- •Н.А. Ююкин
- •Введение
- •1. Элементы комбинаторики
- •1.1. Простейшие комбинаторные конфигурации
- •Основные правила комбинаторики
- •Выборки элементов без повторений
- •Выборки элементов с повторениями
- •Латинские прямоугольники, конечные проективные плоскости и блок-схемы
- •1.2.1. Латинские прямоугольники
- •1.2.2. Конечные проективные плоскости
- •1.2.3. Блок-схемы
- •Формула включений и исключений
- •1.3.1. Объединение комбинаторных конфигураций
- •1.3.2. Принцип включения и исключения
- •1.3.3. Число булевых функций, существенно зависящих от всех своих переменных
- •1.3.4. Решето Эратосфена
- •1.4. Рекуррентные уравнения
- •1.4.1. Определение рекуррентного уравнения
- •1.4.2. Решение линейного однородного рекуррентного уравнения
- •1 (2).4.3. Решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения
- •1.5. Производящие функции
- •1.5.1. Общие сведения о производящих функциях
- •1.5.2. Производящая функция для биноминальных коэффициентов
- •1.5.3. Производящая функция для чисел Фибоначчи
- •1.6.1. Определение z– преобразования
- •1.6.2. Обратное преобразование
- •В правой части этого равенства стоит контурный интеграл в z-плоскости по любому замкнутому контуру в области сходимости, охватывающему начало координат.
- •1.6.3. СвойстваZ-преобразования
- •1.6.4. Использование z-преобразований для решения рекуррентных уравнений
- •1.6.5. Таблица односторонних z-преобразований
- •1.7.Трансверсали и перманенты
- •1.7.1. Множества и мультимножества
- •1.7.2. Трансверсали
- •1.7.3. Пермамент матрицы
- •1.7.4. Число трансверсалей
- •1.8. Матрицы Адамара
- •1.8.1. Определение матрицы Адамара и ее свойства
- •1.8.2. Эквивалентные преобразования матриц Адамара
- •1.8.3. Построение матриц Адамара
- •2. Теория автоматов
- •2.1. Понятие конечного автомата
- •2.1.1. Общие сведения о конечных автоматах
- •2.1.2. Абстрактное определение конечного автомата
- •2.2. Эквивалентности в автоматах
- •2.2.1. Основные определения
- •2.2.2. Покрытия и морфизмы
- •2.2.3. Эквивалентные состояния автоматов
- •2.3. Процедура минимизации конечных автоматов
- •2.4. Автоматные функции и эксперименты с автоматами
- •2.4.2. Моделирование автоматной функции с помощью схемы из функциональных элементов и задержки
- •2.4.3. Эксперименты с автоматами
- •2.5. Автоматные языки
- •2.5.1. Представление о формальных языках
- •2.5.2. Алфавит, слово, язык
- •2.5.3. Классификация грамматик и языков
- •2.5.4. Понятие формальной грамматики
- •2.5.5. Автоматные грамматики.
- •2.6. Модификации конечных автоматов
- •2.6.1. Не полностью описанные (частичные) автоматы
- •2.6.2. Понятия недетерминированного и вероятностного автомата
- •2.7. Процедура минимизации не полностью описанного автомата
- •2.7.1. Совместимые состояния
- •2.7.2. Техника определения совместимых состояний.
- •2.7.3. Построение минимального автомата
- •3. Введение в нечеткую математику
- •3.1. Нечёткие множества
- •3.2. Нечеткие отношения
- •3.3. Нечеткая логика
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Элементы комбинаторики 7
- •2. Теория автоматов 58
- •3. Введение в нечеткую математику 106
1.5.3. Производящая функция для чисел Фибоначчи
Числа Фибоначчи – это элементы числовой последовательности, в которой каждый последующий элемент равен сумме двух предыдущих. Т.е. последовательность чисел Фибоначчи задается рекуррентным уравнением:
Воспользуемся понятием производящей функции для выражения общего члена чисел Фибоначчи.
Возьмем в качестве последовательности базисных функций .
Ряд
сходится при и определяет производящую функцию
Помножив данное выражение на xи на, получим:
Сложив эти два выражения имеем:
Следовательно
.
Отсюда получается явный вид производящей функции
Корни знаменателя определяются из уравнения
Разложим F(x)на элементарные дроби, т.е.
Т.е. получим
Рассмотрим сумму бесконечно убывающих геометрических прогрессий
При
Следовательно
Отсюда
1.6. Z - преобразование
1.6.1. Определение z– преобразования
При анализе и синтезе дискретных устройств широко используется Z–преобразование, играющее по отношению к дискретным сигналам такую же роль, как интегральное преобразование Фурье и Лапласа по отношению к непрерывным сигналам. Рассмотрим основы теории этого функционального преобразования и некоторые его свойства.
Одностороннее Z-преобразование последовательностиx(n) определяется формулой:
где z – комплексная переменная , а n интерпретируется как дискретное время. Из этого следует, что Z- преобразование представляет собой частный случай производящей функции в которой в качестве базисной используется последовательность
Рассмотрим ряд примеров.
Пример 1. НайтиZ-преобразование единичного импульса.
Решение. Т.к.
Пример 2. Найти Z-преобразование единичного сигнала
Решение. В данном случае, для
Данный ряд представляет собой бесконечную сумму убывающей геометрической последовательности знаменатель который . Следовательно
сходится при
Пример 3. НайтиZ– преобразование экспоненциальной последовательности
Решение. ВычисляяZ-преобразование, получим
сходится при
1.6.2. Обратное преобразование
Очень важно уметь переходить не только от последовательности к ее Z– преобразованию, но и обратно от Z–преобразования к последовательности. Последний переход формально определяется соотношением
В правой части этого равенства стоит контурный интеграл в z-плоскости по любому замкнутому контуру в области сходимости, охватывающему начало координат.
Обратное Z-преобразование можно найти несколькими способами:
Прямым вычислением контурного интеграла с использованием теоремы о вычетах
Разложением на простые дроби
Обычным делителем числителя на его знаменатель.
Разложением в степенной ряд.
Мы ограничимся рассмотрением двух первых из них.
Первый способ основан на известной теореме из курса теории функций комплексного переменного, позволяющего вычислить контурный интеграл через вычеты.
Рассмотрим пример 4, в котором
В этом случае мы имеем простой полюс в точке . Следовательно:.
При использовании второго способа Z-преобразование записывается в виде суммы простых дробей
Т.к. каждое слагаемое имеет обратноеZ-преобразование вида, получим
Например, рассмотрим выражение
Его можно записать в виде
В результате получаем
1.6.3. СвойстваZ-преобразования
1) Линейности
2) Задержки
где – функция единичного скачка
3) Умножения на экспоненту
4) Умножения наn
5) Опережающего сдвига
6) Свертки
Указанные свойства упрощают получение преобразований и их обращений.