3548_matematicheskoe_programmirovanie
.pdfНайдем нижнюю и верхнюю цены игры: а = 3, |3 - 4 . Посколь ку а ф (3 будем решать игру в смешанных стратегиях. Составим
задачи.
Для игрока А:
/ = X] + х2 -> min
Г4xj + Зх2 ^ h
(13)
[3xt + 5х2 > 1
х1,х2 >0.
Для игрока В:
Ф = У\ + У2 тах
l4yi+3y2 <l,
(14)
13У1 +5^2 ^
УиУ2*°-
Решая задачи (13), (14) либо симплекс-методом, либо гра фически, либо как системы уравнений
4А +3 p 2 =V, |
4^1+392 =Г, |
3p1+5p2 =V, |
3qx+5q2 = V, |
P \ + P 2 = l |
Q\ +42 =U |
находим оптимальные смешанные стратегии игроков и цену игры.
Для игрока А:
1 1
V
/ ш
20
* |
* |
11 2 |
2 |
* * 1 1 1 |
1 - * |
= |
f n 2 i ; |
|
|||
p \ = V ' x\ = |
-------3 |
|
= — |
p 2 =V-x-, = |
-------- |
= —',p |
0;—;-;0 |
|
|||
1 |
|
11 3 |
|
“ 3 11 3 |
|
v 3 3 |
|
||||
Для игрока B\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
* |
г/ * |
11 |
2 |
2 |
* |
* 1 1 1 |
1 -* |
= |
f 2 1 1 |
. |
|
q \ = V - y x - |
-------з n |
= —; q2 - |
V- y 2 ---------- |
з и |
- = —',Q |
^ 0 ,;—3 , 3 ,:0 |
|||||
4i |
s i |
|
|
y |
4 i |
s i |
|
|
|
|
|
3.2.Игры с природой
Задание для самостоятельного решения
Предприятие выпускает продукцию 1-го, 2-го и 3-го видов. Не проданная в течение некоторого периода времени часть продукции позднее реализуется полностью по сниженной це не. Данные о себестоимости продукции а = (а1,а2,а3), отпуск
ных ценах в течение периода времени b = (bu b2,b3) и после уценки с =(сх,с2,с3), объемах реализации в зависимости от уровня спроса: d = (dx,d2,d3) - повышенный, / - ( / ] , / 2 ^/3 ) - средний, g ={gi,g2,g3) - пониженный, приведены в табл. 8 . Требуется: а) придать описанной ситуации игровую схему, выявить участников игры и установить ее характер, указать допустимые стратегии сторон; б) составить платежную мат рицу; в) дать обоснованные рекомендации об объемах выпус ка продукции по видам, обеспечивающих наибольшую при быль. Указание: одновременно на все три вида продукции уровень спроса одинаков. Данные приведены в табл. 8 .
№
варианта
1
1
|
|
Таблица 8 |
Данные а, Ъ, с, d, / , |
g |
|
|
2 |
|
а = (2,3; 2,7; 1,9), |
b = (3,6; 4; 2,8), |
с = (3,1; 2,8; 1,7), |
^ -(2 0 ; 29; 33), |
/ = (l5; 17; 19), |
i = (9;8;10) |
21
|
|
|
Окончание табл .8 |
1 |
|
2 |
|
a = (0,5; 1,1; 0,4), |
|
b = (1,3; 2,4; 1,8), |
c = (0,8; 1,2; 0,б), |
2 |
|
/=06; 17; 27), |
g = (l 1; 9; 12) |
d = (21; 31; 43), |
|
||
« = (3,2; 2,6; 4,4) |
|
b = (4,7; 3,4; 5,5), |
с = (4,2; 2,6; 4,2) |
3 |
|
/ = (l3;10;18) |
g = (7;5;9) |
d = (18; 19; 30) |
|
||
a = (1,7; 3,4; 2,8) |
£ = (2,8; 4,7; 3,5) |
с = (2,2; 3,4; 2,2) |
|
4 |
/ |
= (l6; 15; 22) |
g = (8; 9; 11) |
J = (29; 20; 38) |
|||
a = (2,4; 0,7; 1,5), |
|
b = (3,5; 1,8; 2,2) |
с = (2,2; 0,4; 0,8) |
5 |
|
/ = (l2;18;13) |
g = (4;8;5) |
5 = (17; 35; 25) |
|
||
a = (2,8; 3,5; 1,9) |
|
Й= (3,7; 4,8; 2,5) |
с = (2,4; 3,6; 1,8) |
6 |
|
7 = (l8;15; 23) |
g = (l0; 8; 10) |
5 = (25; 25; 42) |
|
||
a =(2,2; 2,8; 1,7) |
|
b = {3,7; 1,5; 2,8) |
с =(2,5; 0,2; l,l) |
7 |
|
f =(24; 27; 11) |
g = (?;ll;4) |
d = (35; 45; 17) |
|
||
a =(1,6; 2,7; 0,5) |
|
* = (2,4; 3,2; 1,8) |
с =(l,8; 2,2; 0,7) |
8 |
|
/ = (7; 21; 12), |
g =(4; 8; б) |
d =(13; 37; 23), |
|
||
a = (2,8; 1,6; 2,2), |
|
ft =(3,7; 2,9; 3,5) |
с =(2,5; 1,8; 2,2) |
9 |
|
/ = (15;28;1б) |
g = (7;9;10) |
^ =(25; 41; 27) |
|
||
a = (3,4; 1,1; 2,5) |
b =(4,2; 2,5; 3,7), |
с = (3,1; 1,6; 2,2) |
|
10 |
/ |
=(21; 8; 23) |
g = (ll;3;12) |
= (37; 15; 38), |
|||
Методические указания к решению задания
П р и м е р . Условие соответствует заданию для самостоятель ного решения. Данные: а =(2; 5; 3), b ~ (3; 6; 4), с = (l,5; 4,5; 2,5), d = {5; 7; 6), f = (3; 4; 5), g = (l; 2; З).
22
Р е ш е н и е . За игрока А примем специалиста предприятия, планирующего объем выпуска продукции. Другим игроком будет природа, реализующая уровень спроса: состояние П1 - повышенный уровень спроса, П2 - средний, Пз - пониженный. В зависимости от уровня спроса игрок А может принять ре шение о выпуске 5 ед. продукции А, 7 ед. продукции Б и 6 ед. продукции В (чистая стратегия А 0, либо 3 ед. продукции А, 4 ед. продукции Б, 5 ед. продукции В (чистая стратегия Л2), ли бо 1 ед. продукции А, 2 сд. продукции Б, 3 ед. продукции В (чистая стратегия А3). Выигрышем atJ игрока А будет при
быль, получаемая предприятием в той или иной ситуации
(а,,, П ,), (i,j - 1 ,з ). Вычислим элементы платежной матрицы.
а\\ =(3-2)-5 + (б-5)*7 + (4-3)-6 = 18. а12=(3-2)-3 + (1,5-2)-2 + (б-5)-4 + (4,5-5)-3 + (4-3)-
■5 + (2,5-3)-1 = 9.
а13=(3-2)-1 + (1,5-2)-4 + (б-5)-2 + (4,5-5)-5 + + (4-3)-3 + (2,5-3)-3 = 0.
а21=(3-2)-3 + (б-5)-4 + (4-3)-5 = 12. а22 - (З -2)-3 + (б-5)-4 + (4-3)5 = 12.
а23 =(3-2)-1 + (1,5-2)-2 + (б-5)-2 + (4,5-2)-2 +
+(4-3)-3 + (2,5-3)-2 = 3.
а.. = (3 -2 )-1 + (б -5 )-2 + (4 -3 )-3 = б.
й32 =(3-2)-1 + (б-5)-2 + (4-3)-3 = 6. о33 =(3-2)-1 + (б-5)-2 + (4-3)-3 = 6.
Итак, платежная матрица имеет следующий вид:
'18 |
9 |
(Г\ |
12 |
12 |
3 |
V |
6 |
6/ |
23
Найдем нижнюю и верхнюю цены игры: а = 6, р = 6 .Так как
а = р = 6, то игра имеет решение в чистых стратегиях. Страте
гия А з будет оптимальной для игрока А, т.е. нужно выпускать 1 ед. продукции А, 2 ед. продукции Б и 3 ед. продукции В. Прибыль составит 6 ден. ед.
4. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
Задание для самостоятельного решения
Построить сетевой график, найти критический путь и рассчи тать временные характеристики. Данные приведены в табл. 9.
Таблица 9
№ работы
№ варианта "-^
12
№предшеств.
работы
1
Продолж-ть работы, t
№ предшеств.
работы
2
Продолж-ть работы, t
№ предшеств.
работы
3
Продолж-ть работы, 1
№ предшеств.
4
работы Продолж-ть работы,/
№ предшеств.
работы
5
Продолж-ть работы, t
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
- |
1 |
2 |
1 |
1 |
5 |
6 |
4; 9 |
2 |
2 |
5 |
2 |
2 |
4 |
8 |
7 |
2 |
5 |
- |
- |
- |
2 |
2 |
1; 5; 7 |
3;4 |
3; 4 |
6; 8 |
20 |
12 |
8 |
4 |
6 |
7 |
7 |
2 |
10 |
- |
- |
- |
2 |
2 |
3;4 |
1,5 |
2 |
6; 7;8 |
2 |
1 |
1 |
1 |
3 |
4 |
7 |
2 |
2 |
- |
- |
- |
1 |
4; 7 |
2 |
jл |
3 |
6; 8 |
10 |
13 |
8 |
7 |
14 |
17 |
10 |
5 |
3 |
- |
1 |
1 |
1 |
4 |
2 |
3; 6 |
2 |
5 |
7 |
7 |
8 |
10 |
3 |
2 |
4 |
5 |
6 |
24
Окончание табл. 9
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
|
№ предшеств. |
- |
1 |
1 |
1 |
4 |
2; 4 |
3; 6 |
2 |
5 |
|
6 |
работы |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Продолж-ть |
10 |
11 |
3 |
7 |
12 |
4 |
4 |
8 |
7 |
||
|
|||||||||||
|
работы, t |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
№ предшеств. |
- |
1 2; 5; 7 |
- |
4 |
- |
6; 8 |
4 |
1 |
||
7 |
работы |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Продолж-ть |
2 |
2 |
3 |
4 |
10 |
1 |
8 |
6 |
7 |
||
|
|||||||||||
|
работы, t |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
№ предшеств. |
- |
1 |
2 |
1 |
1 |
5 |
6 |
4; 9 |
2 |
|
8 |
работы |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Продолж-ть |
12 |
10 |
8 |
5 |
2 |
4 |
8 |
4 |
4 |
||
|
|||||||||||
|
работы, t |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
№ предшеств. |
- |
- |
- |
3 |
3 |
2; 4 |
1;5;6 |
2; 4 |
7; 8 |
|
9 |
работы |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Продолж-ть |
|
4 |
2 |
9 |
4 |
5 |
2 |
3 |
2 |
||
|
3 |
||||||||||
|
работы, t |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
№ предшеств. |
- |
- |
- |
3 |
3 |
2; 4 |
); 5; 6 |
2; 4 |
7; 8 |
|
10 |
работы |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Продолж-ть |
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
4 |
||
|
2 |
11 |
4 |
4 |
1 |
2 |
|||||
|
работы, t |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Методические указания к решению задания
П р и м е р . Составить и проанализировать сетевой график реализации проекта, состоящего из 6 работ. Продолжитель ность каждой работы и порядок их выполнения заданы в приве денной ниже таблице (для каждой работы перечислены работы, непосредственно предшествующие ей). Требуется построить сетевой график, найти критический путь и рассчитать времен ные характеристики. Затем проанализировать изменение крити ческого пути и временных характеристик, если длительность первой работы увеличилась на 4 часа, а пятой - уменьшилась на 3 часа в связи с изменениями трудовых ресурсов.
25
№ работы |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
№ предшествующей работы |
- |
- |
- |
1; 2 |
2 ;3 |
4; 5 |
|
|
|
|
|||
Продолжительность работы, t |
10 |
5 |
15 |
18 |
19 |
18 |
Р е ш е н и е . 1. Построение |
сетевого |
графит. |
Для |
по |
||
строения сетевого графика каждую работу будем изображать в виде сплошной ориентированной дуги, связи между работа ми - в виде пунктирной ориентированной дуги. Причем эту дугу-связь будем проводить из конца дуги, соответствующей предшествующей работе, в начало дуги, соответствующей по следующей работе.
Получим следующий сетевой график:
1
Большое количество дуг усложняет анализ сети, поэтому упростим полученную сеть. Для этого можно выбросить неко торые дуги-связи, удаление которых не нарушает порядок вы полнения работ. Начало и конец выбрасываемой дуги объеди няем в одну вершину. Вершины, в которые не входит ни одна дуга, также можно объединить в одну. Получим следующий сетевой график:
26
Отметим, что дуги а и (3 нельзя выбросить, так как изме нится содержание сетевого графика. Далее вершины сетевого графика будем называть событиями. Последний сетевой гра фик имеет 6 вершин и 8 дуг, причем для двух дуг-связей (фик тивных а и Р) время выполнения считается равным нулю.
2. Критический путь и временные характеристики сете вого графика. Найдем правильную нумерацию вершин полу ченного сетевого графика. Номер 1 получает вершина, в кото рую не входит ни одна дуга. Удаляем дуги, выходящие из вер шины с номером 1. В полученном сетевом графике все верши ны, в которые не входит ни одна дуга, получают следующие по порядку номера. Затем удаляем все дуги, выходящие из прону мерованных вершин и т.д.
Для удобства вершину (событие) с номером i будем изо бражать кругом, разделенным на три части, в которых будут проставлены основные временные характеристики сетевого графика (рис.1).
Рис.1: i - номер вершины в правильной нумерации:
7’р - ранний срок наступления события г; 1)" - поздний срок наступления собы тия К - номер предыдущей вершины в пути из 1 в /,
на котором осуществляется ранний срок Т?
Пусть tlJ - заданная продолжительность работы (/,/), где i -
номер начальной, у - номер конечной вершины, тогда 1у запи
сывается на дуге (i,j) сетевого графика и считается ее длиной. Ранним сроком начала работы называют наименьшее до пустимое время, когда работа может быть начата. Если из
27
вершины г выходит несколько работ, то ранние сроки начала этих работ совпадают и называются ранним сроком наступле ния события Ранний срок начала работы (/, j) обозначают
f[jH, а ранний срок наступления событий i - T f .
Ранний срок наступления конечного события называется критическим временем и обозначается Ткр. Всякий путь дли
ны, равной 7кр, из начальной вершины в конечную называется
критическим путем.
Для вычисления ранних сроков наступления событий ис пользуем алгоритм Форда, считая, что нумерация вершин яв ляется правильной. Алгоритм заключается в следующем.
1. Полагаем 7]р=0. |
|
2. Последовательно для i - 2, 3 |
к вычисляем |
где B(i) - множество всех дуг, входящих в вершину /.
Номер к-й вершины, для которой достигается максималь ное значение 7}р, заносят в левую треть вершины /. Найдем 7}р для нашего примера.
Ранний срок наступления начального события 7}р = 0. По сле этого рассматриваем вершины в порядке возрастания их номеров:
T $ = T * + t l2 = 0 + 5 = 5.
В верхнюю часть вершины 2 ставим 5, а в левую - 1.
Tf - m d p f +1,3,7-.? + /23)= max(l0,5) = 10.
28
В левую часть вершины 3 записываем 1, а в верхнюю - 10.
Г4Р = ш а х ^ 13+ tu ,T% + f24 ) = m ax(l5,5)= 15;
Г/ = шах(г4р + /45.Tf +/23 )= шах(34,28) = 34;
Г6Р = 3 4 + 18 = 52.
Находим критическое время выполнения всего проекта: Г = Г6Р = 52. Начиная с последней вершины, по содержимым
еелевых частей находим критический путь: (1, 4), (4, 5), (5, 6). Определим поздние сроки наступления событий. Поздним
сроком окончания работы называется наибольшее допустимое время окончания работы без нарушения срока завершения
всего проекта. Поздним сроком TJ наступления события j на
зывается наиболее поздний срок окончания всех работ, вхо дящих в соответствующую вершину.
3. Алгоритм вычисления поздних сроков наступления собы тий. Для конечной вершины поздний срок наступления собы тий совпадает со временем выполнения всего проекта - Гкр.
Затем просматриваем все вершины в порядке убывания их но меров. Для каждой вершины / рассмотрим множество всех вы ходящих работ. Из поздних сроков окончания этих работ вычи таем их продолжительность. Минимальная из этих разностей и
равна T J. Эту величину записываем в правой трети вершиныj.
Вычислим Т для нашего примера: 7йП- Т кр =52. Переходим
к вершине 5.
Ts=T6n - f 56 = 5 2 - 1 8 = 34; |
Г2" = min(l 6; 15) = 15; |
|
74п = 3 4 - 1 9 |
= 15; |
7]n = m in (6; 10; о) = 0. |
Г3П= 3 4 - 1 8 |
= 16; |
|
29