Строительная механика учебник

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

Рис. 10.9

На рис. 10.9,в показана эпюра M 3 . Перемещение точки приложе­

через

= 1,

ния силы X i по ее направлению, вызываемое перемещением Z3

о

и*13. Как и в случае с обозначениями реакций, в

обозначено

написании *13 штрихом подчеркивается отличие этого перемещения

е

= 1 (см. метод сил).

от

еремещения *13, вызываемого силой X 3

В соответствии с теоремой о взаимности реакций и перемещений (9.8)

Р

п= -*13.

Действительно, из уравнения

равновесия узла

D

^31

*11X 1+ *12X 2+ *13Z3 +

*14Z 4 +

Л ^ = 0,

*21X 1 + *22X 2 + *23Z3 +

*24Z 4 +

Л2F = 0

(10.1)

r31X 1 + r32X 2 + r33Z 3 +

r34Z 4 +

R3F = 0,

У

Г41X 1 + Г42X 2 + r43Z3 + Г44Z4 + R4F = 0.

Т

Первое уравнение из этой системы выражает условие равенства ну­

Н

ротами узлов на углы

Z 3 и Z 4 , а пятое -

перемещение от нагрузки.

й

Смысл второго уравнения раскрывается аналогично.

Третье и четвертое уравнения имеют смысл уравненийБметода пе­

лами

четвертой дополнитель­

ремещений: суммарные реакции в третьей

ных связях, вызываемые единичными с

X 1 , X 2 и единичными

перемещениями Z 1 , Z 2, а также наг узкой, равны нулю.

В уравнениях (10.1) к эффициенты *

и свободные члены ЛF

определяются так же, как в ме рде сил. Например,

и

Л =

,M 1M F dx

* = ^ гM

1M 2оdx

*12 = L J —тE T ~ ’

^ F = L J

E J

нения

равновесия

сил в узле D

(рис. 10.9,г)

найдем Г34 = —— .

Коэффициенты

r^

свободные члены

RiF

определяются спо­

п

в методе перемещений. Например, из урав-

собами, применяемымиз

эпюре

E J

Р

Из уравн ния равновесия моментов в этом же узле на грузовой

получим R3F = -123,27.

Коэффициенты

rk

и

*'ц, как уже отмечалось, связаны соотно­

шением:

446,17

325,2

- 3 Z3

+ 0

5571,96

У

EJ X 1 -

— X

2

+

= 0;

EJ

EJ

325,2

360,34

Т

-X 1 +

X 2

+ 9 Z3

+ 0

EJ

= 0;

EJ

EJ

3 X

8

1

Н

- 9 X 2

+ - EJ • Z3

+ - EJ • Z4

-123,27 = 0;

2

3

3

3

4

0 • X

Б

= 0.

+ 0 • X 2 + 1 EJ • Z3 + - EJ • Z4

+ 0

2

3

3

3

4

Решение системы:

й

X 1 =-16,165

кН;X 2 = -5,476

кН;

Z3 = 46,765

1

рад;

Z 4 = - 6 ,6 8 1 ^ -

рад.

о

и

E J

E J

т

Окончательная эпюра м ментрв строится по формуле:

рис

2+ M.r3Z 3 + M.r4Z 4 .

M.r = M f + M.r1X 1 + M.r2X

Она

пока

. 10.10.

ана на

п

з7,69

24,12

е

Р

Рис. 10.10

Г Л А В А 11

РА С ЧЕТ Н ЕРАЗРЕЗНЫ Х БА Л О К

11.1. Общие сведения

Неразрезной балкой называют балку, которая перекрывает два

Т

или более пролетов, не прерываясь по своей длине шарнирами.

Степень статической неопределимости неразрезных балок может

быть определена по общим правилам (раздел 8.2). Поскольку балкаУ

представляет собой один диск, перекрывающий несколько проле­

тов, то формула (8.2) преобразуется к виду:

Н(11.1)

Л = С0 - 3 .

й

и

Балки, показанные на рис. 11.1,а,б, содержатБсоответственно две

и три лишние связи.

р

о

т

и

Рис. 11.1

Читатель уже наком с методами расчета статически неопре­

п

делимых рамзна различные виды внешних воздействий (см. гла­

вы 8, 9, 10). Ос бенности применения их к расчету неразрезных

е

в следующем параграфе.

балок рассматриваютсяо

Р

11.2. Примеры расчета неразрезной балки

Решив систему уравнений, найдем:

У

Х 1 = ----- кН • м,

X 2 = --------кН • м,

Т

X 3= --------- кН • м.

1

6

2

3

3

3

Н

Окончательная эпюра изгибающих моментов (рис. 11.2,ж) строится

по выражению:

Б

M.м—M р + M.м1X 1 + M.м2X 2+ M.м3X

3.

Аналитическое выражение для определения изгибающего мо­

мента в сечении, расположенном между опорными точками балки,

Эпюра поперечных сил п казанальностиис. 11.2,з.

можно получить по формуле (8.16).

эпюры M состоит в

Кинематическая проверка прав

проверке перемещений по

направлен

ямйосновных неизвестных и

выполняется по формуле (8.23).

о

т

п

е с номером n

(рис. 11.4) выре­

Для определения реакции в

жем двумя сечениями, расп л женными по обе стороны от опоры,

и

бесконечно малый учас ок балки и покажем в этих сечениях попе­

речные силы.

уравнен я ^

Y —0 следует, что:

о

R n

Qn+1 Qn.

В частн сти,Изв защемлении (рис. 11.5) и первой промежуточной

о

(рис. 11.6)

вертикальные

реакции

равны

соответственно

оре

12,625 кН и 45,155 кН (рис. 11.6).

Р

п

17,375

'27,78

R= 45,155 к H

Рис. 11.4

Рис. 11.5

Рис. 11.6

свободы: перемещение по вертикали и угол поворота (перемеще­

ние вдоль оси балки по принятым допущениям для линейно де­

формируемой системы не учитывается). В основной системе ме­

тода перемещений такой узел необходимо закреплять двумя Удо­

полнительными связями. Как следствие этого, размерность зада­

чи расчета балки увеличивается.

Т

Н

Б

С целью уменьшения размерности задачи целесообразно рас­

сматривать только опорные узлы. Каждое надопорное сечение бал­

й

ки имеет только одну степень свободы - угол поворота.

Для заданной балки (рис. 11.2,а) выберем основную систему ме­

и

тода перемещений, показанную на р с. 11.7,а. Основными неиз­

вестными являются углы поворота надопорных сечений балки.

р

На рис. 11.7,б—г показаны ед н чные эпюры моментов, а на

о

рис. 11.7,д —грузовая эпюра.

дующем виде:

и8

2

15 —0;

т+ - E J Z 2

о

3

2

+ -

E J Z 2

+ -

E J Z 3

—0;

(11.2)

- E J Z

з3

3

2

3

3

п

2

4

е

- E J Z 2

+ - E J Z 3 +10 —0.

Р

3

2

3

3

шив ее, найдем: