Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1271 вуз, 4669 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Строительная механика учебник

.pdf
Скачиваний:
135
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
10.86 Mб
Скачать
☆

Подставим выражения усилий из уравнений равновесия стерж­ ней в уравнения равновесия узлов. После несложных преобразова­ ний получим:

 

 

—N 1 + -1

M H2 —Y M к 2 + F2x = 0,

 

 

У

 

 

 

 

l2

 

 

 

l2

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—~T M H1 + T~M K1 —N 2 + F2у = 0,

 

 

 

 

 

 

l1

 

 

l1

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

—M K1 +

 

M H2 +F2P =

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

H2

 

2p

 

 

 

 

 

 

Матричная форма записи этой системы уравнений будет

следующей:

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|-

 

0

0

 

 

0

 

1

 

1 ■

 

- NБ1 -

 

 

—1

 

 

 

р

 

 

M H1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

l2

 

l2

 

 

2x

 

 

 

0

 

—1 0

 

0

 

 

M K1 + F- = 0

 

 

—h

h

1

 

о

и N 2

2у

 

 

 

0

0

—1

|

 

0

 

1

 

0

 

 

M H2

F22р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

и

 

 

 

 

 

-

 

_M K2 -

 

 

 

 

 

з

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или сокращенно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

о

 

 

 

Л

 

S + F

= 0.

 

 

 

 

(15.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

соответствуют

В уравнениях (15.2) знаки компонент вектора F

принятым

оложительным направлениям узловых нагрузок. Для чис­

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л нногопрешения этих уравнений совместно с другими перепишем

их в вид :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л S = F .

 

 

 

 

 

(15.3)

где Л = —Л - матрица равновесия:

411

 

 

1

0

 

0

 

0

1

 

1 -

 

 

 

 

 

l2

 

l2

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

0

 

0

 

 

 

 

h

—h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

0

0

 

1

 

0

-1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Т

S = [N1, M H 1, MK1

 

 

 

 

 

 

, N 2 , M H 2 , M к 2] T - вектор усилий;

F = [F2x, F2у , F2cpY - вектор нагрузок.

 

Чтобы легко ориентироваться в структуре матрицы

Л , напом­

ним, что в ее первой строке записаны коэффициентыНпри неизвест­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

ных усилиях в концевых сечениях стержней из уравнения равнове­

сия Е x = 0,

во

второй -

 

 

и

 

из уравнения

X у =Б0, в третьей - из

уравнения

X M 2 = 0. При этом в первых трех столбцах матрицы

 

 

 

 

 

 

 

рицы

 

N , M H, M K

в первом

записаны коэффициенты п и ус л

ях

стержне, то есть в стержне 1-2, а в последующих трех -

при соот­

ветствующих усилиях во вт

 

м сте жне (в стержне 2-3). Показан­

 

 

 

 

 

т

 

 

равновесия называют спосо­

ный способ формирования ма

 

бом формирования ма рицы

 

узлам”. Для рам с большим ко­

личеством узлов он являе“пося рудоемким и поэтому используется

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

на практике не часто. Другой, более эффективный, позволяющий

организовать форм

рован

е матрицы Л “по стержням”, изложен

в разделе 15.14.

и

 

 

 

 

 

 

 

продольных сил в ее элементах, что равносильно загружению соот­

 

 

 

15.5. Геометрические уравнения

 

Представимопроцесс “перехода” рамы (рис. 15.3) в деформиро­

ванное состояние как результат последовательного влияния сначала

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в тствующей шарнирной системы узловой нагрузкой, вызывающей

теже значения продольных сил, а затем, при положении узлов в

точках 1,

2'

и

3,

влияния изгибающих моментов, переводящих

стержни в изогнутое состояние. Согласно допущению о малости перемещений, второй этап деформирования не изменяет положения

412

узлов рамы. Поэтому деформацию каждого защемленного по кон­ цам стержня можно характеризовать тремя составляющими:

Alj - абсолютное удлинение (укорочение) i -го стержня,

 

A^Ht, ApKi - углы поворота концевых сечений.

 

 

У

 

Следовательно, векторы деформаций 1-го и 2-го стержней рамы

(рис. 15.3) имеют вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1 = [Al1, A PH 1, A pK1]T,

Н

 

 

 

 

A2 = [Al2, A pH2, A pK2 ]

.

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

Рис. 15.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

этом, A VH 1 = Z2,ApK1 = z3 —

 

 

 

 

 

 

как следует з рисунка, на котором все компоненты

вектора перемещений 2-го узла показаны положительными, имеют

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

место с

тн шения:з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

l1

 

 

 

l1

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A pH2 = —z3 —~T ,А Фк2 = ~T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l 2

 

 

l 2

 

 

 

413

называемые геометрическими уравнениями. Они же являются урав­

Замечание - В выражении для Афн2

угол принят отрицатель­

ным, т.к. направление угла поворота Афн2

не совпадает с направ­

лением положительного момента в начале 2-го стержня.

A /1 = Z1

Вследствие малости деформаций можно принять, что

и a /2 = z2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Записанные соотношения позволяют установить взаимосвязь

между вектором деформаций A

и вектором перемещений Z в мат­

ричной форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

Al1

 

'

1

 

 

0

 

 

0"

 

 

 

ApH1

 

0

 

 

1/11

 

0

 

Z1

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ApK1

 

0

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

— 1/11

 

1

Бz2

 

 

 

A l2

 

 

0

 

 

1

 

0

 

 

ApH2

 

 

 

 

и

 

z3

 

 

 

— V l2

 

0

 

—

1

 

 

 

 

 

_ApK2_

_

V l2

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сопоставляя с (15.3), п лучаем у авнения с транспонированной

матрицей равновесия

т

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

A =

AT z

 

 

 

 

 

 

 

(15.4)

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нениями нера рывности деформаций стержневой системы.

МатрицупAT называют матрицей деформаций. С ее помощью вы­ ечисляются деформации элементов системы через перемещения узлов.

Чтобы у читателя не сложилось мнение о том, что матрица де­ Рформаций для рассмотренного примера оказалась случайно сов­

павш й с транспонированной матрицей равновесия, изучим вопрос

о взаимосвязи этих матриц подробнее.

414

15.6. Принцип двойственности

Уравнения равновесия составлялись для недеформированного состояния системы, то есть в предположении малых деформаций ее элементов, вызывающих малые перемещения узлов.

Благодаря этому допущению, уравнения равновесия и геометри­

ческие уравнения получились линейными. Системы, к которым

 

 

 

 

 

 

Т

применимо это допущение, называют геометрически линейными.

 

Важным свойством уравнений является то, что матрицы урав­

 

 

 

 

 

Н

нений равновесия и геометрических уравнений являются взаимноУ

транспонированными. Эта связь может быть показана в общем

 

 

 

 

 

Б

 

виде. Пусть, например, между векторами z и A существует за­

висимость в виде:

 

й

 

 

 

 

 

A 1 z = A .

 

 

 

 

 

 

 

 

В соответствии с принципом возможных перемещений для сис­

 

 

 

 

р

 

 

темы, находящейся в равновесии, сумма работ внешних и внутрен­

них сил на возможных перемещен ях

авна нулю. За возможные

 

 

 

 

о

 

 

примем действительные перемещения.иВ таком случае:

 

 

 

 

F T z — ST A = 0 .

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

з

 

ST AT и A = A 1 z , будем

 

Подставляя в это твыражение FT =

 

со

 

 

 

 

иметь ST AT z — ST A1 z = 0, откуда следует равенство A 1 = AT.

 

Полученная ависимость является для линейных систем общей и

 

п

 

 

 

 

 

выражает б й статико-геометрическую аналогию расчетных со­

отношений

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

Р

В случае больших перемещений задача определения напряжен­

но-д формированного состояния становится нелинейной. Системы, в которых имеют место большие перемещения и малые деформа­ ции, и соответствующие им задачи называют геометрически нели­ нейными. Примером геометрически нелинейных систем могут быть некоторые вантовые системы. Для этих систем уравнения равнове­

сия составляются для деформированного состояния их, то есть с

415

учетом узловых перемещений. Матрица A уравнений равновесия будет зависеть от перемещений z , матрица Aj геометрических уравнений тоже будет зависимой от z ,причем

Статико-геометрическая аналогия для геометрически нелиней­ ных задач проявляется в более сложной форме. Ее рассмотрение

выходит за рамки данного учебного пособия.

 

Н

У

В последующем изложении материала по расчету стержневых

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

систем рассматриваются геометрически линейные системы.Т

 

 

 

15.7. Физические уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

Связь между вектором деформаций и вектором усилий для от­

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

дельного (i -го) стержня устанавл вается л не но : А i = Dt St.

Напомним, что:

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

следует рассмотреть загруже-

Для определения комп нен ы А ф н

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

ние стержня концевыми ус лиями M Hi и M Ki (грузовое состояние)

и загружение ед н чным моментом в начале стержня (рис. 15.4).

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

“Перемножая” эпюры, получим:

 

 

 

 

 

 

з

 

2l

 

 

l

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

рассуждения позволят записать выражение:

 

Аналогичныеп

 

 

 

 

 

 

l

 

 

2l

 

 

 

416

 

Ш

M K

 

 

 

 

 

1

 

 

 

M v

 

M K

 

У

1

 

 

 

 

..

 

 

 

 

 

M^н =

Ш

1

 

Т

 

 

г

 

 

 

Н

 

— —

l-------------i

 

Б

 

 

Рис. 15.4

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая, что податливость стержняйот продольной силы равна

l

,матрица податливости стержня учете деформаций рас-

М,

 

 

 

 

 

l

 

 

при

 

 

 

 

 

 

р

 

тяжения-сжатия и изгиба будет следующей:

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

( А )

 

21

l

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

6

(EJ \

6 (E J)

 

 

 

 

т

 

 

о

l

21

 

 

 

 

6

(EJ )

6 (EJ)

 

п

 

 

 

 

 

 

D =

 

 

 

 

 

В с став рамыз(рис. 15.3) входят два стержня, поэтому матрица

внутренней

датливости системы является квазидиагональной:

е

 

 

 

 

D

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D'2.

а физические уравнения запишутся в виде:

А = d S .

417

15.8. Особенности расчета системы на изменение температуры, осадку опор и неточность изготовления стержней

Учет этих факторов производится соответствующей корректи­

ровкой физических уравнений. Вектор деформаций, вызываемых усилиями от нагрузки F ,следует суммировать с вектором дефор­

маций А' стержней от заданного воздействия.

При изменении температуры по отношению к некоторому на­

чальному

состоянию

стержни

рамы

деформируются (рис. 15.5).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

Обозначим через t1 изменение температуры по верхней грани стерж­

ня, через t2 - по нижней.

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

в

 

t

 

 

 

,

Н

 

 

 

H - I---------------- -\-К

 

 

 

 

 

 

Б

 

 

 

 

 

l

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

Пусть t2 > t1. Измененое емпературы по оси стержня t

t1 + t2

= —

2—

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вызывает

 

удл нен е А l = a 1 1;разность температур t'= 12 — 1\

вызывает п в р ит торцевых сечений на углы, определяемые по

формуле (7.12):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

его

 

 

a

 

t '

l

 

 

 

 

А Фн = А Фк = ~ Т Т .

 

 

 

 

п

 

 

 

 

h

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Направления поворота сечений на рис. 15.5 показаны положи­

тельными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В таком случае вектор деформаций для показанного стержня за­

Рпишется:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

418

Sr - R .

Для всей системы вектор деформаций образуется стыковкой век­

торов для отдельных стержней.

При расчете фермы на неточность изготовления ее стержней

вектор А Н

известен по условию задачи.

Компоненты вектора де­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

формаций от неточного изготовления стержней определяются раз­

ностью реальных и проектных значений длин стержней.

 

 

Вектор деформаций стержней от осадки опор можно получитьУ

так. Выделим из матрицы A строки, связанные с условиями равно­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

Перемеще­

весия опорных узлов по направлениям опорных связей.

ния могут иметь все опорные узлы или только часть из них. Число

таких строк, равное числу опорных связей, обозначимНчерез r . Со­

ответствующие условия равновесия для опорных узлов системы

запишутся в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A (r)S - 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

(r)

 

 

с помощью вертикальной пере­

 

Разобьем матрицу A w на

 

 

городки (табл. 15.1) и будем

 

и

 

 

 

ассмат ивать ее как сложную матри­

цу A (r)-A (r- r ,A(r)

 

 

 

р

 

 

 

 

 

блоки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 15.1

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Si

S2

 

 

 

 

 

1

 

S n _ r+ 1

Sn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n Со

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

X

зX

 

 

 

 

 

X

 

1

 

 

 

 

о

X

 

 

 

 

 

X

 

 

1

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

A(rJr имеет тип

r •(n - r), а матрица A(r)-

r •r .

 

Матрица

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Усилия Sn_r+i,...,Sn равны реакциям в опорных связях:

419

Уравнения равновесия для опорных узлов можно записать сле­ дующим образом:

4 1 К _r + 4 )S r - 0 .

Так как A*r) - единичная матрица, то:

 

 

R -

S - _ A(r)

S

 

Т

 

 

 

r n_r

 

n_r

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

При заданных перемещениях опорных связей вектор деформа­У

ций стержней определим по выражению:

Б

 

 

 

 

А' -_ A (r)J Z

 

 

 

 

c

 

 

n_r

й

 

Длина вектора z равна r .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С учетом изложенного о расчете на рассмотренные воздействия

 

 

 

 

 

 

и

 

 

физические уравнения следует зап сать в в де:

 

 

 

 

 

 

р

 

 

(15.5)

 

 

 

А - D S + А '.

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

т

 

асчета стержневой системы.

15.9. Общие уравнения для

 

 

Смешанный метод

 

 

 

 

и

(15.3), геометрические (15.4) и

физиче­

 

 

з

Уравненияравновес я

ские уравнения (15.5)образуют в совокупности общую

систему

 

о

 

 

 

 

 

 

 

уравнений для расчета л нейно деформируемой стержневой системы.

Представим их в следующем виде:

 

 

 

 

п

 

"A S

- F ;

 

 

 

е

 

 

<A T z _ А - 0 ;

 

(15.6)

 

 

 

 

 

 

 

А _ D S - А '.

 

 

Искомыми величинами в (15.6) являются n -мерный вектор уси­

Рлий S , m-мерный вектор перемещений Z и n-мерный вектор де­

формаций А . Всего неизвестных - (2n + m). Число уравнений в 420

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности