3548_matematicheskoe_programmirovanie

Сетевой график с найденными числовыми характеристика­ ми изображен на рис. 2.

4

Рис. 2.

Теперь, зная T f и I f , вычисляем резервы времени. Напри­

мер, вычисляем полный резерв времени работы (3, 5). Максимально допустимое время, на которое можно увели­

чить продолжительность или отложить начало выполнения работы (i, j) так, чтобы это не вызвало задержки выполнения всего проекта, называется полным резервом времени этой ра­

боты и обозначается Ry : Ry = Т" - T f -ty.

Для работы (3, 5) имеем: R35 = Г5П- Tf - 135 = 34 -10 -18 = 6.

Аналогично вычисляются остальные резервы времени.

4. Анализ сетевого графика. Так как структура связей сете вого графика с измененными длительностями работ не изме­ нялась, правильная нумерация остается прежней (рис. 3).

30

4

Рис. 3

Аналогично находим T f и Tf и вычисляем все резервы

времени. Теперь критическое время равно 50, а критический путь имеет следующий вид: (1, 3), (3, 5), (5,6).

Таким образом, в измененном сетевом графике критиче­ ский путь имеет только одну общую работу (5, 6) с критиче­ ским путем исходного сетевого графика. Причем его длина уменьшилась на 2 часа по сравнению с предыдущим.

Для примера проанализируем работу (3, 5). В исходном се­ тевом графике полный резерв времени R ^ = 6. Значит, можно увеличить продолжительность или отложить начало ее вы­ полнения на 6 часов, не вызывая задержки выполнения всего проекта. В сетевом графике с измененными длительностями эта работа уже является критической, полный резерв ее вре­ мени равен нулю. Поэтому любая задержка ее выполнения вызовет такую же задержку выполнения всего проекта.

31

5. ЗАДАЧА О МАКСИМАЛЬНОМ ПОТОКЕ В СЕТИ

Задание для самостоятельного решения

Сеть задана матрицей D =|]б/(/| пропускных способностей

дуг ( dy = 0 означает, что в сети отсутствует дуга, ведущая из

вершины i в вершину j). Требуется по матрице D построить сеть и найти в ней максимальный поток из вершины 1 в вер­ шину 7, определив при этом минимальный разрез.

32

33

5.1. Алгоритм Форда - построения максимального потока в сети

Методические указания к решению задания

Начальный. Выбираем некоторый поток {х(/} в сети G (V,U)

(например, ху = 0 для всех дуг (/,_/) е U).

1. Общая итерация. Ш аг 1. Источник s получает метку (л,+). Шаг 2. Для всех дуг (л1, у), выходящих из вершины s, соот­ ветствующие вершины j получают метку л,+, если х,у < dv. Для дуг (/, s), входящих в вершину ,у, соответствующие вершины /

получают метку (s'), если х„> 0.

Шаг к. Просматриваем все вершины, помеченные на (£-1)-м шаге. Для каждой такой вершины к, соответствующие им вер­ шины j, для которых хк]< dkj, получают метку (к+), для всех дуг (г, к), входящих в вершину к, соответствующих им вершины /, для которых х,к > 0, получают метку (к ').

Алгоритм заканчивает работу одним из двух состояний: а) после некоторого шага мы не можем пометить ни одной вер­ шины, сток / остался непомеченным. Это означает, что имею­ щийся поток является максимальным, а (R, R ), где R - множе­ ство помеченных, R - множество непомеченных вершин, обра­ зует минимальный разрез; б) сток t оказался помеченным. Двигаясь от стока t к вершине, номер которой указан в ее метке

итак далее, мы придем к источнику.

2.В найденном увеличивающем пути обозначим через Р+ множество прямых, а через F - множество обратных дуг пути

ивычислим величину

Oj)eP+

34

Полагаем е = min(ej,s2) - Увеличиваем поток вдоль пути Р

Ху = ху для остальных дуг сети.

Переходим к шагу 1.

Рассмотрим пример. На рис. 4 изображена сеть. Первое число в скобках указывает пропускную способность дуги, второе - дуговой поток.

Найдем увеличивающий путь.

Общая итерация: Шаг 1. Источник s получает пометку (s ). Ш аг 2. Так как xsl = 1 < dsX = 2, то вершина 1 получает

метку (s+). Вершина 2 получает метку (5 '), т.к. Х21 - 1 > 0. Вершина 5 не может быть помечена, т.к. х,,5 = ds5 (дуга (.?, 5) - насыщенная).

35

На рис. 5 минимальный разрез показан пунктирной линией.

(s+)

5.2. Решение задачи о максимальном потоке

с помощью ЭВМ

Сеть задана матрицей D = |а^| пропускных способностей

дуг ( dy = О означает, что в сети отсутствует дуга, ведущая из

вершины i в вершину /'). Требуется по матрице D построить сеть и найти в ней максимальный поток из вершины 1 в вер­ шину 10, определив при этом минимальный разрез.

37

В а р и а н т ы

38

39