2. Геометрические характеристики сечений.

З а д а ч а 2.1.

Для заданного сечения (рис.2.1), состоящего из прямоугольного листа и прокатных профилей требуетcя: вычислить главные центральные моменты инерции, начертить сечение и показать все оси и размеры.

1. Лист 22 2см,

2. Уголок неравнобокий 125 80 8,

3. Двутавр №18.

Рис. 2.1. Схема сечения.

Решение.

Предварительно рассчитаем и выпишем из сортамента (Приложение 1) геометрические характеристики профилей, составляющих сечение.

Геометрические характеристики листа (фигура 1):

см²,

Геометрические характеристики уголка (фигура 2):

,

Уголок в составном сечении повернут на 90^о, поэтому моменты инерции из сортамента меняются местами. Геометрические характеристики двутавра (фигура 3):

Определим положение центра тяжести сечения, предварительно выбрав вспомогательные оси x_o и y_o. Проведем эти оси через центр тяжести листа и рассчитаем расстояние между осями x_o и y_o и центральными осями каждого из элементов сечения (рис.2.2).

Рис. 2.2. Схема составного сечения с положением главных центральных осей (размеры даны в см).

Через центр тяжести фигуры проводим центральные оси x_c и y_c.

Рассчитаем расстояния между осями x_c и y_c и центральными осями каждого из элементов сечения. Расстояния между осями x_i:

a₂ = 2,84 - 2,26=0,58 cм, a₃ = -10 - 2,26= - 12,26 см.

Расстояния между осями y_i:

Определим осевые моменты инерции составного сечения относительно центральных осей:

,

.

Определим центробежный момент инерции составного сечения, предварительно вычислив центробежный момент инерции уголка:

Перед корнем принят знак «минус», т.к. ось I_min уголка повернута по отношению к оси y₂ против часовой стрелки.

Центробежный момент инерции всего сечения:

т.к. фигуры имеют оси симметрии.

Определим положение главных центральных осей сечения:

Угол откладывает от оси x_c по ходу часовой стрелки (рис.2.2).

Определим значение главной центральных осей составного сечения:

Проверим правильность вычисления:

5134,97+3057,43=7737,54+454,86.

3.Кручение.

Задача 3.1.

Стальной вал круглого поперечного сечения нагружен скручивающими моментами. Расчётное сопротивление материала вала на сдвиг R_c=130 МПа, а модуль сдвига G=80 ГПа.

Требуется:

1. подобрать диаметр вала;

2. построить эпюру крутящих моментов и напряжений;

3. построить эпюру углов закручивания;

4. построить эпюру относительных углов закручивания.

Рис. 3.1 Схема вала.

а=1м, в=0,8м, с=1,2м,

Рис 3.2.Эпюры крутящих моментов, касательных напряжений, углов закручивания и относительных углов закручивания.

Построим эпюру крутящих моментов.

При определении крутящих моментов в сечениях вала, принимаем следующее правило знаков: момент считается положительным, если при взгляде со стороны сечения его направление совпадает с движением часовой стрелки.

Участок АВ:

Участок ВС:

Участок СD:

Участок DE:

По эпюре определяем максимальный крутящий момент:

Определим диаметр вала из условия прочности.

где ;

м.

Определим диаметры вала из условия жесткости.

где рад.

м.

Из двух значений диаметров выбираем большее, округлив до 0,09м: .

Определим касательные напряжения, действующие в сечениях.

Участок АВ. Па=83,88МПа.

Участок ВС:

Па=-62,91МПа.

Участок СD:

Па=-6,99МПа.

Участок DE:

Па=-118,82МПа.

Построим эпюру касательных напряжений (рис.3.2б).

Определим углы закручивания на участках вала. Используем следующую формулу:

;

, т.к. угол поворота в заделке отсутствует.

рад,

Построим эпюру углов закручивания (рис.3.2.в).

Определим относительные углы закручивания на участках вала. Для расчета используем формулу ;

Построим эпюру относительных углов закручивания (рис.3.2.г) Наиболее загруженным является участок DE, где

Условие прочности выполняется.

Задача 3.2.

Стальной вал круглого поперечного сечения нагружен скручивающими моментами. Расчётное сопротивление материала вала на сдвиг R_c=130 МПа, а модуль сдвига G=80 ГПа.

Требуется:

5. подобрать диаметр вала;

6. построить эпюру крутящих моментов и напряжений;

7. построить эпюру углов закручивания;

8. построить эпюру относительных углов закручивания.

а=1,2м; в=1,4м; с=0,9м;

Рис. 3.3.Схема вала. Эпюры крутящих моментов, касательных

напряжений, углов закручивания и относительных углов

закручивания.

Построим эпюру крутящих моментов. Выберем начало координат в точке А, предположив, что вал имеет защемление в этой точке.

Определим величину уравнения неизвестного момента , составив уравнение равновесия:

Участок АВ:

Участок ВС:

УчастокCD:

УчастокDE:

По эпюре ( рис 3.3а) определяем максимальный крутящий момент:

Определяем диаметр вала из условия прочности.

где ,

Определим диаметр вала из условия жесткости.

, где

Из двух значений диаметров выберем большее, округлив до 0,11м.

Определим касательные напряжения, действующие в сечениях.

Участок АВ:

Участок ВС:

Участок СD:

Участок DE:

Построим эпюру касательных напряжений (рис. 3.3б).

Определим углы закручивания на участках вала. Используем формулу:

, (приняли в условии задачи, что т. А является неподвижной).

Построим эпюру углов закручивания (рис. 3.3в).

Определим относительные углы закручивания на участках вала.

Для расчета используем формулу

Построим эпюру относительных углов закручивания (рис 3.3г).

Наиболее загруженным является участок ВС, .

Условие прочности выполняется.