3548_matematicheskoe_programmirovanie
.pdf
Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Высшая математика № 2»
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Методические указания и задания к практическим занятиям
для студентов экономических специальностей
М и н с к 2009
УДК 519.85 (075.8) ББК 'Т&* 7Я7
М^З
С о с т а в и т е л и :
АД. Корзников, В.В. Павлов
Р е ц е н з е н т ы :
Л.Д. Матвеева, Е.А. Федосик
Настоящие методические указания и задания содержат основные теоретические сведения и примеры решения типовых задач по те мам: «Линейное программирование», «Транспортная задача», «Мат ричные игры», «Сетевое планирование», «Максимальный поток в сети».
Могут быть полезны преподавателям, ведущим практические за нятия по данному курсу.
© БИТУ, 2009
1. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Задание для самостоятельного решения
Пусть предприятие выпускает п видов продукции Р =(/ = 1,«).
Для их изготовления требуется затратить т видов ресурсов
Bj{i = \,m). Известны следующие величины: а0 - количество единиц ресурса вида В1 необходимого на изготовление еди
ницы продукции Pj (; = 1,т, j = 1,и); 6, - количество ресурса ви да Bj, которым располагает предприятие; с ■ - стоимость еди ницы продукции Pj. Требуется найти план предприятия, обеспе чивающий ему максимальную прибыль, при этом: а) составить математическую модель задачи; б) найти план выпуска про дукции симплекс-методом, привести экономический смысл переменных, участвующих в решении задачи; в) построить математическую модель двойственной задачи; г) из решения исходной задачи, используя соответствие между переменны ми нары взаимодвойственных задач, найти решение двойст венной задачи; д) указать наиболее дефицитный и избыточ ный ресурс, если он есть.
Необходимые числовые данные приведены в табл. 1.
|
А = |
|
, В' = bj(i = 1,т \ С = с j(у = 1,п) . |
|
|
тхп |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
№ |
|
|
|
|
вари |
|
|
|
Данные^, В, С |
анта |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
'2 |
1 |
1 |
Р |
1 |
А = 1 0 |
1 1 , В = (280; 8; 250), С =(4; 3; 6; 7) |
||
|
V1 |
2 |
1 |
0j |
з
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
|
|
|
|
Окончание табл. 1 |
|
|
|
|
2 |
"5 |
7 |
4^ |
|
|
А = 5 |
2 |
4 В = (24; 10; б), С = (18; 12; 8) |
||
,2 |
|
1 |
1, |
1Л |
^ 1 |
3 |
0 |
||
А - 2 |
|
1 |
0 |
( ,Я = (4;3;3),С = (2;6;2;3) |
v0 |
|
1 |
4 |
|
|
(2 |
4 |
|
1 |
|
|
5" |
|
А = |
1 |
4 |
|
|
1 |
В = (34; 16; 22), С = (7; 3; 4; 2) |
||
|
Ь |
3 |
|
1 |
|
2, |
|
|
|
"2 |
|
1 |
|
6" |
|
||
|
А = 3 |
|
3 |
|
9 ; |
5 = (12; 27; б),С = (14; 6; 22) |
||
|
,2 |
|
1 |
|
2, |
|
||
|
/ 2 |
4 |
0 |
|
8Ч |
|||
А = 7 |
2 |
2 |
|
6 |
,5 = (12; 8; 48), С = (3; 4; 3; l) |
|||
|
ч5 |
8 |
4 |
|
3/ |
|||
(1 |
1 |
1 |
|
п |
|
|
|
|
А= 6 |
5 |
4 |
|
3 |
|
, 5 = (16; 110; 100), С = (бО; 70; 120,130) |
||
1^4 |
6 10 |
|
13J |
|
|
|
||
|
|
"4 |
|
1 |
|
|
2" |
|
|
А--= 6 |
|
1 |
3 |
, |
В = (8; 18; б), С = (24; 4; 8) |
||
|
|
,6 |
|
1 |
|
|
2у |
|
|
/ 1 1 0 |
|
|
2Л |
||||
|
А = 0 |
1 |
|
1 С , В =(2; 2; 2), С = (4; 7; 4; 2) |
||||
|
\ 1 |
0 |
1 |
С/; |
||||
|
|
г\ |
|
2 |
|
|
1Л |
|
|
А--= |
2 |
|
1 |
1 |
|
, Я = (18; 16; 8),С = (3; 4; 2) |
|
|
|
,1 |
|
1 |
|
|
0у |
|
4
Методические указания к решению задания
П р и м е р . |
Дано: |
|
|
2 |
2 |
1 1 |
|
А = 1 0 |
1 1 |
В = (280; 20; 250), С =(4; 2; 6; 7). |
|
1 2 |
1 0 |
|
|
Р е ш е н и е . 1. Обозначим через ху (/ = 1,4) количество пла нируемой к выпуску j- й продукции. Суммарная прибыль пред приятия выразится формулой z =4x}+ 2х2+ 6х3 + 7х4. Тогда ма тематическая модель задачи имеет следующий вид:
z = 4х] |
+ 2х2 + 6х3 + 7х4 |
шах |
|
2хх + 2 |
х 2 + х3 + х4 < 280, |
|
|
хх I- х3 + х4 < 20, Xj >0, j |
- 1,4 |
0 ) |
|
xt +2x2 +xj <250. |
|
|
|
2. Сведем задачу (1) к канонической задаче линейного про граммирования путем введения в ограничения вида нера венств «<» неотрицательных дополнительных слабых пере м енны х^, х6, Ху:
4;tj + 2*2 + 6х3 + 7х4 -» шах
2Х[ 4- 2x 2 х з |
х 4 |
-^5 ~ 280, |
X] + х3 + х4 |
+ х6 |
(2) |
= 20, Xj > 0, j = 1,7 |
||
Xj + 2х2 + х3 |
+ х7 250. |
|
Переменные х5, х6, х7 в задаче (2) - базисные, начальный ба зисный план X = (0; 0; 0; 0; 280; 20; 250). Составим первоначаль ную симплекс-таблицу:
Б.П. |
Х\ |
х2 |
*3 |
*4 |
*5 |
*6 |
х7 |
Значение |
|
(Ь,) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
*5 |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
280 |
|
*6 |
1 |
0 |
1 |
ш |
0 |
1 |
0 |
20 |
|
Х1 |
1 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
250 |
|
-А -2 ~6 -7 |
0 |
0 |
|
|
|||||
Z |
0 |
0 |
|||||||
Поскольку в z-строке есть отрицательные числа (zo не учи тывается), то выбираем среди них наименьшее: min = (-4 ;-2 ;
- 6; - 7) = -7. Столбец с номером j Q= 4 является ведущим, а пе ременная х4 будет включена в базис. Найдем теперь перемен
ную, которая будет исключаться из базиса. Для этого в ведущем
^ |
- |
■ f bi 1 |
а |
. |
Г280 |
20] оп |
столбце найдем |
пнЫ—-М для а, |
>0, |
т.е. ш т |
— |
;— >= 20. |
|
|
|
b o j |
|
|
и |
1 J |
Следовательно, строка i0 = 2 будет ведущей, переменная х6 бу дет исключена из базиса, вместо нее войдет х4. Элемент ai0jQ= а24 ~ 1 будет ведущим. С помощью ведущего элемента
проведем одну итерацию методом Жордано-Гаусса и перей дем к следующей симплекс-таблице.
Делим элементы ведущей строки на ведущий элемент и ис ключаем переменную х4 из первой строки и из z-строки.
Б.П. |
х\ |
х2 |
*3 |
*4 |
*5 |
*6 |
х7 |
Значение |
|
(Ь.) |
|||||||||
х5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
260 |
||
х4 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
20 |
|
х7 |
1 |
Ы |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
250 |
|
Z |
3 |
-2 |
1 |
0 |
0 |
7 |
0 |
140 |
Поскольку в z-строке есть отрицательные числа, то план Х 2 = (О; 0; 0; 20; 260; 0; 250) не является оптимальным для
6
задачи (2). Выполняя описанные выше действия, переходим к следующей симплекс-таблице:
Б.П. |
X, |
х2 * 3 |
х4 |
х5 |
*6 |
х7 |
Значение |
||
(Ьд |
|||||||||
|
0 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
-1 |
-1 |
||
* 5 |
10 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
х 4 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
20 |
|
х2 |
1/2 |
1 |
1/2 |
0 |
0 |
0 |
1/2 |
125 |
|
Z |
4 |
0 |
2 |
0 |
0 |
7 |
1 |
390 |
|
Так как в z-строке все числа неотрицательные, то получен ный план Х3 = (О; 125; 0; 20; 10; 0; 0) будет оптимальным для задачи (2). Для исходной задачи (1) оптимальным планом будет план X* - (0; 125; 0; 20), который показывает, что ресурс перво го вида остался в избытке в 10 единиц (*5 =10), максимальная
прибыль предприятия составит z - 390 ден. ед.
3. Построим двойственную задачу для задачи (1). Обозначим через y t{i = 1,от) цену единицы ресурса г'-го вида. Тогда общая цена ресурсов равна280^ + 20>’2250;л . Математическая модель
двойственной задачи для задачи (1) имеет следующий вид:
Ф = 280_Vj + 20_у2 + 2 5 0 ^ з - * min
2у\ + у 2 + Уз ^ 4, |
|
2У] + 2 у 3 > 2, |
(3 ) |
< |
__ |
У\+У2 +У з- 6, |
yt > 0 ,j =1,3 |
У1 + У 2 > 1 - |
|
4. На основании соответствия между переменными пары взаимодвойственных задач найдем решение задачи (3):
<P,nm=-m» = 3 9 0 , Y* = (О; 7; 1; 4; 0; 2; О).
7
5. Как показывают значения оценок (оптимальные цены), наиболее дефицитным ресурсом является ресурс вида 2, так
как у2 - 1, у \ = 1 , а ресурс вида 1 является избыточным, так
как у* = 0, его избыток составляет 10 единиц.
2. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Задание для самостоятельного решения
В пунктах А, - (/ = 1,т) находится некоторый продукт в объе
мах а, = (/ = 1,т) единиц. Спрос на этот продукт в пунктах пот
ребления Bj - (;' = \,п), составляет соответственно bj = (/ = \,п)
единиц. Известна стоимость Сц перевозок единицы груза из
пункта А-, в пункт Bj (/ = 1,т, j = 1,п). Требуется найти план пе
ревозок продукции из пунктов производства в пункты назна чения, минимизирующий суммарные затраты по доставке про дукции. Требуется: а) составить математическую модель зада чи; б) найти оптимальный план перевозок продукции методом потенциалов при условии, что продукция из указанного пункта Ак вывозится полностью; в) дать анализ решеиия. Числовые
данные щ = (/ = 1,т), bj = (/ - 1 ,п), С = ||с,у|| |
даны в табл. 2. |
Таблица 2
№
варианта
1
Числовые данные а. = z |
' |
b , |
= (/ = 1,п), С = с,-, |
||
v |
J |
х |
' |
II JIIтхп |
|
|
2 |
|
|
|
|
а = (200; 500; 3 50), Ъ - (300; [00; 400; 100),
1 |
"2 |
6 |
3 |
5" |
|
С = 8 |
7 |
10 |
5 , Аг |
||
|
|||||
|
|
7 |
5 |
3, |
8
1
2
3
4
5
6
Продолжение табл. 2
2
а =(350; 250; 450), Ъ= (300; 250; 100; 200),
"3 |
7 |
5 |
8' |
С = 7 |
3 |
8 |
2 >Л |
v7 |
11 |
8 |
6У |
а = (700; 200; 500), £ = (400; 300; 300; 250),
"2 |
7 |
6 |
4" |
С = 7 |
4 |
6 |
8 |
.6 |
9 |
11 |
5У |
а =(350; 650; 400), Ъ= (300; 450; 150; 300),
"4 |
8 |
7 |
5 ' |
С = 8 |
6 |
5 |
10 ’ ^2 |
I 4 |
7 |
6 |
2 У |
а = (400; 250; 350), Ъ= (200; 250; 50; 400),
7 |
5 |
9 |
4'\ |
С = 6 |
2 |
5 |
5 ^А |
\ 8 |
12 |
10 |
7 ) |
а = (300; 700; 400) А= (150; 100; 550;450),
"5 |
6 |
9 |
7" |
С = 5 |
8 |
2 |
3 , А |
3 |
1 |
5 |
9; |
9