Определение тенденции временного ряда

После того как из исходного временного ряда исключены сезонные колебания, определение тенденции временного ряда осуществляется традиционным способом. Выбирается вид зависимости для тенденции (линейная или нелинейная) и далее методом наименьших квадратов определяются коэффициенты регрессионного уравнения.

При этом благодаря тому, что временной ряд представляет собой упорядоченную по независимой переменной последовательность значений с постоянным шагом изменения, появляются дополнительные возможности по решению задачи выбора наиболее подходящего вида тенденции. Для этих целей может быть использовано сглаживание исследуемого ряда без сезонных колебаний скользящими средними с различными интервалами сглаживания. Чем больше интервал сглаживания, тем более гладкой становится сглаженная кривая и тем более очевидным становится наиболее подходящий закон для тенденции. Но при этом сглаженный ряд становится все более коротким (число точек, равное периоду сглаживания пропадает) и тем больше сглаженная кривая отрывается от исходного ряда.

Помимо визуального подбора могут применяться и различные аналитические методы.

Прогнозные значения переменной определяются:

для аддитивной модели ;

для мультипликативной модели .

Прогнозирование случайной составляющей

После того как построена прогнозная модель, включающая тенденцию и сезонные колебания необходимо найти и проанализировать остаткидля аддитивной модели идля мультипликативной модели. Если построение прогнозной модели выполнено без ошибок и для исходных данных не характерно влияние предшествующих значений на последующие (явление авторегресии), то остатки должны представлять собой стационарный временной ряд.Стационарный временной ряд– это ряд значения, которого являются случайной величиной, т.е. средняя и дисперсия такого ряда на длительном промежутке времени остаются неизменными. Применительно к остаткам это означает, что их график во времени представляет собой облако точек, расположенных симметрично относительно оси абсцисс, границы этого облака параллельны оси и между точками не наблюдаются какие либо закономерности в их появлении.

Близость остатков к стационарному временному ряду свидетельствует о том, что кардинальное улучшение прогнозной модели уже не возможно, но, тем не менее, несколько повысить точность прогнозирования возможно за счет прогнозирования самих остатков. Наиболее просто прогнозировать остатки можно двумя способами – с помощью скользящей средней и с помощью экспоненциально взвешенной средней.

При прогнозировании с помощью скользящей средней прогнозное значение остатка (отклонения прогнозного значения от его будущего фактического значения) осуществляется по формуле:

где: остатки напредыдущих шагах от t-n+1 до t.

Таким образом, в этом случае используются не центральные скользящие средние, а концевые скользящие средние, т.е. средние, рассчитываемые по текущей точке иnпредыдущих точек. Чем меньшее число точек использовано для расчета скользящей средней, тем сильнее прогноз реагирует на последние значения (на последние ошибки).

При прогнозировании с помощью экспоненциально взвешенной среднейпрогнозное значение остатка определяется не на основанииnпоследних точек, а по всем предшествующим точкам, но в этом случае вес этих точек убывает по экспоненциальной зависимости. Одна из формул для подсчета экспоненциально взвешенной средней имеет вид:

где: -параметр сглаживания, определяющий скорость с которой уменьшается вес остатков для предыдущих точек по мере их удаления к началу ряда.

Обычно параметр сглаживания выбирается в пределах от 0.050.3. Чем большее значение параметра сглаживания, тем сильнее прогноз реагирует на последние изменения. Наиболее часто его выбирают равным 0.2, что примерно равноценно скользящей средней по 9 точкам.

Прогнозирование с помощью скользящей средней и экспоненциально взвешенной средней дают примерно одинаковые результаты, но прогнозирование с помощью экспоненциально взвешенной средней лучше работает в ситуациях когда ряд не до конца стационарен, т.е. нам не удалось учесть в прогнозной модели все тенденции. Как правило прогнозирование с использованием не только тенденции и сезонной составляющей, но и на прогноз остатка позволяет несколько уменьшить дисперсию ошибок прогнозирования. Прогнозные уравнения при этом будут иметь вид:

- для аддитивной модели и

- для мультипликативной модели.