3548_matematicheskoe_programmirovanie

Методические указания к решению задания

П р и м е р . Дано: a = (l9;12;ll),5 = (9;10;8;ll),

ю

Р е ш е н и е . 1. Построение математической модели. Обо­

значим через Ху [i = 1,3; j —1,4) количество продукта, перево­

зимого от /-го поставщика /-му потребителю. Тогда общая стоимость перевозок

34

/= 2 Х су*(/ = 8*11 + 5*12 + З*13 + 7*14 + 2*21 +

<=1 >=1

(4)

4~4^22 6 x23 4-3x24 5*31 ^ 2 X32 4-ЗХ33 7 *34*

Поскольку суммарный объем вывезенных изделий не мо­ жет превышать их объемов производства, то переменные

Ху (/ = 1,3; j = 1,4) должны удовлетворять следующим ограниче­

ниям:

Хц+Х2 ,+Х31= 9, *12 + *22 + *32 = Ю> *13 + *23 + *33 ~ 8

Xj4 4- Х24 4- Х34 = 1 1 .

Объем перевозок продукции от любого поставщика любому потребителю не может быть отрицательным числом, поэтому справедливы ограничения:

Таким образом, сформулированная выше задача свелась к за­ даче нахождения таких значений переменных ху (/ = 1,3; j = 1,4),

которые удовлетворяли бы условиям (5)-(7) и обеспечивали бы минимальное значение целевой функции (4). Такая задача (4)—(7) называется открытой моделью транспортной задачи (ТЗ).

2. Сведение полученной модели к стандартной транспорт­ ной задаче. Стандартная ТЗ разрешима только в том случае, если выполняется условие баланса:

34

Внашей задаче £ а , =42; =38, т.е. условие баланса (8)

1=1 У=1 нарушено. В связи с этим необходимо привести ТЗ (4)—(7) к

введем фиктивного потребителя под номером 5 с объемом по­ требления

Стоимости перевозок от каждого поставщика этому фиктив­

ному потребителю полагаем равными нулю, т.е. cj5 = 0; / = 1,3.

Получим следующую стандартную ТЗ:

3 4

(9)

+ 6 x23 “Ь 3.^24 + 0х25 + 5х3| + 2х3->+ Зх33 4- 7х34 4-0х3^ —> miri

12

Решение ТЗ (9)—(12) будет решением исходной открытой за­ дачи (4}-(7). Действительно, в решении задачи (9)—(12) спрос всех реальных потребителей будет удовлетворен полностью, т.к. спрос фиктивного потребителя равен имеющемуся избытку продукта. Поэтому совокупность перевозок к реальным потре­ бителям дает план исходной открытой задачи, а значение фик­ тивных перевозок - объемы продукта, остающегося у соответ­ ствующих поставщиков. Поскольку расходы на перевозки к фиктивному потребителю равны нулю, минимум целевой фун­ кции в обеих задачах имеет одно и то же значение.

3. Решение задания методом потенциалов. 1. Построение начального допустимого опорного плана. Занесем данные за­ дания (9)—(II) в табл. 3, в которой в верхнем правом углу ка­ ждой клетки (/,_/), расположенной в г-строке и j-u столбце, по­ мещены соответствующие стоимости су (г -1,3; j = 1,4) и найдем

начальный опорный план методом северо-западного угла (мож­ но построить его и другими методами, например, методом ми­ нимального элемента).

13

Aij=u, +vj - c ij,{ij ) ^ U н

подсчитаем оценки небазисных (пустых) клеток и занесем их в левые нижние углы пустых клеток табл. 4.

Анализ оценок Лу , (/', /) е 6 Нпоказывает, что данный опорный план неоптимален, т.к. среди оценок Лу есть положительные.

Поэтому переходим к итерации построения нового плана, луч­ шего в том смысле, что значения целевой функции (1) будет на нем меньше, чем на начальном.

Найдем такую клетку в табл. 4, в которой находится макси­ мальное значение оценки Ду, ( i , j ) e Un . Это будет клетка (3, 3).

Следовательно, переменная х33 будет вводиться в базис. С по­ мощью этой клетки и базисных клеток построим цикл {(3,3), (3,4), (2,4), (2,3), (3,3)}, считая первым звеном цикла, напри­ мер, горизонтальное звено из клетки (3, 3). В табл. 4 цикл изо­ бражен стрелками. Помечаем клетки цикла поочередно знака­ ми « + », « - », причем клетка (3, 3), вводимая в базис, помеча­ ется знаком « + ». Среди клеток, помеченных знаком « - », вы­ бираем ту, в которой значение ху минимально. В нашем случае

15

Таблица 6

8 5

о5 © 2

Необходимо вывезти весь продукт из пункта . Для этого

в последнем плане в позиции (1, 5) поставим с]5 = 9, т.е. мак­

симальную транспортную издержку, чтобы доставка была за­ ведомо невыгодной. Решая задачу методом потенциалов, по­ лучаем оптимальный план (табл. 7).

Таблица 7

Остальные ху =0, значение целевой функции/= 1 3 6 ден. ед.

Из пункта А \ продукт вывезен полностью, но значение це­ левой функции стало больше, из пункта Аз продукт не вывезен полностью в объеме 4 единищ

17

3.МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

3.1.Упрощение матричной игры ирешение

всмешанных стратегиях

Задание для самостоятельного решения

Найти решение матричной игры, упростив предварительно платежную матрицу.

18

Методические указания к решению задания

П р и м е р . Дана платежная матрица

Р е ш е н и е . Стратегия A j - доминируемая, а А2 - домини­ рующая, поскольку элементы второй строки платежной мат­ рицы больше соответствующих элементов первой строки либо равны им, и стратегия А\ заведомо невыгодная для игрока А, т.к. в этом случае он меньше выиграет, какую бы стратегию не избрал игрок В. Следовательно, первую строку можно вычерк­ нуть из платежной матрицы. Аналогично вычеркиваем четвер­ тую строку платежной матрицы, получаем:

'7 4 3 5 '

А л —

,6 3 5 7,

Стратегия В\ - доминируемая, а Вт - доминирующая, по­ скольку элементы второго столбца сокращенной платежной матрицы меньше соответствующих элементов первого столб­ ца либо равны им; и стратегия В\ заведомо невыгодная для игрока В, т.к. в этом случае он больше проиграет, какую бы стратегию не избрал игрок А. Следовательно, первый столбец матрицы А\ можно вычеркнуть. Аналогично можно вычерк­ нуть четвертый столбец матрицы Ль В результате получим

(4 3)

19