Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1-2008

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

839.85 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

182.	z
183.	z
184.	z
185.	z
186.	z
187.	z
188.	z
189.	z
190.	z
191.	z
192.	z
193.	z
194.	z
195.	z
196.	z

197.z

198.z

199.	z
200.	z

0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0;

0; 0;

z x

;

2x y 0;

x y 9.

z y

;

4 x

;

y x 2.

z x

;

z y;

x 0;

x 4;

25.

z 6 x;

y x;

y 2 x.

z x

;

y 7 x;

y 0;

x 0;

x 4.

z 5x;

z 4x y;

y x

z x y 10;

z x

;

y x

;

y 1.

z 2x;

4 x.

z 6 x y;

z y

;

3x;

y x 8.

z 3x;

2 x.

z 4;

y x;

x 0;

y 0.

z 4 x2;

x2 y2 4.

z x2 y2 2;

y 3 x;

x 0;

y 0.

z x

;

y x;

y 0;

x 3.

z 2x

;

y x 3;

y 5 x.

Задача № 10

201.Вычислить

	(2a y)dx xdy	вдоль
L

криволинейный интеграл дуги L первой арки циклоиды

x a(t sin t),

y a(1 cos t),

0 t 2 .

202. Вычислить криволинейный

вдоль дуги L астроиды	x 2cos	3	t,	y

интеграл xdx

			L
2sin	3	t,	0 t

ydy

/ 2 .

203. Вычислить криволинейный интеграл

	ydx	x	dy
		y
L

вдоль

B( 1;e)

дуги L кривой

y e	x

от точки

A(0;1)

до точки

204. Вычислить криволинейный интеграл

	1	dx	x		dy
	y		y	2
L

вдоль границы треугольника ABC, обходя ее против хода часовой стрелки, где A(0;1) , B(1;1) , C(1;2) .

205. Вычислить криволинейный интеграл вдоль верхней

	y	2	dx x	2	dy
	y		dx x		dy
L

половины L эллипса

x a cos t,

y b sin t

обходя ее против часовой стрелки.
206.	Вычислить	криволинейный	интеграл

	(x	2	2xy)dx ( y	2	2xy)dy
	(x		2xy)dx ( y		2xy)dy
L

вдоль ломаной линии L=ABC, где

A(2;4) , B(2;6) , C(8;6) .
207.	Вычислить	криволинейный	интеграл

(x 2 y)dx (x y)dy		вдоль верхней половины окружности
L
x 2 cos t,	y 2sin t,	обходя ее против хода часовой

стрелки.

208. Вычислить криволинейный интеграл

	y	dx xdy
	x
L

вдоль дуги L кривой

y ln x

209.Вычислить

(x2 2xy)dx (2xy y2 )dy

от точки A(1;0) до точки B(e;1). криволинейный интеграл

вдоль дуги L параболы y x2 от

точки

A(0;0)

до точки

B(2;4)

210.

Вычислить

криволинейный

интеграл

	(x	2	y) dx ( y	2	x)dy
	(x		y) dx ( y		x)dy
L

от точки

A(1;2)

до точки

B(4;3)

вдоль

y x

ломаной линии, состоящей из отрезков прямых

211.

Вычислить

криволинейный

интеграл

	(2xy y)dx (x	2	x)dy

L

вдоль верхней половины окружности

3cos t, 212. (x y)dx

y (

3sin t , обходя ее против хода часовой стрелки.
Вычислить		криволинейный		интеграл
x y) dy	вдоль	дуги	L	эллипса

x cos t,

3sin t

	t
0	t

 

213.

Вычислить

криволинейный

интеграл

2 y) dx (2x y

)dy

вдоль

дуги

параболы

точки A( 4;0)

до точки

B(0;2) .

214.

Вычислить

криволинейный

интеграл

(x	2

y	2	)dx xydy

, если L-отрезок прямой от точки

A(1;1)

до

точки B(3;4) .

215.Вычислить

ydx ( y x2 )dy , если

криволинейный L-дуга параболы

интеграл

2x x	2	,

расположенная над осью OX и пробегаемая по ходу часовой

стрелки
216.	Вычислить	криволинейный	интеграл

y)	2	dx ( y

x)	2	dy

, если L -ломаная линия OAB, где

O(0;0) , A(2;0) , C(4;2) .
217.	Вычислить	криволинейный	интеграл

(x2 y2 )dx ( y2 x2 )dy от точки

A(2;0)

до точки

B(0;0)

вдоль

ломаной

линии, состоящей

из

отрезков

прямых

y x

(0 x 1),

y 2 x,

1 x 2 .

218.

Вычислить

криволинейный

интеграл

если

L-первая четверть окружности

x 4 cos t,

y 4sin t ,

пробегаемая против хода часовой стрелки.

219.

Вычислить

криволинейный

интеграл

xydx ( y

x)dy ,

если

L-ломаная

линия

ABCD,

соединяющая точка

A(1;0)

B(2;0)

C(2;2)

D(4;4)

	220.	Вычислить			криволинейный
	(xy x)dx	x2	dy	вдоль дуги L кривой y 2		x
	(xy x)dx	2	dy	вдоль дуги L кривой y 2		x
L		2
L

A(0;0) до точки B(1;2) .

интеграл

от точки

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №5

Для решения задач 1-40 необходимо изучить пункты 1,2 программы.

Пример 1. Решить уравнение xy

Решение. Разделим обе части Получим

y x sin	y	.
	x

уравнения на x 0 .

sin x .

Полученное уравнение имеет вид

f (t) , где

) t sin t . Правая часть уравнения является функцией

одной переменной, следовательно,	решаемое
однородное. Сделаем замену y xt ,	тогда
		y (x)

и уравнение принимает вид t xt t sin t , где

уравнение -

t(x) xt (x) t t(x) -новая

неизвестная функция. Осталось решить уравнение

или	dt	sin t	.

	dx	x

xt' sin t

Правая часть этого уравнения

произведение двух функций	f1	(x)	1
			x

представляет собой

f2 (t) sin t.

зависит только от

x , f2 -только от t , это уравнение с

разделяющимися переменными. Для его решения разделим

переменные.		Умножая уравнение на			dx и деля на sin t 0 ,
получим	dt		dx	. Интегрируя последнее равенство, найдем
	sin t		x

ln	tg	t	ln	x

		2

обозначить не

, а

(произвольную

ln c ). Тогда	ln	tg	t
			2

постоянную
ln	cx	, т.е. tg	t

			2

можно

t 2

arctg ( cx)

;

t 2arctg(cx) .

Возвращаясь к исходной неизвестной функции, имеем

y 2xarctg (cx) .
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Разделим уравнение
уравнение вида		p(x) y q(x)
	y

y cos2

на	cos
,	где

2	x

y tgx.

Получим

q(x)	1		,
		2
	cos		x

q(x)	tgx		,
		2
	cos		x

т.е. линейное уравнение первого порядка.

Будем его решать

в виде

y(x)

методом Бернулли, т.е.

u(x)v(x) ,

где

искать решение

y(x)

v(x)

подлежат

определению. Поскольку

u v

то уравнение

принимает вид

u v uv

sin x

или

sin x

u v u v

cos

В качестве			v(x) возьмем любую функцию, обращающую
в ноль сомножитель при				u , т. е. частное решение уравнения
v	v	0.	Это	уравнение с	разделяющимися

	cos 2 x

переменными, поэтому, умножая его на dx					и деля на v 0 ,
получим
				26

dv	dx		;
v		2
	cos		x

dv	dx		,
v		2
	cos		x

т. е.	ln v tgx . Следовательно,	v e	tgx	(произвольная

постоянная не добавляется, так как берется частное решение). Поставим найденное v в исходное уравнения, тогда

второе слагаемое в правой части обратится в ноль, и для u(x) получим уравнение

u e	tgx	sin x
			3
		cos		x

;

u	tgxe		tgx

		2
	cos			x

Отсюда, используя формулу интегрирования по частям, найдем

tgxe

tgx

tgx z

dz e

(z 1)

cos

Возвращаясь к исходной неизвестной функции

c y(

e	tgx

x) ,

(tgx 1) c

находим

решение:

y e	tgx	(tgx 1)	c e	tgx	tgx 1	ce	tgx	.

Пример 3. Решить уравнение

		2xy			y

y	1 x2		4
y	1 x2		4	1 x2

Решение. Уравнение имеет вид

arctgx.

y p(x) y q(x) y	n	,

где

p(x)	2		;
p(x)	1 x	2	;
		2

q(x)	4a r c t g x		n 1 2 , т.е. это уравнение
		;


	1 x2

Бернулли. Решение уравнения будем искать в виде

y(x) u(x)v(x) .

Поскольку

то

уравнение

u v uv ,

примет вид

u v uv 2x(1 x

)

4arctgx

u v(1 x

)

1/ 2

2xv

1/ 2

u v u v

4arctgx

v (1 x

)

1 x2

Возьмем в качестве

v(x)

любую функцию, обращающую

в ноль второе слагаемое левой части,				т.е.	частное решение
уравнения	v	2xv	. Это уравнение	с	разделяющимися

		1 x2

переменными. найденное v(x

)

Его решение имеет вид v 1 x в исходное уравнение, получим

2	.

Подставляя

u'(x	2	1)	4arctgx	u,

du	4arctgx		u.
dx	1 x	2

Опять получили уравнение с разделяющимися переменными, решение которого

2	u 2arctg	2	x 2c,

u (arctg 2x c)2.

Возвращаясь к исходной неизвестной функции находим решение

y (x	2	1)(arctg	2	x c)	2	.

y(x)

Для решения задач 41-60 необходимо изучить пункт 3 программы.

Некоторые типы уравнений второго порядка приводятся к уравнениям первого порядка. К ним относятся:

1)	Уравнения вида	y
				f (x, y ) , которые не

содержат явным образом через p(x) т.е.

. Обозначим производную

dydx p(x). Тогда

d	2	y	dp
				.
		2	dx
dx

Подставляя эти выражения производных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка.

2)	Уравнения вида	y			которые не
				f ( y, y ) ,

содержат явным образом x .

Положим	y	p( y)	и,	так	как y y(x)

определения	производной			y	применим

дифференцирования сложной функции

то для правило

d	2	y	dp	dp	dy		dp
						p		.
		2	dx	dy	dx		dy
dx

Подставляя выражения производных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции p( y)

	p	dp	f ( y, p) .
	p	dy	f ( y, p) .
		dy
Пример 4. Решить уравнение x				3	y


Решение. Вводим новую функцию					p
p	. Подставив ее в уравнение, имеем
p	. Подставив ее в уравнение, имеем

x	2

y

1 p

p(x)

, тогда

x	3	p	x	2	p 1 .

Это линейное уравнение первого порядка относительно

иего решение разыскиваем в виде произведения p uv

x3 (u v uv ) x2uv 1.

Учитывая требования

u(x	3	v x	2	v)

v(x)

находим функцию	v(x) :	dv
		v

в уравнение для определения		u

	dx		1
		,	v		, подставляем
	x	,	v	x	, подставляем
(x)

Отсюда

Таким образом, p

x		3		u

dx			,
x	2

1 x2

1	1.
x	1.
x
	u	1
	u	x
		x

, и можно

c1.

найти функцию y

y c	dx	dx

1	x	x	2

y c	ln x	1	c		.
				2
1		x

Пример 5. Найти общий		интеграл уравнения	y a2 y .
Решение.	Уравнение не	содержит явным образом x .
Следовательно,	допускается понижение порядка.		Обозначим

y p( y)
d	2	y

dx		2

Получим

dp			dp	a	2
p .	Тогда	p				y .
			dy
dy

уравнение с разделяющимися переменными

p			dp	ydy ,	интегрируя которое, находим
	2		dp	ydy ,	интегрируя которое, находим
a	2
a
		p				1	dy
				y 2 c	;	1	dy	y2 c ;
				y 2 c	;			y2 c ;
		a		1		a dx		1
		a				a dx

Откуда ln y y2 c1 ax c2.

p	2

	2
a

	dy
y	2

y	2



c1 илиadx.

Перед решением задач 61-100 следует изучить пункты 4, 5 программы.

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.03.2016682.05 Кб300_Homework.pdf
#
31.05.20152.8 Mб481 Глава.doc
#
31.05.20151.44 Mб681 курс ИСиТ методичка (2 семестр) .pdf
#
31.05.2015301.57 Кб321 курс логика заочники.doc
#
31.05.2015388.61 Кб381 МЕТОДА МиМАПР.doc
#
31.05.2015839.85 Кб71-2008.pdf
#
26.03.20161.53 Mб101-2009 ДГЦУиМП.pdf
#
31.05.201588.06 Кб311. Охрана труда.doc
#
31.05.2015329.22 Кб461. Постоянный ток.doc
#
31.05.201584.99 Кб71.doc
#
26.03.20162.1 Mб111.УМКД. Гидр.ТМ.ДО.doc