Введение

Аппроксимация функций заключается в приближенной замене заданной функции f(x) некоторой функцией j(x) так, чтобы отклонение функции j(x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция j(х) при этом называется аппроксимирующей. Типичной задачей аппроксимации функций является задача интерполяции. Необходимость интерполяции функций в основном связана с двумя причинами:

1. Функция f(x) имеет сложное аналитическое описание, вызывающее определенные трудности при его использовании (например, f(x) является спец функцией: гамма-функцией, эллиптической функцией и др.).

2. Аналитическое описание функции f(x) неизвестно, т. е. f(x) задана таблично. При этом необходимо иметь аналитическое описание, приближенно представляющее f(x) (например, для вычисления значений f(x) в произвольных точках, определения интегралов и производных от f(x) и т. п.).

1 Определение интерполяции и информация о применении интерполяции

Интерполяция — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса — Торина (Riesz-Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), являющиеся основой для множества других работ.

2. Перечисление известных методов интерполяции с указанием их достоинств и недостатков

1. Интерполяция методом ближайшего соседа.

Метод интерполяции, при котором в качестве промежуточного значения выбирается ближайшее известное значение функции. Интерполяция методом ближайшего соседа является самым простым методом интерполяции.

2. Интерполяция многочленами.

На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами. Это связано, прежде всего, с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций (теорема Вейерштрасса).

Преимущества:

Для заданного набора точек и сетки параметра кривая строится однозначно.

Кривая является интерполяционной, то есть проходит через все заданные точки. Кривая имеет непрерывные производные любого порядка.

Недостатки:

С ростом числа точек порядок многочлена возрастает, а вместе с ним возрастает число операций, которое нужно выполнить для вычисления точки на кривой. С ростом числа точек у интерполяционной кривой могут возникнуть осцилляции

Линейная интерполяция - интерполяция алгебраическим двучленом P1(x) = ax + b функции f, заданной в двух точках x₀ и x₁ отрезка [a, b]. В случае если заданы значения в нескольких точках, функция заменяется кусочно-линейной функцией.

Интерполяционная формула Ньютона - формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования.

Если узлы интерполяции, равноотстоящие и упорядочены по величине, так что, то есть, то интерполяционный многочлен можно записать в форме Ньютона.

Интерполяционные полиномы в форме Ньютона удобно использовать, если точка интерполирования находится вблизи начала (прямая формула Ньютона) или конца таблицы (обратная формула Ньютона).

Сплайн-функция - функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим полиномом. Максимальная степень из использованных полиномов называется степенью сплайна. Разность между степенью сплайна и получившейся гладкостью называется дефектом сплайна. Например, непрерывная ломаная есть сплайн степени 1 и дефекта 1.

Сплайны имеют многочисленные применения, как в математической теории, так и в разнообразных вычислительных приложениях. В частности, сплайны двух переменных интенсивно используются для задания поверхностей в различных системах компьютерного моделирования.

Кубический сплайн - Некоторая функция f(x) задана на отрезке , разбитом на части . Кубическим сплайном дефекта 1 называется функция , которая:

• на каждом отрезке является многочленом степени не выше третьей;

• имеет непрерывные первую и вторую производные на всём отрезке;

• в точках выполняется равенство, т. е. сплайн интерполирует функцию f в точках.

Для однозначного задания сплайна перечисленных условий недостаточно, для построения сплайна необходимо наложить какие-то дополнительные требования. Естественным кубическим сплайном называется кубический сплайн, удовлетворяющий также граничным условиям вида.