1. Каждый месяц цены растут на 1,7%. Каков ожидаемый уровень инфляции за год?

Решение:

Цены растут на 1,7% каждый месяц от достигнутого уровня, т.е. рост идет по сложной процентной ставке. Тогда годовой индекс инфляции I^год = (1 + 0,017)¹² = 1,224. Т.е. цены за год вырастут в 1,224 раз, или на 22,4%.

2. Уровень инфляции в марте составил 2,2%, в апреле 1,2%, в мае 3,2%. Какой уровень инфляции за рассматриваемый период?

Решение:

Индекс инфляции за рассматриваемый период равен (1+0,022)*(1+0,012)*(1+0,032) = 1,067, следовательно, уровень инфляции за рассматриваемый период 6,7%.

3. Период начисления n = 3 месяца, ожидаемый уровень инфляции 2,2%. Под каждую 2 ставку ссудных процентов нужно положить первоначальную сумму, чтобы обеспечить реальную доходность i = 5,2% годовых (проценты простые)?

Решение:

Ожидаемый индекс инфляции за период начисления n = 3 месяца = 0,25 года I_и = (1+0,022)³ = 1,067, т.е. уровень инфляции за рассматриваемый период a = 0,067. Тогда i_a = (ni + a + nia) / n = (0,25*0,052 + 0,067 + 0,25*0,052*0,067) / 0,25 = (0,013 + 0,067 + 0,001) / 0,25 = 0,324 (= 32,4% годовых).

4. Первоначальная сумма положена на срок апрель-июнь под простую ставку ссудных % i_a = 15,2 % годовых. Уровень инфляции в апреле составил 1,2%, в мае 1,7%, в июне 2,2%. Какова реальная доходность в виде годовой простой ставки ссудных %?

Решение:

Индекс инфляции за рассматриваемый период n = 3 месяца = 0,25 года I_и = (1+0,012)*(1+0,017)*(1+0,022) = 1,052, т.е. уровень инфляции за рассматриваемый период a = 0,052. Тогда реальная доходность в виде годовой простой ставки ссудных процентов I = (ni_a – a) / (n+na) = (0,25*0,152 – 0,052) / (0,25 + 0,25*0,052) = -0,014 / 0,263 = -0,053 (= -5,3% годовых), то есть операция убыточна.

5. Период начисления n = 3 года, ожидаемый ежегодный уровень инфляции 14,2%. Под какую сложную ставку ссудных процентов нужно положить первоначальную сумму, чтобы обеспечить реальную доходность i = 5,2 % годовых (% сложные)?

Решение:

Ожидаемый индекс инфляции за период начисления n = 3 года I_и = (1+0,142)³ = 1,49, т.е. уровень инфляции a за рассматриваемый период a = 0,49. Тогда i_a = (1+i)* ⁿ√(1+a) – 1 = (1+0,052)* ³√(1+0,49) – 1 = 0,202 (20,2% годовых).

6. Первоначальная сумма положена на n = 3 года под сложную ставку ссудных % i_a = 20,2% годовых. Уровень инфляции за 1 год 16,2%, за 2 год 14,2%, за 3 год 13,2%. Какова реальная доходность в виде сложной годовой ставки ссудных %?

Решение:

Индекс инфляции за рассматриваемый период n = 3 года I_и = (1+0,162)*(1+0,142)*(1+0,132) = 1,503, т.е. уровень инфляции a за рассматриваемый период a = 0,503. Тогда реальная доходность в виде сложной годовой ставки ссудных % I = (1+0,202) / ³√(1+0,503) – 1 = 0,05 (5 % годовых).

Арифметика ипотеки

Аннуитет

7. Банк выдает кредит на сумму A = 32100 долларов, срок n = 5 лет, процентная ставка I = 5,2% годовых. Составим план погашения долга.

Один из возможных вариантов – простая рента постнумерандо. Известны современная стоимость ренты А, срок n и процентная ставка i. Тогда ежегодный платеж R = A_i / (1-1/(1+i)ⁿ) = 32100*0,052/(1-1/(1+0,052)⁵) = 7466,12. Всего за 5 лет будет выплачено 5*7466,12 = 37330,6 долларов.

Справедливый, но не очень удобный

8. Банк выдает кредит на сумму A = 32100 долларов, срок n = 5 лет, процентная ставка I = 5,2% годовых. Составим план погашения долга.

Решение:

Для нулевого года указан только остаток долга. Во 2 столбце указана 1/n = 1/5 часть кредита. Каждое число 3 столбца равно 5,2% от числа из последнего столбца предыдущей строки. 4 столбец (выплата в j-м году) – это сумма соответствующих чисел из и 3 столбцов. Каждое число последнего столбца есть разность числа из последнего столбца предыдущей строки и числа из 2 столбца этой же строки. В последней строке указана сумма чисел соответствующего столбца.

Год	1/n часть суммы кредита	5,21% от остатка долга	Суммарная выплата	Остаток долга
0	0	0	0	32100
1	6420	1672,41	8092,41	25680
2	6420	1337,928	7757.928	19260
3	6420	1003,446	7423,446	12840
4	6420	668,964	7088,964	6420
5	6420	334,482	6754,482	0
Сумма	32100	5017,23	37117,23

Всего за 5 лет будет выплачено 37117,23 доллара. Это несколько меньше чем в предыдущем варианте. Но выплаты смещены к началу срока погашения кредита, поэтому для заемщика этот вариант не очень удобный. Схема типична для российского банка.

Простой, но грабительский

9. Банк выдает кредит на сумму A = 32100 долларов, срок n = 5 лет, процентная ставка I = 5,2% годовых. Составим план погашения долга.

Решение:

(32100 + 0,052*5*32100) / 5 = 40462,05 / 5 = 8092,41 доллара.

Всего за 5 лет будет выплачено 40462,05 доллара. Здесь заемщик платит проценты на всю сумму кредита в течение всего срока погашения, даже на ту часть долга, которую он уже вернул.

Хвост, погашаемый в конце срока

10. Банк выдает кредит на сумму A = 32100 долларов, срок n = 5 лет, процентная ставка I = 5,2% годовых. Составим план погашения долга.

Решение:

Пусть размер ежегодного платежа равен 5350 долларов

Год	1/n часть суммы кредита	5,21% от остатка долга	Суммарная выплата	Остаток долга
0	0	0	0	32100
1	5350	1672,41	7022,41	26750
2	5350	1393,675	6743,675	21400
3	5350	1114,94	6464,94	16050
4	5350	836,205	6186,205	10700
5	10700	557,47	11257,47	0
Сумма	32100	5574,7	37674,7

Анализ результатов деятельности предприятия

11. На конец финансового года внеоборотные активы предприятия равны 121000 рублей, оборотные активы 42100 рублей, а краткосрочные обязательства 32100 рублей. В течение отчетного финансового года объем продаж равен 321000 рублей. Определим коэффициент оборачиваемости активов.

Решение:

Суммарные чистые активы = внеоборотные активы + оборотные активы – краткосрочные обязательства = 121000 + 42100 – 32100 = 131000 рублей.

Тогда коэффициент оборачиваемости активов = (Объем продаж) / (суммарные чистые активы) = 321000 / 131000 = 2,45, т.е. на каждый вложенный инвестором рубль приходится объем продаж 2,45 рубля в рассматриваемом отчетном периоде.

12. На конец финансового года запасы предприятия равны 32100 рублей, дебиторская задолженность 17100 рублей, кассовая наличность 7100 рублей, а краткосрочные обязательства 57100 рублей. Определим коэффициент текущей ликвидности.

Решение:

Оборотные активы = запасы + дебиторская задолженность + кассовая отчетность = 32100 + 17100 + 7100 = 56300 рублей.

Тогда коэффициент текущей ликвидности = (оборотные активы) / (краткосрочные обязательства) = 56300 / 57100 = 0,99.

Мы видим, что предприятие является достаточно ликвидным, т.к. в случае немедленного погашения всех краткосрочных обязательств предприятие сможет немедленно мобилизировать 0,99 рубля, путем реализации запасов, истребования дебиторской задолженности и использования кассовой наличности, а 1-0,99 = 0,01 рубля придется привлекать со стороны.

13. На конец финансового года запасы предприятия равны 32100 рублей, дебиторская задолженность 17100 рублей, кассовая наличность 7100 рублей, а краткосрочные обязательства 57100 рублей. Определим коэффициент срочной ликвидности.

Решение:

Определим коэффициент срочной ликвидности: оборотные активы – запасы = дебиторская задолженность + кассовая наличность = 17100 + 7100 = 24200 рублей. Тогда коэффициент срочной ликвидности = (оборотные активы – запасы) / (краткосрочные обязательства) = 24200 / 57100 = 0,42 рубля. Мы видим, что в случае немедленного погашения всех краткосрочных обязательств, если предприятие по каким-то причинам не сможет реализовать свои запасы, ему придется привлекать со стороны 1-0,42 = 0,58 рублей на каждый рубль краткосрочных обязательств.