36. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Функция называетсябесконечно большой при ,если для любого числа M>0 существует число =(М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<, выполняется неравенство. Записывают. Коротко:

Функция называетсябесконечно большой при ,если для любого числа M>0 найдется такое число N=N (М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство. Коротко:

Всякая бесконечно большая функция в окрестности точки х0 является неограниченной в этой окрестности.

Бесконечно малая функция: Функция называется бесконечно малой при ,если : для любого числа>0 найдется число>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<, выполняется неравенство.

Теорема: алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Док-во:

Теорема: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Док-во:

Следствие: так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы вытекает произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие: произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема: частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Док-во:

Теорема: если функция - бесконечно малая, то обратная ей функция – бесконечно большая и наоборот.

Док-во:

37. Односторонние пределы.

число А называется пределом функции слева в точкеx₀, если для любого число >0 существует число=()>0 такое, что привыполняется неравенство.

Предел слева записывают так:

Аналогично определяется предел функции справа:

.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

38. Сравнение бесконечно малых.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения:

1. если , тоиназываютсябесконечно малыми одного порядка.

2. если тоназываетсябесконечно малой более высокого порядка, чем .

3. если тоназываетсябесконечно малой более низкого порядка, чем .

4. если не существует, тоиназываютсянесравнимыми бесконечно малыми.

Таковы же правила сравнения б.м.ф. при и.

Эквивалентные бесконечно малые:

Sinx	x, при	ex - 1	x,
tgx	x,	ax - 1	x*lna,
arcsinx	x,	ln(1+x)	x,
arctgx	x,	loga(1+x)	x*logae
1-cosx	,	(1+x)k - 1	k*x, k>0,

39. Теоремы о пределах.

Теорема: если существует ии они равны между собой, то существует=.

Теорема: если ,, то =>

1)

2)

3)

Примечание 1: 1-е и 2-е свойства распространяются на любое конечное число слагаемых или сомножителей, однако число слагаемых и сомножителей не может быть .

Примечание 2:

Теорема: если , то функцияg(x) = f(x) – a является б.м. при .

Следствие: если => в окрестности т. х₀ g(x) + а = f(x), где g(x)- б.м. при .

Теорема: если и существуют конечные пределы, когда,=>.

Теорема (о сжатой переменной): если и существуют конечные пределы=> существует:.

Теорема (о пределе сложной функции):

Пусть: х_0, ,U=f(x), .

Сама теорема:

Если задана сложная функция,и существуют конечные пределыи, то