкиK (рис.Т11.5).

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

Рис. 11.5

фронтальной проекции сливаются в одну прямую ( t2 ≡ t′2), совпадающую с

фронтальной проекцией окружности – параллели m2.

В точках касания прямых t и t′ проведем образующие конуса а и b, по ко-

торым две искомые касательные плоскости касаются конической поверхности.

Таким образом, первая касательная плоскость задается образующей а и ка-

сательной t, которые пересекаются в точке 1. Вторая касательная плоскость за-

дается образующей b и касательной t′, пересекающихся в точке 2.

У

Отметим, что все точки касания обеих касательных плоскостей с кониче-

ской поверхностью также относятся к параболическим.

Т

Задача 11.5. Построить плоскость, касательную к цилиндру и параллель-

Н

ную прямой l. Задачу решаем способом построения касательного следа плоско-

сти параллельно следу плоскости параллелизма (рис. 11.6). Элементом касания

Б

цилиндра с касательной плоскостью является образующая прямая линия.

й

и

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

Рис. 11.6

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

и

о

з

Рис. 11.7

Плоск сть Σ задана фронталью f и горизонталью h. Решением задачи будут

тежа

две лоскости, араллельные заданной и касающиеся сферы в двух точках, ле-

жащих на концах одного диаметра сферы, который перпендикулярен заданной

Р

через прямую l, лежащую вне этой поверхности (рис. 11.8).

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

Рис. 11.8

Необходимо иметь в виду, что построение такой плоскости возможно

о

только в сл дующих случаях:

–

цилиндрической поверхности – если заданная прямая параллельна

при

образующим или касается этой поверхности;

– конической поверхности – если прямая параллельна образующим или

е

проходит через вершину конуса;

– сферической поверхности – всегда, когда прямая не пересекает поверх-

Рность сферы.

горизонтальной проекции основания цилиндра. Их фронтальные проекции t′2 и

t2 совпадают с фронтальной проекцией основания цилиндра.

Отмечаем точки касания этих прямых к проекции основания цилиндра –

точки 11 и 21. Из этих точек строим проекции образующих m и n, по которым

искомые касательные плоскости касаются заданной поверхности.

Задача имеет два решения. Каждая из этих образующих совместно с одной

из касательных t′ и t

задает одну касательную плоскость.

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

12.1. Общие понятия

У

В практике инженерного проектирования и строительства часто возникает

Т

необходимость моделировать поверхность плоской фигурой, которая может

быть названа «выкройкой» поверхности или разверткой. Разверткой поверхно-

сти называется плоская фигура, в которую преобразуется поверхность при ее

Н

совмещении с плоскостью. При этом поверхность представляется в виде гиб-

кой, но нерастяжимой и несжимаемой пленки.

Б

Построение разверток поверхностей является технической задачей, имею-

щей большое значение при изготовлен

разл чных деталей и конструкций из

листового материала, например: воздуховодов для промышленной вентиляции,

й

водосточных труб, кожухов, цисте н, азл чных отводов.

Для обеспечения

необходимой

изготовления и экономичного

точности

расходования материала изделие к нст уи уют таким образом, чтобы каждая

часть изделия была развертывающейся п верхностью.

Развертывающейся поверхн

р

ью называется поверхность, которая всеми

своими точками может бы ь совмещена

с плоскостью, т. е. деформирована в

плоскость без складок

разрывов. Каждой точке на поверхности соответствует

единственная точка ра

т, . е. поверхность и ее развертку можно рассмат-

ривать как две геометр ческ е фигуры, между точками которых существует

взаимно дн значн еверткис ответствие, обладающие свойствами:

1) длины

в линий, расположенных на поверхности и на ее разверт-

трезк

ке, равны между с б й;

2) углы между соответствующими линиями поверхности и развертки рав-

о

ны м жду собой.

м

Однакопугол между двумя образующими на конической поверхности

угла между соответствующими им прямыми на развертке, так как вер-

шина конуса является особой точкой, которая не обладает свойствами, харак-

ньше

терными для обыкновенных точек;

Р

3) площади фигур, ограниченные соответствующими замкнутыми линиями

на поверхности и развертке, равны между собой. Следует помнить, что все раз-

меры на развертке имеют натуральную величину.

Рассмотрим поверхность θ0

и ее развертку θ (рис. 12.1). Длина дуги АВ

У

Т

Н

Б

й

и

Рис. 12.1

р

Линия кратчайшего расстояния между двумя точками на поверхности назы-

ности. Разверткой многогранной поверхности является плоская фигура, полу-

ло

ченная последовательным совмещением с одной и той же плоскостью всех ее

граней, п эт му п строениеразвертки многогранной поверхности сводится к

построению истинныхзразмеров и формы отдельных граней, которые затем

совмещают с

ск стью без изменения формы и размеров.

тые

оверхностей к развертывающимся относятся линейчатые по-

Из кривых

в рхности, которые образованы взаимно параллельными или пересекающимися

Р

вательности.

У

1.

В данную кривую поверхность вписывается многранная поверхность.

2.

Определяется натуральная величина всех граней вписанного многогран-

Т

ника. Для построения натуральной величины боковых граней определяют ис-

тинную длину каждого бокового ребра. Если грани имеют более трех сторон, то

следует разбить их диагоналями на треугольники и определить натуральную

величину диагоналей.

Н

3. На плоскости чертежастроится натуральная величина первой грании к ней

Б

посредствомсмежныхреберпоследовательно пристраиваютсяостальные грани.

4. Соответствующие концы всех ребер на развертке соединяются плавны-

ми кривыми линиями.

й

5. Линии обрезки ребер обводятся

толстыми линиями, а линии

изгибов – штрихпунктирными линиями с двумя точками.

сплошными

12.4. Построение разверт к пирамидальной и конической поверхности

р

Построение развер ок п рамидальных поверхностей сводится к последо-

о

вательному построен ю на урального вида граней – треугольников, из которых

т

состоит данная п рам дальная поверхность. Развертка боковой поверхности

конуса в

случае стро тся по схеме развертки поверхности пирамиды,

и

вписанн й в данную к ническую поверхность и заменяющей ее.

з

боковой поверхности наклонной пира-

Задача 12.1.

П строить развертку

миды SABC (рис. 12.2).

общем

Разв ртку боковой поверхности пирамиды строят по следующей схеме.

1.

деляют длины ребер и сторон основания пирамиды.

Опр

2. На плоскости чертежа последовательно по трем сторонам строят тре-

угольникие(грани пирамиды), примыкающие друг к другу и с общей вершиной.

ешение. Как видно из чертежа, основание ABC пирамиды расположено в

горизонтальной плоскости, и поэтому его стороны проецируются на П1 в нату-

Р

ральную величину. Натуральные размеры боковых ребер определяют с помощью

прямоугольных треугольников, у которых одним катетом является превышение

ную прямую а. На ней от точки S откладывают отрезок SA = S2A0. Из точки А

проводят дугу радиусом A1C1, а из точки S – дугу радиусом S2C0. Пересечение

дуг определяет положение вершины C треугольника SАC – натуральной величи-

У

ны грани пирамиды. Аналогично находят точки B и А. Соединив точки А, С, В, A,

S, получают развертку боковой поверхности пирамиды SABC.

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

и

Рис. 12.2

оверхность аппроксимируется (заменяется) вписанной в нее много-

Задача 12.2.

Постро ть развертку боковой поверхности наклонного эллип-

тического к нуса

круговым основанием (рис. 12.3).

Развертка кзнической поверхности выполняется по схеме построения раз-

вертки б к в й

верхности пирамиды – способу треугольников. Для этого ко-

ническая

гранной ирамидальной поверхностью.

Р