Строительная механика учебник

Т

Соединяя плавной кривой точки, соответствующие max M , по­

лучим огибающую максимальных моментов (рис. 11.14,з). Огибаю­

щая минимальных моментов соответствует значениям min M . У

Из построенных графиков следует, что на отдельных участках

Б

растянутые волокна балки располагаются только внизу (или только

вверху), а на других участках растянутые волокна могут располагать­

ся как внизу, так и вверху. В сечении

11 max M ^ =Н15,24 кН • м

(на рис. 11.14,з не показан), а min M n

значений

= -9,19

кН • м.

Сведения о распределении расчетных

усилий исполь­

зуются при конструировании балок.

р

Аналогичный подход к построен ю ог бающих эпюр изгибаю­

щих моментов, поперечных и п одольных с л может быть приме­

о

нен при расчете других к нст укций.и

11.5. Расчет неразрезных балок на упругих опорах

Примерами упруг

х опор могут служить длинные колонны, на

з

балка (рис.

11. 15,а), поперечные

которые опирается неразрезнаят

о

металлического моста, на которые опираются

балки прое жей

продольные нерачастире ные балки, а также понтоны, которые служат

п

опорами наплавн го моста.

е

Р

Рис. 11.15

y m = cm Rm ,

У

где cm - коэффициент податливости n -й опоры, м/кН.

Расчет неразрезных балок на упругих опорах удобно выполнять ме­

тодом сил. Основная система метода сил принимается такой же,Ткак и

Н

Б

Перемещение по направлению не звестного M n (угол взаимного

й

поворота сечений балок, примыкающ х к n -й опоре) будет вызывать­

и

ся только опорными моментами M n- 2 ,

M n- 1, M n , M n+1, M n+2

и нагрузкой, расположенн й в

летах ln- 1, ln , ln+1, ln+2 , поэтому

пр

соответствующее каноническое уравнение метода сил имеет вид:

о

т

* n ,n - 2M n -

2 + * n ,n - ^ ^ n - 1 + $nnM n +

и

+ * n ,n+1M n+1 + * n ,n+2M n+2 + A n F = ° .

з

Его называют уравнением пяти моментов.

о

Д формированное состояние основной системы, вызванное Mn = 1,

п

а на рис. 11.16,в,г представлены эпюры

показано на рис. 11.16,б,

моментов

и даны значения опорных реакций от Mn = 1 и Mn-2 = 1.

Р

Г Л А В А

12

РА С ЧЕТ С ТА ТИ ЧЕСКИ Н ЕО П РЕД ЕЛИ М Ы Х Ф ЕРМ

12.1. Виды статически неопределимых ферм

У

В данной главе рассматриваются особенности расчета ферм как

шарнирно-стержневых систем с лишними связями.

Т

апомним, что

узловые соединения шарнирно-стержневых систем представляют

собой идеальные шарниры без трения.

Н

Степень статической неопределимости Л

шарнирно-стержневой

системы определяется по формуле:

Б

Л = С0 + С - 2У ,

й

где С0 - количество

ных стеижней фермы;

С - количество стержней, с ставляющих ферму;

У - количес во узл

р

в фермы.

Примеры стат

опо

ферм

приведены на

неопределимых

рис. 12.1, 12.2,а.

т

Трехпролетная неразрезная ферма с параллельными поясами и

треугольн й решеткойчески(рис. 12.1,а) является дважды внешне стати­

чески не пределимой.зОтсоединенная от опор, она имеет геометри­

чески неизменяемую статически определимую структуру.

оанельная балочная ферма с крестовой решеткой (рис. 12.1,б)

сод ржит семь лишних связей. Данная ферма является внутренне

п

она статически определима:

статич ски неопределимой. Внешне

Рис. 12.1

Н

У

Распорная ферма с дополнительным раскосом в центральной

Б

панели (рис. 12.2,а) статически неопределима как внешне,Ттак и

внутренне.

й

12.2. Особенности расчета статически неопределимых ферм

и

Расчет статически неопределимых ферм, как правило, произво­

дится методом сил. Основная система метода сил выбирается путем

р

разрезания стержней фермы, либо путем удаления опорных связей

(рис. 12.2), которые не являются абсолютно необходимыми.

о

т

и

з

о

п

Кан нические уравнения метода сил имеют стандартный вид:

е

А

Sii

. ••

811" "X l "

1

1

Р

<T

S21

821 . . .

82i X 2

<

+

2

= 0,

8nl

8nl

■• •

8nl __X n _

nF _

будут зависеть только от продольных деформаций их стержней, и

для вычисления перемещений следует использовать одночленную

формулу Максвелла:

У

N jN ks ,

A iF = Z

N jN Fs

(i,k

= 1,2,...,n ) .

EA

’

EA

где знак суммирования £ распространяется на все стержни фермы;

N i, N k , N F

Б

— соответственно усилия в стержнях основнойТ

системы метода сил от единичных значений основных неиз­

вестных (X i = 1, X k = 1) и от заданной нагрузкиНF ;

s и

EA -

й

длина и жесткость на растяжение-сжатие соот­

и

ветствующего стержня фермы.

Окончательные усилия в

стержнях

стат чески неопределимых

ферм вычисляют по формуле:

N

о

N iX i .

=

N F

+ Z

т

i=1

связями

Все вычисления удобно вес и в табличной форме. Для фермы с

з

(р с. 12.2) такая таблица может иметь сле­

двумя лишними

дующий вид (табл. 12.1).

о

Таблица 12.1

№

п

N f N1

N2

N1

^

N2 N1 N2 N1 N1 N

b =—

е

EA

N1b

b1 5?

N2b

NFb

NFb

ст.

X1

X2

Р

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1

£

§11

§12

§22

A I F

A2F

В первом столбце таблицы указываются номера стержней в про­

извольном

порядке.

Во

второй столбец

вносятся

податливости

значения усилий в основной системе от найденных значений основ­

ных неизвестных). Наконец, суммируя столбцы 3, 11 и 12, получают

окончательные значения усилий в стержнях статическиНнеопредели­

й

мой фермы. При необходимости в таблицу могут быть внесены допол­

нительные столбцы для осуществления промежуточныхБи окончатель­

и

ных кинематических проверок в соответств

со смыслом метода сил.

Расчет

ферм методом

перемещен

й

пр водит к значительно

большему количеству основных не звестных. В плоских фермах

каждый узел за счет

продольных

дефо маций стержней обладает

двумя линейными смещениями. К личество основных неизвестных

т

метода перемещений для ферм независимо от их статической опре­

и

делимости или неопредилим с и вычисляется по формуле:

правило,

n = 2У —С0.

Как

метод перемещений применяют при автоматизиро­

ванном расчете ферм на компьютерах в матричной форме на основе

п

общих уравненийзстроительной механики (глава 15) или на основе

метода к

нечных элементов (глава 16).

лее

12.3. Построение линий влияния усилий

Р

усилия в котором (которой) требуется построить. Степень статиче­

ской неопределимости фермы при этом уменьшается на единицу.

Ферму с удаленной связью можно рассматривать как основную сис­

тему метода сил, в общем случае статически неопределимую. Ос­У

новное неизвестное, реакция в удаленной связи, зависит от точки

Т

приложения единичной подвижной силы. Закон изменения этого

основного неизвестного и определяет искомую линию влияния.

Из соответствующего канонического уравнения находим:

Н

л в

X

= —^1F(х) = —5F 1(х)

л.в.

Xл

—------------—-------------Б,

1

S

6 и

где Su - перемещение в основной сйстеме по направлению уда­

ленной связи от единичного значения усилия в этой свя­

и

зи, то есть величина п ст янная;

S1F(х ) - перемещениерв сновной системе по направлению

удаленной связи

п движной единичной силы, то есть

о

- абсциссы

точки приложения

функц я аргумен а

х

един чнойтподв жной силы;

S f1(х) - функц я того же аргумента х,

но выражающая со­

и

б й перемещения по направлению подвижной единичной

силызт единичного значения неподвижного основного

неизвестного X 1 = 1 , то есть эпюра перемещений (эпюра

о

рогибов грузового пояса) в ферме с удаленной связью от

единичного значения усилия в этой связи.

п

Таким образом, чтобы построить в статически неопределимой

е

ферме линию влияния некоторого усилия, необходимо удалить

связь, воспринимающую это усилие. Затем к ферме с удаленной

Рсвязью по направлению этой связи прикладывается единичная сила

в некоторой основной системе (статически неопределимой, если

Н

степень статической неопределимости исходной системы вышеУ

единицы), полученной из заданной, удалением одной связи. Вычис­

Б

ление перемещений в фермах по формуле Максвелла представляетТ

собой громоздкий, утомительный процесс.

Поэтому для построения линий влияния усилий в «лишних» стерж­

нях ферм или, что равноценно, линий прогибов узлов грузовых поясов

рационально применять метод перемещени , где перемещения всех уз­

лов являются основными неизвестными определяются в первую оче­

редь. Особенно эффективны в этом процессе компьютерные технологии

пределению,

и известные проектно-вычислительные комплексый(ПВК).

При использовании ПВК линию вл ян я любого усилия можно по­

строить и по ее прямому

о

икак результат многократного

т

вычисления этого усилия

действия единичных вертикальных сил,

прикладываемых поочередно к кажд му из узлов грузового пояса.

Если тем или

иным

способом построены линии влияния усилий во

связях

с а

чески неопределимой фермы (л.в. X k ,

всех «лишних»

k = 1,2,..., n ), то л

я вл яния усилия в любом другом стержне

( л.в. N J ) м жет быть построена по простой формуле:

п

л.в.

N J = л.в. N 0' + X N / (л.в. X k ),

Р

о

k=1

л. в. N 0 - линия влияния рассматриваемого усилия в основ­

где

ной системе метода сил при n = Л удаленных связях;

бесшарнирные (рис. 13.1,в), представляющие собой один криво­

линейный стержень, жестко защемленный по концам. Двухшар­

нирная арка имеет одну «лишнюю» связь, одношарнирная арка

дважды статически неопределима, а бесшарнирная арка трижды

статически неопределима.

Б

й

а)

и

б)

р

о

т

в)

и

з

Рис. 13.1

о

По оч ртанию арки выполняются, как правило, симметричными.

В зависимости от характера нагрузки ось арки может быть очерчена

п

по квадратной параболе, по дуге окружности или иной кривой, мо­

иметь переломы. Поперечное сечение арки может быть как по­

жет

стоянным по длине арки, так и переменным.

Р