Теория графов

Шаг 3. Вдоль построенной цепи увеличить значение потока на величину . Перейти на шаг 2.

На основании теоремы Форда-Фалкерсона доказательством того, что построенный поток максимальный, будет существование разреза, величина которого равна значению построенного потока.

При моделировании реальных задач могут использоваться сети с неориентированными ребрами. Использование при расчетах неориентированных сетей предоставляет дополнительные возможности при выборе оптимального решения.

А именно, максимальное значение потока для сети с фиксированной ориентацией может увеличиться при изменении направлений некоторых дуг сети.

По неориентированному ребру поток может идти в любую сторону. Следовательно, для того чтобы построить максимальный поток для неориентированной сети, нужно каждое ребро заменить двумя противоположно направленными дугами, имеющими ту же пропускную способность, что и исходное ребро.

Для полученной ориентированной сети максимальный поток определяется по алгоритму, указанному выше.

В общем случае для неориентированной сети максимальный поток не меньше, чем для сети с той же структурой, но с ориентированными дугами.

70

13. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ.

13.1. Элементы сетевого графика.

Сетевое планирование и управление (СПУ) – это совокупность методов, использующих сетевую модель для решения задач упорядочения и координации комплекса взаимосвязанных работ. Сетевая модель чаще всего представляется сетевым графиком – ориентированным ацикличным графом, изображенным на плоскости.

Всетевом графике дуги соответствуют работам комплекса,

авершины – событиям.

Работа в СПУ – это протяженный во времени процесс, требующий затрат ресурсов для его осуществления.

Ожидание – протяженный во времени процесс, не требующий затрат труда. Например, естественная сушка материалов.

Фиктивная работа – логическая связь между событиями, не требующая затрат труда, ресурсов и времени.

Ожидания и фиктивные работы на сетевых графиках обычно изображаются пунктирными линиями.

События – это момент завершения какого-либо процесса, отражающего отдельные этапы выполнения комплекса работ. События на сетевом графике (графе) изображаются кружками (вершинами графа).

Различают следующие разновидности событий:

1)Исходное событие – результат, в отношении которого условно предполагается, что он не имеет предшествующих работ.

2)Завершающее событие – результат, являющийся конечной целью всего комплекса работ.

3)Начальное событие – событие, непосредственно предшествующее данной конкретной работе.

4)Конечное событие – событие, непосредственно следу-

ющее за данной работой.

Путь сетевого графика – любая последовательность работ, связывающая таким образом два события, что конечное собы-

71

тие каждой работы совпадает с начальным событием следующей работы. Каждый путь характеризуется своей продолжительностью, которая равна сумме продолжительностей составляющих его работ.

Пути, связывающие исходные и завершающие события называются полными, а все другие пути – неполными.

Полный путь, имеющий наибольшую продолжительность, называется критическим путем.

Работы и события, лежащие на критическим пути, называются соответственно критическими работами и критическими событиями. Полная продолжительность выполнения всего комплекса работ, отображенного сетевым графиком, равна продолжительности критического пути.

13.2. Временные параметры сетевого графика.

События сетевого графика нумеруются таким образом, чтобы для всех (i,j) работ i<j. Для этого используются следующие правила нумерации событий:

a.Исходному событию присваивается номер 1.

b.Пометить все работы, выходящие из пронумерованных событий.

c.Пронумеровать события, в которые входят только помеченные работы.

d.Пункты 2 и 3 повторять до тех пор, пока не будут пронумерованы все события.

Вводятся обозначения:

tp(i) – ранний срок наступления i-го события tn(i) – поздний срок наступления события i

t(i,j) – продолжительность выполнения работы может быть

ния события i определяется по формуле tn(n)=tp(n).

Ранние сроки наступления событий определяются начиная с исходного события. При этом понимается, что tp(0)=0. Поздние сроки наступления событий определяются, начиная с

72

i=n, где n – номер завершающего события. При этом принима-

ется tn(n)=tp(n).

После того как найдены ранние и поздние сроки наступления всех событий сетевого графика, можно определить критические работы, образующие один или несколько критических путей. Работа является критической, если её временные параметры удовлетворяют условиям tp(i)=tn(i), tp(j)=tn(j)

tp(j)- tp(i)= tn(j)-tn(i)= t(i,i)

Работы сетевого графика характеризуются следующими временными параметрами:

1)Ранний срок начала работы tpn(i,j)=tp(i)

2)Поздний срок окончания работы tno(i,j)=tn(j)

3)Поздний срок начала работы tnh(i,j)=tn(j)-t(i,j)

4)Ранний срок окончания работы tpo(i,j)=tp(i)+t(i,j) Резервом времени события называется величина

R(i)=tn(i)-tp(i)

Полный резерв времени – это максимально возможный

запас времени для выполнения данной работы, сверх продолжительности самой работы при условии, что в результате такой задержки конечное событие для данной работы наступит не позднее, чем в свой поздний срок: Rn(i,j)=tp(j)- tp(i)- t(i,j)

13.3. Распределение ограниченных ресурсов.

Определение временных параметров событий и работ, а также нахождение критического пути сетевого графика являются частью планирования. Следующий этап – это проверка физической реализуемостью проекта. Гарантией физической реализуемости является наличие необходимых ресурсов. Ресурсы, как правило, ограничены. Это приводит к тому, что на последовательность выполнения работ накладываются дополнительные ограничения. Отправной точкой для этого является определение общей потребности в ресурсах для каждого единичного интервала времени. Для решения этой задачи используют линейный график выполнения работ, с указанием по-

73

требности каждой работы в необходимых ресурсах. Процедура распределения ресурсов заключается в планировании начала выполнения работ в соответствии с условиями предшествования и наличием свободных ресурсов. Для реализации этой процедуры существует ряд методов.

Последовательный метод. Сущность метода заключается в том, что ресурсы, выделенные для выполнения данной работы, закрепляются за этой работой до её окончания. Ограниченность ресурсов приводит к тому, что не все работы, начало которых возможно, могут быть начаты. Поэтому необходимы критерии, позволяющие отдать предпочтение той или иной работе. Эти правила предпочтения таковы:

Направить ресурсы на выполнение работы 1)имеющей наименьший полный резерв времени

2)требующей наибольшего числа ресурсо-дней

3)использующей наибольшее количество ресурсов

4)с меньшим номером.

Так как ресурсы закрепляются за работой на весь срок ее выполнения, то изменение количества свободных ресурсов будет происходить в дискретные моменты времени, соответствующие окончанию той или иной работы. Для фиксации таких моментов времени вводится понятие текущего времени. В начальный момент значение текущего времени принимается равным нулю. Затем текущее время становится равным времени окончания первой работы, второй и т.д.

С учетом этого последовательность распределения ресурсов такова. Формируется список работ, которые могут быть начаты по условиям предшествования. В соответствии с правилами предпочтения для этих работ определяются приоритеты, указывающие в какой последовательности распределяются свободные ресурсы.

Работы, для которых были выделены ресурсы, фиксируются как выполняемые. Среди них находится та, которая будет закончена раньше. Время окончания этой работы определяет новое значение текущего времени, а свободные ресурсы пополняются за счет высвободившихся ресурсов. При каждом

74

изменении текущего времени производится корректировка временных параметров работ. Затем множество работ, которые могут быть начаты, пополняются за счет работ, ранние сроки которых равны текущему времени. Из множества выполняемых работ исключается выполненная. Описанная процедура циклически повторяется до тех пор, пока все работы не будут выполнены. Время окончания последней работы определяет время выполнения всего комплекса работ.

Параллельный метод предполагает ежедневное распределение ресурсов. Правила предпочтения для работ (при условии завершения всех предшествующих) состоят в направлении ресурсов на выполнение работы:

1)имеющей наименьший резерв времени

2)уже начатой

3)требующей наибольшего числа ресурсов-дней

4)требующей наибольшего числа единиц ресурсов на

день.

В начале и конце рабочего дня все ресурсы считаются свободными. В первый рабочий день приоритет определяется резервом времени (чем меньше резерв, тем выше приоритет). В начале каждого дня, когда происходит распределение ресурсов, некоторые работы уже закончены, другие закончены частично, остальные еще не начаты. Выше приведенные правила предпочтения используются для распределения ресурсов между работами, находящимися в стадии выполнения, а также теми, которые в принципе могут быть начаты.

Правила построения сетевых графиков.

Прежде чем строить сетевой график, составляется список всех работ, необходимых для выполнения и выясняется их технологическая последовательность. При построении сетевых графиков придерживаются следующих основных правил.

1.Каждую дугу по возможности проводят горизонтально так, чтобы ее конец находился правее начала.

2.Для удобства сетевой график строят без лишних пересечений дуг.

75

3.Следят за тем, чтобы во все вершины, кроме той которая соответствует исходному событию входила по крайней мере одна стрелка, так как все работы, кроме исходной, имеют предшествующие работы.

4.Следят за тем, чтобы из всех вершин сети, кроме завершающей, выходили дуги, так как все работы, кроме завершающей имеют последующие работы.

5.Следят за тем, чтобы в сетевом графике не было циклов.

6.Если одна работа служит началом двух или более видов работ, после завершения которых начинается выполнение следующей работы, то вводятся штриховые стрелки, обозначающие фиктивные работы с

нулевой продолжительностью и дополнительная работа со своим номером.

Например: Фрагменты сетевого графика.

7.Если какие-то работы могут начаться до полного завершения предыдущей работы, то её следует разбить на части и считать каждую из них самостоя-

тельно.

Например. Пусть три работы a, b, с связаны технологической последовательностью: b начинается после завершения a, с – после завершения b. Пусть a – рытье котлована, b – монтаж фундамента, с – кладка стен. Если можно монтаж фундамента начинать при подготовке части котлована, то выделяют два или более участков, на которых рабочие определенных

76

специальностей последовательно выполняют соответствующие работы.

Такой сетевой график имеет вид:

a2

где a1, b1, c1 и a2, b2, c2 – типы работ на их первом и втором участках соответственно.

Замечание. В правильно составленном сетевом графике отсутствуют контуры.

77

14. АНАЛИЗ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ (НА ПРИМЕРЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ).

14.1Законы Кирхгофа.

Вданной теме рассматривается поведение технических систем. Исходной информацией для анализа любой системы является:

1) поведение ее составных частей и элементов

2) способы связи между ними Метод, который здесь изложен, используется для анализа

электрических цепей. Однако его можно применить к любым другим системам.

Имеется набор из m двухполюсных элементов E1,…,Em. Двухполюсники соединены в n узлах P1,…,Pn. Каждый элемент системы Ei характеризуется уравнением, связывающим ток xi и напряжение yj.

Пассивные элементы, не являющимися источниками энергии, характеризуются уравнениями :

yi=kxi – сопротивление

Активные элементы (источники энергии) характеризуются уравнениями:

xi=f(t) – источник тока

yi=g(t) – источник напряжения

Впростейшем случае f и g константы. Каждому элементу Ei соответствует дуга ai, а каждому узлу Pj – вершина Vj. Полученный ориентированный граф называется топологическим (структурным) графом реальной технической системы.

Вкаждой вершине поведение токов подчиняется правилу вершин (1-ый закон Кирхгофа для тока).

78

Алгебраическая сумма токов, соответствующих дугам, инцидентным какой-либо вершине, равны нулю.

В случае не электрических систем в качестве одной из базисных переменных тока следует выбирать такую переменную, для которой обеспечивается выполнение условий вершинного постулата.

Циклическое правило (2-ой закон Кирхгофа для напряжений): алгебраическая сумма напряжений, соответствующих дугам любого цикла равна нулю.

Предполагается, что циклу задается некоторая ориентация и каждое напряжение добавляется или вычитается, в зависимости от того, совпадает или не совпадает напряжение соответствующей дуги с выбранной ориентацией цикла.

Циклическое правило может быть переформулировано следующим образом. Если V1 – фиксированная вершина, а Vi – любая другая вершина, отличная от V1, то алгебраическая сумма напряжений по любой цепи, ориентированной от V1 к Vi не зависит от выбранной цепи. Так как граф связен, то существует по крайней мере одна такая цепь. В результате для каждой вершины Vj можно определить число Sj=S1-K, где K – алгебраическая сумма напряжений по любой цепи, направленной от V1 к Vj , а значение S1 – произвольно. В качестве V1 можно выбрать любую вершину.

Таким образом, величины напряжений будут соответствовать разностям потенциалов.

14.2. Основные уравнения.

Процесс получения уравнений, характеризующих состояние системы в целом, на основе уравнений ее элементов и заданной структуры проводиться в два этапа.

Сначала с помощью вершинного и циклического правил уменьшается количество переменных, соответствующих токам и напряжениям. В результате выделяется множество переменных, через которые можно выразить все переменные системы.

79