Метод анализа иерархий

К основным процедурам данного метода относятся следующие:

1 — генерация множества альтернативных вариантов;

2 — формирование множества критериев для оценки альтернативных вариантов и представление его в виде холлархии (иерархия, в которой разрешены связи "многие ко многим");

3 — выявление предпочтений экспертов на множестве альтернатив по различным критериям;

4 — установление относительной важности влияния критериев на цель выбора и другие критерии;

5 — получение ранжированных наборов альтернатив по всем критериям и целям.

Все перечисленные процедуры связаны с обработкой информации, поступающей от экспертов. Так, сначала экспертами генерируется множество допустимых альтернатив, среди которых необходимо провести выбор лучшей альтернативы или упорядочивание всех элементов. Обычно на этом этапе должно проводиться разумное усечение множества всех возможных альтернатив или его кластеризация в связи с ограничением метода на число одновременно сравниваемых объектов.

Процесс генерации иерархии целей, критериев, акторов (действующих лиц), видов деятельности и т. д. занимает достаточно продолжительное время и базируется на всей совокупности знаний специалистов заданной предметной области, привлекаемых для решения конкретной задачи. Вершиной иерархии обычно является глобальная цель (фокус), на следующем уровне присутствуют цели, ниже — подцели, затем критерии, подкритерии и на самом нижнем уровне — альтернативы. Иерархии могут содержать уровни главных сил и/или акторов, обычно следующих за глобальной целью, что позволяет связать цели с конкретными группами лиц и тем самым провести учет и взвешивание интересов различных групп людей, которым предстоит осуществлять принимаемое решение. В иерархиях, строящихся для принятия решений в области техники, часто присутствуют уровни, соответствующие подсистемам некоторого сложного технического объекта. Иерархическая структура критериев и целей является моделью знаний конкретной предметной области, которая изменяется и уточняется с течением времени. На рис. 1, 2 приведены примеры иерархий критериев для выбора рационального варианта развития транспортной системы между Москвой и Санкт-Петербургом. В качестве альтернативных вариантов рассматриваются следующие:

А1 — использование и развитие существующей системы авиационного и железнодорожного транспорта без значительных изменений;

А2 — перевод всей массы перевозок на сверхскоростной железнодорожный транспорт;

A3 — использование только железнодорожного транспорта — сверхскоростного и обычного (с частичным сокращением объема перевозок);

А4 — использование всех трех видов транспорта, при этом сокращается доля авиатранспорта и сохраняется мощность обычного железнодорожного транспорта.

ФОКУС
Факторы
Экономические			Социальные		Технологические		Политические
Критерии
Привлечение инвестиций					Развитие науки		Развитие инфраструктуры
	- Полученне доходов	- Новые рабочие места		- Новые технологии		- Развитие торговли
	- От эксплуатации транспорта	- Увеличение безопасности		- Новые производства		- Развитие торговли
	- От торговли н других видов обслуживания	- Повышение надежности
		- Улучшение условий жизни
		- Развитие связей
	Альтернативы
	А1	А2		А3		А4

Рис. 1. Иерархия выгод для государственных властей

Глобальная цель выбора может иметь различные формулировки. Учитывая то, что любое решение имеет как положительные стороны, так и отрицательные, целесообразно построить две иерархии, соответствующие различным целям, а именно: одну — для выбора варианта с максимальной эффективностью (рис. 1), другую — для выбора варианта с минимальной стоимостью (рис. 2).

Применение традиционного подхода "эффективность—стоимость" в МАИ позволяет существенно расширить область решаемых задач, так как последний позволяет получить количественные оценки любых выгод и издержек, измеряемых не только в денежных единицах [8].

Отсутствие предпочтительности Слабая предпочтительность Умеренная предпочтительность Сильная предпочтительность Абсолютная предпочтительность Промежуточные градации

1 3 5 7 9 2, 4, 6, 8

Решение о развитии транспортной системы региона затрагивает интересы разных групп лиц (факторов): 1 — государственные власти; 2 — предприниматели; 3 — иностранные инвесторы; 4 — научно-исследовательские и проектно-конструкторские подразделения; 5 — население. При этом разные факторы имеют, как правило, различные цели и критерии при оценке альтернативных вариантов. Возможны различные постановки ' ЗПР, а именно: получение решения с учетом мнений всех факторов или получение решения, лучшего для конкретного фактора. На рис. 1, 2 приведены иерархии выгод и издержек для фактора "государственные власти". Такие иерархии можно построить для каждого фактора и при необходимости объединить в одну.

Основной способ измерения предпочтений экспертов, используемый в МАИ, — парные сравнения. Эксперт попарно должен сравнить все альтернативы по каждому критерию и давать оценку предпочтительности по девятибалльной шкале (табл. 1). Выбор этой шкалы обусловлен следующими соображениями:

• чем выше число градаций шкалы, тем выше точность экспертной оценки;

• поскольку провести одновременное сравнение более чем девяти объектов крайне затруднительно, то для их различения достаточно девяти градаций.

Результаты экспертной оценки вариантов записываются в матрицы парных сравнении (МПС). Например, матрицы парных сравнений упомянутых выше альтернатив развития транспортной системы А1, А2, A3, А4 по критериям "Привлечение инвестиций" в иерархии выгод (Кв1) и "Отток средств из бюджета" в иерархии издержек (Ки12) имеют вид:

Кв1	А1	А2	A3	А4
А1	1	1/7	1/6	1/5
А2	7	1	1	2
A3	6	1	1	2
А4	5	1/2	1/2	1

 

CR= 0.0017

w1 = {0.052, 0.377, 0.364, 0.207}

Ки 12	А1	А2	А3	А4
А1	1	1/9	1/7	1/5
А2	9	1	1	2
А3	7	1	1	2
А4	5	1/2	1/2	1

 

CR = 0,0038

w12 = {0,045, 0,389, 0,366, 020 }

 

Матрицы парных сравнений являются обратно- симметричными, т.е. содержат избыточную информацию, поэтому достаточно заполнить верхний либо нижний треугольник матрицы. Главный собственный вектор матрицы парных сравнений интерпретируется как вектор приоритетов сравниваемых альтернатив ( w1? w12 - векторы приоритетов приведенных матриц ). Главный собственный вектор w матрицы А можно найти из уравнения :

A_w =  _max w ,

где  _max - максимальное собственное значение матрицы А. Матрицы подобного вида являются неприводимыми, поэтому для вычисления w обычно применяется итерационный метод.

При заполнении МПС возникает проблема согласованности суждений. Она связана с тем, что эксперт, сравнивая альтернативы попарно, не обязан думать о взаимоотношениях этих альтернатив со всеми остальными. При этом могут возникнуть нарушения транзитивности суждений, которые делают бессмысленной дальнейшую обработку матриц. Нарушение транзитивности представляет собой пример достаточно сильной несогласованности, однако матрица может быть несогласованной, но при этом не произойдет нарушения порядка. Вероятность возможных нарушений согласованности повышается с увеличением размерности матрицы. Существуют специальные методы оценки согласованности МПС. Например, один из методов (6) основан на вычислении некоторого индекса несогласованности (CR), который получается путем сравнения степени согласованности матрицы, заполненной экспертом, и степени согласованности матрицы такой же размерности, заполненной случайным образом. Численная оценка степени согласованности базируется на том факте, что для идеально согласованной положительной обратно симметричной матрицы максимальное собственное число равно порядку МПС. В данном методе обосновано, что индекс несогласованности CR не должен превышать значения 0.1, т.е. приведенные выше матрицы являются согласованными.

В иерархической структуре присутствуют два типа отношений между критериями

• отношения между критериями, находящимися на соседних уровнях иерархии, (“целое - часть“, “абстрактное - конкретное“, “причина - следствие“ и т. п.);

• отношения между критериями одного уровня иерархии, которые устанавливают относительную важность критериев по степени влияния на цель или критерий верхнего уровня.

Отношения первого типа учитываются в процессе построения иерархии и последующей процедуре линейной свертки. Для экспертной оценки отношений второго типа применяется описанный выше метод парных сравнений, в результате чего получаются векторы приоритетов подкритериев относительно критерия, находящегося на верхнем уровне иерархии. Ниже приведены МПС для оценки важности факторов относительно фокуса (Ф_в) в иерархии выгод для государственных властей (см. рис. 1) и МПС для оценки критериев, влияющих на группу социальных факторов (Си) в иерархии издержек. Во вторй матрице : К7 - стоимость перевозок; К8 - число остановок на пути следования; К9 - потери сельскохозяйственных угодий; К10 - экологические издержки .

Фв	Св	Тв	Эв	Пв
Св	1	4	1/2	2
Тв	1/4	1	1/7	1/2
Эв	2	7	1	5
Пв	1/2	2	1/5	1

 

CR = 0,0036

w Фв = {0.264, 0.069, 0.542, 0.125 }

Си	К7	К8	К9	К10
К7	1	5	3	2
К8	1/5	1	1/2	1/3
К9	1/3	2	1	1
К10	1/2	3	1	1

 

CR = 0.007

w Си = {0.489, 0.089, 0.190, 0.232}

 

Значения элементов векторов приоритетов критериев в дальнейшем используются как весовые коэффициенты в процедуре линейной свертки на иерархии, результатом которой является вектор приоритетов альтернатив относительно фокуса.