Строительная механика учебник

3

1

3

2

(11.3)

2

7

—E J Zi + - E J Z 2 - 5 = 0.

3

1

3

2

Решив их, получим:

Т

19

1

Н

У

Z1 = 3EJ

рад,

рад.

Z2 = 3EJ

Б

Естественно, что окончательная эпюра моментов будет такой же,

как и на рис. 11.2,ж.

Применим для решения системы уравнений (11.2) жордановы

Отметим следующее. Удаление дополнительной связи в основной

системе (рис. 11.7,а) позволило перейти от системы уравнений (11.2)

к системе (11.3). Этот переход можно было осуществить и без рас­

чета балки как дважды кинематически неопределимой системы.

исключения

(способ

р

Гаусса). Коэфф ц енты и свободные члены

о

E J

перед

системы (11.2) запишем в ф

ме табл.и11.1 (множители

неизвестными Z i

в

таблицу

не внесены) и сделаем один шаг обык­

и

новенных жордановых исключений, принимая за разрешающий эле­

мент коэффициент Г33.

з t

о

Табл ца 11.1

Таблица 11.2

п

Z 2

Z 3

1

Z1

Z 2

0

1

Z1

0 =

7

2

0

—15

7

2

0

—15

3

3

0 =

3

3

0 =

2

8

2

0

2

7

1

—5

3

3

3

0 =

3

2

е

3

Р

0 =

0

2

4

10

Z 3 = 0

1

3

15

3

3

2

4

2

(

4 ^

1. Разрешающий элемент I

ars = -3 I заменяется обратной ве­

личиной.

У

2. Остальные элементы разрешающего столбца

(s ) делятся на

разрешающий элемент.

Т

3. Остальные

элементы разрешающей

строки

(r ) делятся на

разрешающий элемент и меняют знаки.

4. Прочие элементы вычисляются по формуле

b

= aijars - aisarj

Б

Н

bij

=

ars

,

записывать в таблицу. Из эт й же таблицыследует, что:

при i Ф r ,

j

Ф s

(по правилу прямоугольника).

В табл.

р

11.2 представлена зап

сь коэффйциентов и свободных

членов системы уравнений (11.3). Нулевой столбец можно было не

т

и

E J Z 3 = - 1 E J Z 2 - — .

о3 2

2

2

П р и м е р

3. Пока ать расчет балки (рис. 11.2,а) смешанным

о

методом.

Существует мн жество вариантов основных систем смешанного

п

изт рые них изображены на рис. 11.10. Для демонст­

метода. Нек

рации

с бенн стей смешанного метода выберем основную систе­

е

му, оказанную на рис. 11.11,а.

Р

Единичные и грузовая эпюры изгибающих моментов приведены

на рис.

11.11,б—д.

Su X 1 + 812 X 2 + ^13Z3 +

A1f = 0;

*21X 1 + 822X 2 + 823Z3 + А2F = 0;

r31 X 1 + r32 X 2 + r33 Z3 + R3F = °.

Т

Свободные члены первого и второго уравнений определим, как и

Н

У

в методе сил, посредством “перемножения” эпюр моментов:

A1F = I J M 1M F dx ^ —^ 1 3 0 - 4 - 0,5 = И

E J

E J

2

E J

.M 2M F dx

30

6

й

А2F = Z J —- —F

= —

+

(4 • 0,25 • 22,5 + 45 • 0,5) = — .

J

EJ

и

Б

’

EJ

EJ 6•2EJ

Свободный

член R^F

определяется

з уравнения

равновесия

моментов в узле с дополнительным защемлен ем: R^F = 10,0.

Так как rik

= - 8 ki,

о

r32 = 0,5 , а 823 = -0,5 .

то

при неизвестных произво­

Определение других к эффициентовр

и

дится по правилам, изложенным в главах 8, 9.

В численной форме зап

си канонические уравнения имеют вид:

4

2

30

о

X 2

3EJ

X 1 +

3EJ

+ ^

= 0;

п

з2

12,5

X 2

- 0,5Z3

+ 5 2 ,5 = 0 ;

е

X 1 +

3EJ

6E J

E J

Р

0,5 Х 2

+ 2 E J Z 3 + 10

= 0.

ешив систему, получим:

1

X 1 =-11,83 кН-м; X 2=-21,33

кН-м;

Z3 = 3E J

рад.

M.M= M F + M.M1X 1 + M.M2X 2+ M.M3Z3,

имеет тот же вид, что и на рис. 11.2,ж.

У

П р и м ер

4.

Смещения опор

неразрезной

балки показаны на

рис. 11.12,а.

Построить

эпюру

изгибающих

моментов, приняв

С = 0,01

рад, С2 = С3 = 0,06 м.

Н

а)

■

3 -

-

2EJ

Т

* \ E J X

с 2

2 E J ^ 1с 3

±

^

6м

й

6

м

Б

б)

X1

X,

и

р

4

4

о

т6

4

1

X2 =1*

*X7 =1

H

и

1

U

1

д)

о

X3 =1* *X3 =1

п

з

6

X U 1

е

6

6

Р

)

M ) ( к H • м)

Рис. 11.12

Свободные члены каноническихуравнений определим по формуле (7.13).

Используя распределение реакций в опорных связях (рис. 11.12,в-д),

найдем:

У

Б

Т

1 С2 + 1

СН3 = - 0,0 1 .

й

3

6

и

Коэффициенты при неизвестных

меют те же значения, что и в

примере 1.

р

Запишем канонические у авнен я для расчета на заданные сме­

щения опор:

о

4

2

т

+ 0,01 E J = 0;

-

X 1 + -

X 2

3

и

2

1

3

2

7

1

з

X 2

+ -

X 3

+ 0,01 E J = 0;

-

X

+ -

3

1

3

2

2

3

о

1 X 2

+ 2 X 3

-

0,01 E J = 0.

п

2

2

3

Решив

Р

их, олучим

X 1 = -5,5 • 10-3E J кН-м;X 2 = -4,0 • 10-3E J

кН-м;

X 3 = 6,0 • 10-3 E J

кН-м.

Эпюра M изображена на рис. 11.12,е.

Рассчитаем балку (рис. 11.13,а) на действие единичной силы в

Н

обозначенных на рисунке сечениях и по результатам расчета Упо­

строим линии влияния усилий.

Форма линии влияния на протяжении каждого пролета, какТправило,

определяется значениями ее ординат в трех промежуточных сечениях.

Например, для построения л.вл. M c (рис. 11.13,б) или л. вл. M 5

й

(рис. 11.13,в) достаточно найти соответствующие моменты при положе­

ниях силы F = 1 в сечениях, делящих пролет на четыреБчасти.

Некоторые особенности очертан я л н

влияния изгибающих

р

х для сечений, расположен­

моментов возникают при построен

ных вблизи опор. Так, при пост оен

л н

влияния момента для

Если же некоторое сечениеоказывается,K 1 будет расположено между точ­

сечения K 2

(рис. 11.13,г)

ичто сила F = 1, расположен­

ками B и K 2 , то лпролета,н я вл яния изгибающего момента в этом про­

ная правее второго

не вызывает в этом сечении изгибающе­

го момента (точку K 2 называют левым фокусом второго пролета).

и

лете будет дву начной (р с. 11.13,д). Поэтому, во избежание оши­

бок, в пр лете, к которому относится исследуемое усилие, число

п

F = 1 следует принимать увеличенным.

пробных устанзв к силы

Известн ,

ф рма линии влияния, в соответствии с кинематиче­

ским м тодомчто(см. раздел 8.11), подобна эпюре перемещений балки,

вызыва мой смещением соответствующей связи по ее направлению на

Р

диницу. Например, чтобы получить очертание л.вл. Q5 (рис. 11.13,е)

енеобходимо торцы балок, примыкающие

к пятому сечению, раз­

торых из них. Экстремальные усилия в сечениях балки определяются

с помощью невыгодных загружений линий влияния (см. главу 3).

Н

Однако такой способ нахождения их при отмеченном характере дей­

ствия временной нагрузки является достаточно сложным и, к тому

Б

же, не дает наглядного представления о распределении максималь­

ных и минимальных усилий по дл не

.

Более просто задача об оп еделен

йэкстремальных усилий ре­

шается с помощью огибающих эпюр ус л й. Рассмотрим задачу

балки

построения огибающих эпюр изгибающих моментов в неразрезной

балке, загруженной

янн й

. 11.14,а) и временной нагруз­

(рис

ками (рис. 11.14,б). На рис. 11.14,в показана эпюра моментов от по­

стоянной нагрузк

, на р с. 11.14,г-ж -

от последовательного загру-

о

жения каждого проле а временной нагрузкой.

Максимальный

пост

м н мальный изгибающие моменты в сечени­

ях балки

м по выражениям:

и

max М

з

min M = M пост + Z M вр ,

= Мп ст + S M в+р ;

определM ост - изгибающий момент от постоянной нагрузки в

п

данном сечении;

гдеM +р - изгибающие моменты от временных нагрузок, вызы­

Р

вающие в этом сечении положительный момент;

M вр - изгибающие моменты от временных нагрузок, вызы­

а)

i

10

11

lЩШ

15 16

12 _I 14

l.

6м

I.

6м_____ J,

1 0 к H 1 0 к H 1 0 к H

8 к H / м

10 к H 10 к H 10 к H 10 к H

I l l i ♦

/ 8 к Hl \

l

l

l

l

У

""•ST”

Т

п о с т (к H• м)

Н

Б

й

и

р

о

т

о

и

п

з

MBp,4 (к H • м)

ж)

е

Р

огиб) (к H • м)