1-2008

a0 y

a1 y

a2 y f (x)

(1)

ищется в

виде суммы

y y0

~

~

-частное

решение

y , где

y

исходного

уравнения

(1),

а

y0

-общее

решение

Вид общего решения

y0

определяется корнями

характеристического уравнения.

Вид частного решения

~

-

y

где

Pn (x) - многочлен

n -ой степени. Тогда существует частное

решение вида

~

e

ax

Qn (x)x

r

,

где

y

Qn (x) A0 A1x A2x

2

... An x

n

, а

r принимает одно из трех

возможных значений 0, 1, 2:

0, если не является корнем характеристическог о уравнения;

1, если совпадает с одним из корней характеристическог о

r

уравнения;

2, если характеристическое уравнение имеет кратный корень,

совпадающий

с .

2) Пусть правая

часть уравнения

(1) может быть

f (x) e

x

[Pn

(x) cos x Qm (x) sin x],

(4)

где

n и m

степени многочленов P и Q . Тогда существует

частное решение вида

~

x

[TN (x) cos x RN (x) sin x]x

r

(5)

y e

где

N max{n, m} ,

TN , RN -полные многочлены степени

N ,

а r

принимает одно из двух значений 0 или 1:

0, если i не являются корнями характеристическог о

уравнения;

r

1, если i корни характеристическог о уравнения.

Если правая часть уравнения (1) может быть

представлена

в

виде

суммы

функций (3),

(4), т.

е.

f (x) f1(x) f2 (x) , то частное решение уравнения ищется в

виде суммы

~

~

~

где

~

-частное решение уравнения

y y1

y2 ,

y1

a0 y

a1 y

a2 y

f1(x) ,

а

~

-частное решение

уравнения

y2

a0 y

a1 y

a2 y

f2 (x) .

Правая часть уравнения (6)

является суммой функций,

поэтому частное решение

~

~

~

где

~

- частное решение

y y1

y2

y1

уравнения

y 2y 26y xe

2x

cos 3x x

2

e

2x

sin 3x

~

2x

y2 - частное решение уравнения

y

26 y xe .

2 y

В нашем случае f1(x) e

2x

(x cos 3x x

2

sin 3x)

- это функция

специального

вида

(4). Имеем

2,

3, i 2 3i

не совпадают

с корнями

k1,2

1 5i

и

поэтому

r 0 .

Pn (x) x,

Qm (x) x

2

,т.е., n

1 , m 2

.

Следовательно,

N max{1, 2} 2 , а это означает,

что

TN (x)

и R N (x)

будут

полными

многочленами

второй

степени:

T2 (x) Ax

2

Bx C;

R2

(x) Dx

2

Ex F

. По формуле (5)

~

2x

((Ax

2

Bx C) cos 3x (Dx

2

Ex F)sin 3x)x

0

.

имеем y1 e

так

как

2

не является

корнем характеристического

уравнения, т.е.

r 0 .

Таким

образом, частное решение

уравнения (1) будет иметь вид

~

2x

((Ax

2

Bx C) cos 3x (Dx

2

Ex F)sin 3x) (Sx

T )e

2x

.

y e

1

Пример 7.

Найти общее решение дифференциального

уравнения

y 10 y 25y xe

5x

Решение.

Общее

решение

уравнения имеет

вид

~

где

y0 -общее решение однородного уравнения

y y0 y ,

33

y 10y 25y 0 .

Составляем и решаем характеристическое

уравнение

k

2

10k 25

0;

k

k

2

5;

y

c e

5x

c

xe

5x

1

0

1

2

по

виду

правой

части

f (x) xe 5x.

Здесь

P (x) x,

n

следовательно

Q

(x) Ax B;

5 k

k

2

r 2.

n

1

25

~

5x

( Ax B)x

2

e

5x

( Ax

3

Bx

2

),

y e

10

~

5e

5x

( Ax

3

Bx

2

) e

5x

(3Ax

2

2Bx),

y

1

~

25e

5x

(Ax

3

Bx

2

) 10e

5x

(3Ax

2

2Bx) e

5x

(6Ax 2B).

y

~

Для определения коэффициентов А и В нужно решение

и его производные подставить в исходное уравнение. Для

y

~

~

~

соответственно на 25 ,

10 и 1

этого умножаем y,

y ,

y

y c1e

5x

c2xe

5x

1

3

5x

.

6

x e

Перед решением задач 101-120 следует изучить пункт

программы.

Система дифференциальных уравнений вида

dx

f

(t,

x

,

x

, ..., x

),

1

2

n

dt

1

1

dx2

f

(t,

x

,

x

, ..., x

),

2

2

n

1

dt

...

...,

... ... ... ... ...

dxn

f

(t,

x

,

x

, ..., x

),

n

2

n

1

dt

где x1 , x2 ,

…,

xn

-

неизвестные функции независимой

переменной

t , называется нормальной системой.

Если

правые

части

нормальной

системы

дифференциальных

уравнений

являются

линейными

функциями

относительно

x1 ,

x2

,

…, xn ,

то система

решение для

x

запишется в виде

x c et

2 c

2

e t 2 .

1

Общее решение для y

находим из первого уравнения:

y

dx

x

c1(

2 1)e

t

2

c2

(

2 1)e

t

2

.

dt

Пример 9.

Найти общее системы

дифференциальных

системы:

2c e2t

1

dx

1

e t

y

(c

2

cos t

3 c sin t

3)

2

dt

2

1

3

3) ,

e t

3(c

3

cos t

3 c

2

sin t

д2 z

1

x / y

д2 z

x

2

x / y

2x

e

;

e

x / y

e

;

дx

2

y

2

дy

2

y

2

y

3

38

д

2

z

x

1

1

e

x / y

e

x / y

.

дxдy

y

2

y

y

2

Перед решением задач 121-140 необходимо изучить

пункт 8 программы.

Пример 11. Найти наибольшее и наименьшее значения

функции в замкнутой области

z x

2

y

2

xy x y;

x 0;

y 0;

x y 3.

Решение.

Указанная

область

есть

треугольник АВС

Найдем стационарные точки из условия

z'x 0,

z'y 0.