Строительная механика учебник
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свободный член R3F можно определить из уравнения равнове
сия для фрагмента (рис. 9.18,к), полученного из рис. 9.18,г: |
|
|
||||||||||||
X X = 0; |
R3F +15,0 = 0, |
R3F = -15,0 . |
|
|
|
|||||||||
В численном виде система канонических уравнений запишется так: |
||||||||||||||
3,3 Z1 + |
0,4 Z 2 + |
0,24 Z3 |
- |
6,25 |
1 |
|
= 0, |
|
У |
|||||
|
|
|
'2 |
|
|
3 |
|
|
|
EJ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
||||
0,4 Z1 + |
2,8 Z2 |
- |
|
0,135 Z3 |
- |
68,75 |
1_ |
|||||||
|
|
= 0, |
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
1 |
0,135 Z2 + |
0,2835 Z3 - |
|
Б |
|
|
||||||||
0,24 Z1 - |
15,0 |
J |
|
= 0.Т |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
||
Z1 = -6,905— |
рад, |
|
|
|
и |
|
Z3 = 72,584— м. |
|||||||
Z2 = 29,040— |
рад, |
|||||||||||||
E J |
|
|
|
|
|
E J |
|
|
|
|
|
|
E J |
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательная эпюра изгибающ х моментов показана на рис. 9.18,л. |
||||||||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р 2. Построить эпю у изгибающих моментов для рамы, |
||||||||||||||
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
показанной на рис. 9.19,а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для определения с епени линейной подвижности узлов исполь |
||||||||||||||
зуем шарнирно-стержневую систему (рис. 9.19,б). Общее количест |
||||||||||||||
з |
|
n = nу + nл = 2 +1 = 3. |
Основная |
система |
||||||||||
во неизвестных равно |
||||||||||||||
о |
|
|
положительные направления основных не |
|||||||||||
метода перемещен й |
|
|||||||||||||
известных п ка аныина рис. 9.19,в. Грузовая и единичная эпюры |
||||||||||||||
изгибающих м ментов изображены на рис. 9.19,г-ж. |
|
|
|
|
||||||||||
Система кан нических уравнений в численной форме записи |
||||||||||||||
имеет0,8EJ Z1 + |
3,2EJ Z2 |
|
|
|
|
-15,0 J _ |
= 0, |
|
||||||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п2,6EJ Z1 + |
0,8EJ Z2 |
- 0,375EJ Z3 |
- 38,0 |
1 |
= 0, |
|
||||||||
Р- 0,375EJ Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
+ 0,234375EJ Z3 |
- 60,0 J _ |
= 0. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
302
|
Решение ее дает: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Z1 = 72,361— |
|
рад, Z2 = -13,403— рад, |
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
E J |
|
|
|
|
|
|
|
2E J |
|
|
|
|
|
|
|
Z3 = 371,778— |
м. |
|
|
Т |
||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
E J |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
||
|
Окончательная эпюра изгибающих моментов представленаУна |
||||||||||||||
рис. 9.19,з. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) и —гг—£& |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■'W=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
1 — ЩехЦ— 3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
О сновная |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
систем а |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
31 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9.19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
303
9.7. Расчет рам с наклонными элементами
В рамах с наклонными элементами смещение линейной связи ка кого-нибудь узла на заданное, например, единичное значение, вызы вает линейные смещения и других узлов, зависящие не только от за данного смещения, но и от геометрии рамы (расположения ее эле ментов). Поэтому для построения эпюр изгибающих моментов в
основной системе необходимо, прежде всего, найти взаимные пе |
|||||||||||
ремещения концов стержней, образующих раму. Значения переме |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
щений находятся из анализа перемещений шарнирно-стержневой |
|||||||||||
системы, соответствующей заданной раме. |
|
|
Т |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При построении какой-либо единичной эпюры рассматривается |
|||||||||||
смещение одной связи при неподвижных остальных. Поэтому шар |
|||||||||||
нирно-стержневая система в этом случае представляет Нсобой кинема |
|||||||||||
тический механизм с одной степенью свободы. При известном смеще |
|||||||||||
нии одного узла смещения остальных можно определить из диаграм |
|||||||||||
мы перемещений механизма. Поясн |
|
Б |
|
||||||||
это на следующих примерах. |
|||||||||||
Рассмотрим раму с одной наклонной сто |
(рис. 9.20,а). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
кой |
n = 2. Связь, |
||
Степень кинематической неоп едел мости ее равна |
|||||||||||
препятствующую линейному |
пе |
емещению |
узлов, |
расположим |
|||||||
перпендикулярно к стержню 2-3 ( ис. 9.20,б). Для определения вза |
|||||||||||
имных перемещений к нц в |
стержней рамы при Z1= 1 придадим |
||||||||||
шарнирно-стержневой |
|
еме в зм жное по условиям ее закрепле |
|||||||||
ния положение 0-1'-2'-3 |
о |
|
|
|
|
||||||
(рис. 9.20,в). Из прямоугольного треуголь |
|||||||||||
ника 2-k-2' |
следует, |
|
|
взаимное смещение концов стержня 1-2 |
|||||||
|
|
|
|
что |
|
|
|
|
|
||
равно cos а , стержня 0-1 - sin а , стержня 2-3 равно 1. |
|
|
|||||||||
Те же |
|
сис |
|
|
|
|
|
|
|||
|
перемещений получаются из диаграммы пере |
||||||||||
мещений (рис. 9.20,г). Поясним ее построение. |
|
|
|
||||||||
О |
|
значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рные узлы 0 и 3 являются неподвижными. Соответствующую |
|||||||||||
им на диаграммеоточку называют полюсом. Из этой точки проведем |
|||||||||||
лучи |
р ендикулярно к стержням 0-1 и 2-3, узлы (0, 3) которых |
||||||||||
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
совпадают с полюсом, то есть по направлениям возможных переме |
|||||||||||
щенийузлов 1 и 2 (дуги, описываемые точками 1 и 2 при повороте |
|||||||||||
стержней вокруг опорных точек 0 и 3, заменяются касательными к |
|||||||||||
ним в этих точках). На луче, перпендикулярном к стержню 2-3, на |
|||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расстоянии, равном единице, будет лежать точка 2 . |
|
|
304
Для определения положения точки 1' необходимо провести из точки 2 линию, перпендикулярную стержню 1-2. Отрезки 1 -2 и 1 -0 на диаграмме равны взаимным смещениям концов стержней 1-2 и 0-1 при Z1= 1.
П р и м е р 1. Построить эпюру изгибающих моментов для рамы, |
||||||||||
показанной на рис. 9.20,а, полагая изгибные жесткости всех стерж |
||||||||||
ней равными, а |
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||
= 600 . Длина стержня 2-3 равна I 2 _3 = 8 /V 3 м. |
||||||||||
Для построения единичной эпюры M 1 |
|
Н |
||||||||
(рис. 9.20,д) используемУ |
||||||||||
найденные ранее значения взаимных линейных смещений концов |
||||||||||
стержней. Эпюры M |
|
|
|
|
|
Б |
|
|||
2 и M F показаны на рис. 9.20,е,ж. |
|
|||||||||
Коэффициенты и свободные члены канонических уравнений оп |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
||
ределяются статическим или кинематическим методами. Покажем, |
||||||||||
например, определение Гц и |
: |
и |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
||
+ - |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
значен |
|
|
|
|
|
|
|||
Это же |
|
|
е |
Гцтможно получить статическим методом из |
||||||
равновес |
я узла 2 (рис. 9.20,з). Поперечную и продоль |
|||||||||
уравнения |
|
|
|
|||||||
ную силы в стержнеи1-2 получим из уравнения равновесия для |
||||||||||
продольных |
|
|
E J в обозначениях на рисунке поперечных и |
|||||||
узла 1. Мн житель |
||||||||||
Р |
|
сил |
пущен: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s 3 |
|
|
|
|
|
|
|
е f |
|
|
+ 0,012 — |
1 |
E J = 0,1629 E J . |
|||||
|
|
0,1218 + 0,0406 — |
, |
|||||||
|
v |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
305
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ручитываются).
Для вычисления |
|
|
кинематическим методом используем эпю |
|||||||||||
ру изгибающих моментов M F (рис. 9.20,и), построенную в основ |
||||||||||||||
ной системе метода сил: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
M |
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
c 3EJ |
|
У |
|
r 1F - - Z j |
m F dx |
|
|
|
|
||||||||
|
|
EJ |
|
|
E J |
---- - 12,5 • 5 --------- + |
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
100 |
|
|||||
|
+ - • 40 1 - |
|
1 |
|
2 3л/з E J |
--2 ,4 1 . |
|
|||||||
|
|
|
• 4 • |
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
V 3. |
3 |
|
32 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|||||||
Из уравнения равновесия |
^ M c |
- 0 для |
|
|||||||||||
фрагмента рамы |
||||||||||||||
(рис. 9.20,к) найдем то же значение R F . |
|
Н |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Запишем канонические уравнения в численном виде. |
|
|
||||||||||||
|
0,1629Z1- |
0,2213Z2 - |
|
Б |
|
|
||||||||
|
2,41— - 0, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
E J |
|
|
|
|
- 0,2213Z1+ 1,4660Z2 + |
й |
0. |
|
|
|||||||||
|
12,50—1—- |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
E J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
Решение их дает: |
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Z1 - 4,0409-— |
м, |
|
Z2 - -7,9168— рад. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
E J |
|
|
|||
|
|
|
|
E J |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Окончательная эпюра зг |
бающих моментов показана на рис. 9.20,л. |
|||||||||||||
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
П р и м е р 2. Расчетная схема рамы изображена на рис. 9.21,а. |
||||||||||||||
Постр ить эпюрызM , Q и N , полагая жесткости всех стержней на |
||||||||||||||
изгиб равными. Как и в предыдущих примерах, жесткости стержней |
||||||||||||||
|
о |
|
|
EA ^ да (продольные деформации стержней |
||||||||||
на растяжение-сжатие |
||||||||||||||
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ст п нь кинематической неопределимости рамы равна трем. Основная система показана на рис. 9.21,б. Грузовая и единичные эпюры изгибающих моментов M 1, M 2 показаны на рис. 9.21,д-ж.
Чтобы построить эпюру M 3 , необходимо определить взаимные смещения концов стержней.
307
Дадим шарнирно-стержневой системе (рис. 9.21,в), соответст вующей заданной раме, смещение линейной связи на Z 3 -1 , пока жем новое положение узлов 3', 4', 5' и построим диаграмму пере
мещений (рис. 9.21,г). Длины отрезков 1 - |
4' |
и 2 - |
5' равны единице |
|||||||||||
(стойки 1 - 4 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|||
2 - 5 имеют разную высоту, но так как они парал |
||||||||||||||
лельные, то узлы 4 и 5 перемещаются по горизонтали на равные от |
||||||||||||||
резки). Отрезок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||||
0 - 3' равен перемещению узла 3 по направлению, |
||||||||||||||
перпендикулярному к стержню 0 - 3; взаимное смещение по верти |
||||||||||||||
кали концов стержня 3 - 4 определяется длиной отрезка 3' - 4'. |
|
|||||||||||||
Эпюра M з представлена на рис. 9.21,з. |
|
Б |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Коэффициент Г33 канонического уравнения, а также свободный |
||||||||||||||
член R3F удобно вычислять кинематическим методом.НОдин из |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|||
возможных вариантов эпюры М ° для определения R3F показан |
||||||||||||||
на рис. 9.21,и. |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
EJ |
|
||
После определения коэффициентов |
|
свободных членов система |
||||||||||||
канонических уравнений запишется в в де: |
|
|
|
|
|
|||||||||
1,2155 Z1 |
|
|
|
о |
|
|
Z2 |
|
- |
|
EJ |
- 0, |
||
|
|
|
|
+0,25 |
|
|
0,16778544,17—Z3 |
|||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0,25 Z1 |
|
+ |
|
- |
0,193125 Z3 |
+ |
106,67— |
- 0, |
||||||
|
1,30 Z2 |
|||||||||||||
0,167785 Z1 |
|
з |
|
+ |
0,194830 Z3 |
|
40,0— |
- 0. |
||||||
|
- |
0,193125тZ2 |
|
|||||||||||
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ее решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
е |
оZ1 - 78,593^^ рад, |
|
Z 2 -- 6 6 ,3 8 9 ^ ^ рад, |
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
E J |
|
|
2 |
|
|
|
E J |
|
|
|
|
|
|
|
Z3 - 207,182— |
|
м. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
E J |
|
|
|
|
|
|
||
РОкончательные эпюры усилий M , Q |
и |
N |
изображены на |
рис. 9.21,к-м.
308
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|