Абсолютно твёрдое тело

Абсолю́тно твёрдое те́ло — второй опорный объект механики наряду с материальной точкой. Механика абсолютно твёрдого тела полностью сводима к механике материальных точек (с наложенными связями), но имеет собственное содержание (полезные понятия и соотношения, которые могут быть сформулированы в рамках модели абсолютно твёрдого тела), представляющее большой теоретический и практический интерес.

Основные определения

Абсолютно твёрдое тело — модельное понятие классической механики, обозначающее совокупность точек, расстояния между текущими положениями которых не изменяются, каким бы воздействиям данное тело в процессе движения не подвергалось^[1] (поэтому абсолютно твёрдое тело не изменяет свою форму и сохраняет неизменным распределение масс).

1. Абсолютно твёрдое тело — механическая система, обладающая только поступательными и вращательными степенями свободы. «Твёрдость» означает, что тело не может быть деформировано, то есть телу нельзя передать никакой другой энергии, кроме кинетической энергии поступательного или вращательного движения.

2. Абсолютно твёрдое тело — тело (система), взаимное положение любых точек которого не изменяется, в каких бы процессах оно ни участвовало.

• Таким образом, текущая конфигурация абсолютно твёрдого тела полностью определяется, например, положением жёстко связанной с ним декартовой системы координат (часто её начало координат делают совпадающим с центром масс тела).

В трёхмерном пространстве свободное абсолютно твёрдое тело (т. е. твёрдое тело, на которое не наложены внешние связи) в общем случае имеет 6 степеней свободы: три поступательных и три вращательных^[2]. Исключение составляет двухатомная молекула или — на языке классической механики — твёрдый стержень нулевой толщины; такая система имеет только две вращательных степени свободы.

Строго говоря, абсолютно твёрдых тел в природе не существует, однако в очень многих случаях, когда деформация тела мала и ею можно пренебречь, реальное тело может (приближённо) рассматриваться как абсолютно твёрдое тело без ущерба для решения задачи.

В рамках релятивистской механики понятие абсолютно твёрдого тела внутренне противоречиво, что показывает, в частности, парадокс Эренфеста. Другими словами, модель абсолютно твёрдого тела не применима к случаю быстрых движений (сопоставимых по скорости со скоростью света), а также к случаю очень сильных гравитационных полей^[3].

Кинематика абсолютно твёрдого тела

Распределение скоростей точек движущегося абсолютно твёрдого тела описывается формулой Эйлера^[4]. При решении задач о распределении скоростей бывает весьма полезна такжетеорема Грасгофа о проекциях скоростей, обычно формулируемая так: «Проекции скоростей двух произвольных точек твёрдого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой»^[5].

Динамика абсолютно твёрдого тела

Динамика абсолютно твёрдого тела полностью определяется его полной массой, положением центра масс и тензором инерции (в то время как динамика материальной точки полностью определяется заданием её массы); конечно, имеется в виду, что заданы все внешние силы и внешние связи (а они, в свою очередь, могут зависеть от формы тела или его частей, и т.д.). Детали распределения масс абсолютно твёрдого тела никак не сказываются на его движении^[6]; если как-то так перераспределить массы внутри абсолютно твёрдого тела, что не изменятся положение центра масс и тензор инерции тела, то не изменится и движение твёрдого тела при заданных внешних силах (хотя при этом, вообще говоря, изменятся внутренние напряжения в самом твёрдом теле).

Частные определения

Абсолютно твёрдое тело на плоскости называется плоским ротатором. Он имеет 3 степени свободы: две поступательные и одну вращательную.

Абсолютно твёрдое тело, помещённое в поле тяжести и способное вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, называется физическим маятником^[7].

Абсолютно твёрдое тело с одной закреплённой точкой, но способное вращаться, называется волчком.

Углова́я ско́рость — физическая величина, являющаяся псевдовектором (аксиальным вектором) и характеризующая скорость вращения материальной точки вокруг центра вращения. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота точки вокруг центра вращения в единицу времени:

,

а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону.

Единица измерения угловой скорости, принятая в Международной системе единиц (СИ) и системе СГС — радианы в секунду. (Примечание: радиан, как и любые единицы измерения угла, — физически безразмерен, поэтому физическая размерность угловой скорости — просто [1/секунда]). В технике также используются обороты в секунду, намного реже — градусы в секунду, грады в секунду. Пожалуй, чаще всего в технике используют обороты в минуту — это идёт с тех времён, когда частоту вращения тихоходных паровых машин определяли просто «вручную», подсчитывая число оборотов за единицу времени.

Вектор (мгновенной) скорости любой точки (абсолютно) твердого тела, вращающегося с угловой скоростью , определяется формулой:

где  — радиус-вектор к данной точке из начала координат, расположенного на оси вращения тела, а квадратными скобками обозначеновекторное произведение. Линейную скорость (совпадающую с модулем вектора скорости) точки на определенном расстоянии (радиусе)  от оси вращения можно считать так:  Если вместо радианов применять другие единицы углов, то в двух последних формулах появится множитель, не равный единице.

• В случае плоского вращения, то есть когда все векторы скоростей точек тела лежат (всегда) в одной плоскости («плоскости вращения»), угловая скорость тела всегда перпендикулярна этой плоскости, и по сути — если плоскость вращения заведомо известна — может быть заменена скаляром — проекцией на ось, ортогональную плоскости вращения. В этом случае кинематика вращения сильно упрощается, однако в общем случае угловая скорость может менять со временем направление в трехмерном пространстве, и такая упрощенная картина не работает.

• Производная угловой скорости по времени есть угловое ускорение.

• Движение с постоянным вектором угловой скорости называется равномерным вращательным движением (в этом случае угловое ускорение равно нулю).

• Угловая скорость (рассматриваемая как свободный вектор) одинакова во всех инерциальных системах отсчёта, отличающихся положением начала отсчёта и скоростью его движения, но двигающихся равномерно прямолинейно и поступательно друг относительно друга, однако этих инерциальных системах отсчёта может различаться положение оси или центра вращения одного и того же конкретного тела в один и тот же момент времени (то есть будет различной «точка приложения» угловой скорости).

• В случае движения одной единственной точки в трехмерном пространстве можно написать выражение для угловой скорости этой точки относительно выбранного начала координат:

, где  — радиус-вектор точки (из начала координат),  — скорость этой точки.  — векторное произведение,  — скалярное произведение векторов. Однако эта формула не определяет угловую скорость однозначно (в случае единственной точки можно подобрать и другие векторы , подходящие по определению, по другому — произвольно — выбрав направление оси вращения), а для общего случая (когда тело включает более одной материальной точки) — эта формула не верна для угловой скорости всего тела (так как дает разные  для каждой точки, а при вращении абсолютно твёрдого тела вектора угловой скорости вращения всех его точек совпадают). При всём при этом, в двумерном случае (случае плоского вращения) эта формула вполне достаточна, однозначна и корректна, так как в этом частном случае направление оси вращения заведомо однозначно определено.

• В случае равномерного вращательного движения (то есть движения с постоянным вектором угловой скорости) декартовы координаты точек вращающегося так тела совершаютгармонические колебания с угловой (циклической) частотой, равной модулю вектора угловой скорости.

• При измерении угловой скорости в оборотах в секунду (об/с), модуль угловой скорости равномерного вращательного движения совпадает с частотой вращения f, измеренной в герцах (Гц), то есть в таких единицах . В случае использования обычной физической единицы угловой скорости — радианов в секунду — модуль угловой скорости связан с частотой вращения так: . Наконец, при использовании градусов в секунду связь с частотой вращения будет: .

Связь с конечным поворотом в пространстве[править | править исходный текст]

• Пусть поворот, изменяющийся во времени, задан величиной угла  и ортом оси конечного поворота в пространстве . Тогда угловая скорость, соответствующая этому повороту, равна

.

• Если поворот задан матрицей поворота , где  — символ Кронекера,  — символ Леви-Чивиты (суммирование ведется по правилу Эйнштейна от 1 до 3), выражение для элементов которой через  и  могут быть получены, например, с помощью формулы Родрига, то угловая скорость равна

.

• Если для описания поворота используется кватернион, выражаемый через угол  и орт оси поворота  как , то угловая скорость находится из выражения .

• В случае, когда поворот описывается с помощью вектора , изменяющегося во времени, обозначим , а также  — матрица половинного поворота ,  — квадрат модуля вектора . Тогда угловая скорость:

.