Контрольные вопросы

1. Дайте определение случайной величины.

2. Дайте определение непрерывной случайной величины и приведите ее примеры.

3. Дайте определение дискретной случайной величины и приведите ее примеры.

4. Что такое генеральная совокупность и выборка?

5. Опишите процесс построения гистограммы.

6. Какие дефекты исходных данных можно выявить с помощью предварительного анализа данных?

7. Какую из характеристик случайной величины и в каких случаях необходимо применять для прогнозирования по выборке?

8. Какая характеристика случайной величины чаще всего используется для оценки изменчивости случайной величины?

9. Как определить моду непрерывной случайной величины

10. Приведите схему определения вероятности появления очередного значения случайной величины не превышающего заданное значение.

11. Приведите схему определения вероятности появления очередного значения случайной величины не менее заданного значения.

12. Приведите схему определения вероятности появления очередного значения случайной величины в заданном диапазоне.

13. Приведите схему определения вероятности появления очередного значения случайной величины вне заданного диапазона.

14. Как определить вероятность появления отрицательного значения случайной величины и его ожидаемое значение?

15. Какой тип распределения является самым распространенным и почему?

16. С какой целью осуществляется преобразование нормального распределения к стандартизованному виду?

17. Как сказываются ошибки в выборе типа распределения на точности определения вероятности наступления события?

18. Какими параметрами случайной величины задается положение и форма кривой нормального распределения?

19. Опишите схему прогнозирования по выборке.

20. Как можно охарактеризовать точность прогноза?

21. Опишите, в каких случаях применяется прогнозирование по выборке, приведите примеры задач.

Тема 5. Прогнозирование с использованием регрессионной зависимости Лекция 5

Основные понятия:

стохастическая связь; регрессионное уравнение; случайная составляющая; несмещенность; эффективность; метод наименьших квадратов; коэффициенты уравнения регрессии; коэффициент корреляции; коэффициент детерминации; уровень значимости; уровень надежности; проверка статистической значимости; число степеней свободы; нулевая гипотеза; ошибка первого рода; ошибка второго рода; F-критерий; t-критерий Стьюдента; остаточная дисперсия; доверительный интервал; многомерная регрессия; линеаризация; условия Гауса-Маркова.

Общая схема прогнозирования с использованием регрессионной зависимости

На практике чаще всего известны не только значения прогнозируемой величины для объектов аналогичных объекту прогнозирования или сама эта величина в прошлом, но и другие величины, влияющие на прогнозируемую или изменяющиеся совместно с ней. В этом случае говорят о наличии связи между этими величинами и использование знаний об этой связи, позволяет значительно повысить точность по сравнению с прогнозированием по выборке.

Рассмотрим простейший случай парной зависимости, когда есть прогнозируемая величина и лишь одна величина на нее влияющая.

Будем обозначать искомую прогнозируемую величину через У и называть зависимость переменной, а влияющие на нее переменную через Х и называть независимой переменной.

Связь между зависимой и независимой переменными может быть функциональная, в этом случае каждому значению независимой переменной соответствует одно определенное значение зависимой переменной, графически такая связь выражается линией на графике. Второй вид связи – вероятностная (стохастическая) связь, в этом случае одному значению независимой переменной соответствует несколько значений зависимой переменной. Графически вероятностная связь может быть представлена как некое облако точек (рис.12). Причем частота появления различных значений переменнойYпри одном и том же значенииподчиняется какому-то закону, т.е. имеет определенный тип распределения, одинаковый во всем диапазоне значений независимой переменной.

Рис.12. Функциональная (а) вероятностная (б) связь переменных.

Для описания вероятностной связи переменных используются уравнение регрессии. В идеологии регрессионного анализа лежит представление о всех возможных значениях переменных Х и У как о случайных отклонениях от их средних значений и.Регрессионное уравнениеустанавливает связь между отклонениями зависимой и независимой переменных от своих средних значений. Следует особо отметить, что в регрессионном анализе речь идет именно о связи (определенной степени совместности изменения)Yи X, а не зависимости Y от X. Иными словами регрессионный анализ не устанавливает факт влияния X на Y, фактически это может быть и противоположное влияние - Y влияет на X, или обе переменныеYи X зависят от третьей или третьих переменных. Во всех этих случаях будет наблюдаться некоторая согласованность изменения значений X и Y, и эту согласованность можно установить с помощью уравнения регрессии.

Термин регрессия был введен в позапрошлом веке в результате изучения влияния роста родителей на рост детей. Повсеместно бытует мнение, что у высоких родителей высокие дети. Проверка на большом статистическом материале показала, что в среднем дети высоких родителей имеют рост меньший, чем рост родителей, т.е. рост детей высоких родителей регрессирует, имеет тенденцию возвращаться к среднему росту. А рост детей невысоких родителей прогрессирует – имеет тенденцию приближаться к среднему росту.

Наиболее часто на практике для описания связи между X и Y применяется линейный закон. Соответственно говорят о парной линейной регрессионной зависимости, с ее помощью взаимосвязь между зависимой и независимой переменными описывается следующим образом:

где:, - коэффициенты регрессионного уравнения;

- остаточный член.

Таким образом, случайная величина Yпредставляется состоящей из двух частей:

теоретического значения, которое можно рассчитать по известному значению Xс использованием формулы;

и остаточного члена который представляет собойслучайную составляющуюкоторую предсказать невозможно и благодаря которой связь между зависимой и независимой переменными носит вероятностный характер.

Среди причин появления случайной составляющей могут быть следующие:

- отсутствие в уравнении регрессии других независимых переменных влияющих на зависимую переменную и не включенных в уравнение вследствие их незнания или отсутствия возможности надежного измерения;

- агрегирование зависимой переменной из нескольких однородных, но все-таки отличающихся друг от друга переменных (прибыль по предприятию представляет собой сумму прибыли по отдельным продуктам производимым этим предприятием, а это схожие, но все-таки разные экономические категории);

- несоответствие избранной теоретической зависимости между зависимой и независимой переменной фактической зависимости;

- ошибки измерения как зависимой, так и независимой переменных.

Во всех этих случаях возникают ошибки, которые приводят к возникновению случайной составляющей.

Общая схема прогнозирования с использованием регрессионной зависимости выглядит следующим образом. По имеющемуся набору пар значенийинеобходимо найти параметры уравнения регрессии, а затем с помощью полученного уравнения и нового значения независимой переменной, рассчитать прогнозное значение зависимой переменной. Поскольку при этом случайную составляющую предсказать не удается, то дополнительно необходимо оценить точность полученного прогноза.