Строительная механика учебник

нений

равны

нулю.

Следовательно,

основные

неизвестныеТ

X j , X 2 , X 3

равны нулю.

Построим эпюры изгибающих и крутящих моментовНв раме,

показанной

на рис.

14.17,а. Жесткости

стержней

при изгибе и

кручении примем одинаковыми (EJy = GJKp = EJ). Основная сис­

тема метода сил представлена на р

Б

с. 14.17,б. При симметричном

нагружении неизвестные X1

и X2 , являющиеся кососимметрич­

й

ными, равны нулю. Каноническое у авнен е метода сил для оп­

ределения X3 (рис. 14.17,в) п иметвид:

Х33 X 3 + А 3F = 0 .

р

Единичные и грузовые эпюры изгибающих и крутящих момен­

тов, совмещенные на

о

рис. 14.17,г и

одной схеме, показаны на

т

и свободный член А 3F :

14.17,д. Вычисл м коэфф

циент S 33

и

х

V

r Mз3 y d x , v

1 Г M 3 кр dx =

4 a

* 33 = y J — E JT

+ y J

GJKpk

—(1a )1 + 2 — (1 a )1 =

EJy

E J

E J

E J

о

пM

3y M

Fy d x

+

M 3кр M F k k

dx =

1 f 1

qa a 1 +

е

E Jy

y j

G J KpK

E J 3 2

Р

+ 2 — \ 1 q a 2a I 0 + 2

1= 7 q a 2

E J I 2

j

E J v 2

j

6EJ

У

Т

Н

и

Б

р

й

Рис. 15.1

Для плоских ферм m

число

равно удв енному числу узлов за вычетом

т

неизвестных усилий

n равно числу

числа опорных связей, а

стержней. Используя введенные б значения, степень статической

и

можно вычислить по выражению

неопределимости с с емы к

з

к = n - m .

(15.1)

о

Так как любая точка, в которой стыкуются два и более стержней,

может быть объявлена узлом, то, следовательно, для одной и той же

У

системы, например рамы, можно принять несколько вариантов ее

дискретной модели. Это значит, что степень свободы дискретной

Т

модели, в общем случае, является переменной характеристикой.

Однако и в этом случае соотношение (15.1) позволяет правильно

Н

найти степень статической неопределимости системы, поскольку

число неизвестных усилий в каждом дополнительном сечении сов­

Б

падает с числом независимых уравнений равновесия, которые мож­

но составить для узла, располагаемого в этом сечении.

15.2. Нагрузки и перемещения

ужение

С целью упрощения вычислительных процедур рассматривается

расп

расчет системы на узловые силовые возде ствия.

Приемы сведения расчета конст укцйс распределенной на­

грузкой к расчету на

узловое

достаточно

известны.

наг

Суть преобразования св дится к следующему.

т

ложенный между двумя смеж­

Вначале каждый элемен ,

зовать табл. 9.1. ривае

ся как стержень с концевыми (опорны­

ными узлами, рассма

ми) связями, соотве с вующими виду узла (жесткий или шарнир­

з

местную

нагрузку, определим реакции

ный). Рассчитав

его на

в опорных свя ях

построим эпюры усилий в нем. Для определе­

о

ния реакций в п рных связях однопролетных балок можно исполь­

п

В дальнейшем, загрузив узлы расчетной схемы силами, равными

по

значению и

противоположными по направлению

реакциям

в о

орных связях для отдельных стержней, проведем расчет систе­

Р

мы на узловую нагрузку.

Окончательные эпюры усилий получаются суммированием соответ­

ествующих эпюр из расчета отдельных элементов и системы в целом.

3 м

У

20 / 6 к H / м

Н

^Юк H

1 10 к H

Т

р "

^ т

\ 111Г1111гттчк^

2

^ 1 1111У

^Чг~? l /12=10 к H• м

Рис. 15.2

й

i плоской систе­

Внешние силы, действующие на жесткий узел

мы, задаются вектором нагрузки в

Б

F = Fix, Fiy , mi т

где Fix, Fiy - составляющие внешнейвиде:нагрузки вдоль осей x и у ;

mt

т

- сосредо оченныйрм мент в i -м узле.

и

Правило знаков для нагрузки:овнешние силы считаются положи­

з

тельными, если х направления совпадают с направлениями соот­

ветствующих осей коорд нат; положительные моменты направля­

о

ются пр тив х да часовой стрелки.

п

Полный вект р нагрузки образуется последовательной стыков­

кой со тветствующих векторов для каждого узла системы:

е

F = F iT, F2T, F3T,...,F pT

T

Р

p

обозначается число узлов системы.

Ч р з

\z i ,

zi

T

, <Pi

шарнирного - вектором:

x

,

У

T

У

z j =

Zj

Zj

Полный вектор перемещений узлов представляется в виде:

T

-

T

-

T

T

T

z = Z1

, z2

, z3

,.

Т

Вектор обобщенных перемещений должен соответствовать векто­

ру обобщенной нагрузки. Размерности векторов F и

Z совпадают.

Скалярное произведение этих векторов определяет работуНвнешних

сил. Такие векторы называют двойственными.

Б

15.3. Усилия

деформац и

й

В общем случае в сечении сте жня возн кают изгибающий мо­

мент М , поперечная сила Q и п одольная сила N . В совокупно­

и

сти они образуют вектор усилий в сечении:

р

S = [M , Q, N ] T.

о

Компоненты этоговекторанеобходимо определить.

В частных случаях этот вектор может содержать две компонен­

ты, например:

и

з

или

S = [М, N ] T.

S = [М, Q] T

о

В рвом случае в число неизвестных не включается продольная

сила,па во втором - поперечная сила.

Не

Р

S = [N i , M Hi, M K i , Qi ] T ,

где N i

- продольная сила в стержне;

У

M H i - изгибающий момент в начале стержня;

M K i - изгибающий момент в конце стержня;

Qi

- поперечная сила в стержне.

Так как непосредственно на стержень нагрузка не действует,Тто по­

перечная сила по его длине не меняется и, как известно (8.17), вычис-

ляется по формуле

М к — н

Н^

Q = ------- ------- .

Поэтому, сохранив в

St три

первые компоненты, запишем его в

Б

S

=[N i , M Hi, М K i ] T .

й

Каждому виду усилий соответствует определенная деформация.

виде:

Продольная сила вызывает удлинение или укорочение элемента,

изгибающие моменты - п в р ты сечений, поперечные силы - вза­

имные сдвиги сечений.

р

Вектор деформац й Аог-, соответствующий вектору Si , будет

иметь вид:

т

и

, A p K i ] T ,

Аi

= [Ali , A p H i

где Ali

з

- линейная деформация элемента;

Аор H i , A p K i

-

углы поворота сечений в начале и в конце

стержня относительно их положений, в котором узлы де­

п

е

формированной конструкции соединяются прямой линией.

S

и деформаций A для всей системы, как и

Векторы усилий

векторы F

и Z , формируются последовательной стыковкой векто­

Р

ров усилий и деформаций для отдельных стержней.

Рассмотрим произвольную, например, статически неопределимую

раму (рис. 15.1,а), находящуюся в равновесии под действием задан­

У

ной нагрузки. Соответствующая ей дискретная модель в виде сово­

купности узлов и стержней показана на рис. 15.1,б.

Т

Составим уравнения равновесия для 2-го узла рамы:

X j = а —NK1 —QH2 + F2x

Н

= 0

Е У = 0,QK1 —NH2 + F2у

Б= 0,

X M 2 = 0, —M K1 +M H2 + F2p = °.

Записанные три уравнения

й

жат шесть неизвестных усилий.

Рассмотрим равновесие сте жнейиамы. Каждый из них находится

под действием концевых усилий, п казанных на том же рисунке.

р

Составляя три уравнения равн весия для первого стержня, получим:

Е x = 0,

соде

N H 1 = N K 1= N 1;

т

Е у = 0

q H 1 = QK1 = Q1;

и

Q1 = M k1 —M H 1.

X M H = з0, QK11+ M H 1—M K 1= 0,

о

l1

Аналогичн^ге соотношения можно получить и для второго стерж­

ня, топсть:

е

Р

N H2 = N K2 = N 2, QH2 = QK2 = ^

Q2 = K2l -----.

l2