- •Н.А. Ююкин
- •Введение
- •1. Элементы комбинаторики
- •1.1. Простейшие комбинаторные конфигурации
- •Основные правила комбинаторики
- •Выборки элементов без повторений
- •Выборки элементов с повторениями
- •Латинские прямоугольники, конечные проективные плоскости и блок-схемы
- •1.2.1. Латинские прямоугольники
- •1.2.2. Конечные проективные плоскости
- •1.2.3. Блок-схемы
- •Формула включений и исключений
- •1.3.1. Объединение комбинаторных конфигураций
- •1.3.2. Принцип включения и исключения
- •1.3.3. Число булевых функций, существенно зависящих от всех своих переменных
- •1.3.4. Решето Эратосфена
- •1.4. Рекуррентные уравнения
- •1.4.1. Определение рекуррентного уравнения
- •1.4.2. Решение линейного однородного рекуррентного уравнения
- •1 (2).4.3. Решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения
- •1.5. Производящие функции
- •1.5.1. Общие сведения о производящих функциях
- •1.5.2. Производящая функция для биноминальных коэффициентов
- •1.5.3. Производящая функция для чисел Фибоначчи
- •1.6.1. Определение z– преобразования
- •1.6.2. Обратное преобразование
- •В правой части этого равенства стоит контурный интеграл в z-плоскости по любому замкнутому контуру в области сходимости, охватывающему начало координат.
- •1.6.3. СвойстваZ-преобразования
- •1.6.4. Использование z-преобразований для решения рекуррентных уравнений
- •1.6.5. Таблица односторонних z-преобразований
- •1.7.Трансверсали и перманенты
- •1.7.1. Множества и мультимножества
- •1.7.2. Трансверсали
- •1.7.3. Пермамент матрицы
- •1.7.4. Число трансверсалей
- •1.8. Матрицы Адамара
- •1.8.1. Определение матрицы Адамара и ее свойства
- •1.8.2. Эквивалентные преобразования матриц Адамара
- •1.8.3. Построение матриц Адамара
- •2. Теория автоматов
- •2.1. Понятие конечного автомата
- •2.1.1. Общие сведения о конечных автоматах
- •2.1.2. Абстрактное определение конечного автомата
- •2.2. Эквивалентности в автоматах
- •2.2.1. Основные определения
- •2.2.2. Покрытия и морфизмы
- •2.2.3. Эквивалентные состояния автоматов
- •2.3. Процедура минимизации конечных автоматов
- •2.4. Автоматные функции и эксперименты с автоматами
- •2.4.2. Моделирование автоматной функции с помощью схемы из функциональных элементов и задержки
- •2.4.3. Эксперименты с автоматами
- •2.5. Автоматные языки
- •2.5.1. Представление о формальных языках
- •2.5.2. Алфавит, слово, язык
- •2.5.3. Классификация грамматик и языков
- •2.5.4. Понятие формальной грамматики
- •2.5.5. Автоматные грамматики.
- •2.6. Модификации конечных автоматов
- •2.6.1. Не полностью описанные (частичные) автоматы
- •2.6.2. Понятия недетерминированного и вероятностного автомата
- •2.7. Процедура минимизации не полностью описанного автомата
- •2.7.1. Совместимые состояния
- •2.7.2. Техника определения совместимых состояний.
- •2.7.3. Построение минимального автомата
- •3. Введение в нечеткую математику
- •3.1. Нечёткие множества
- •3.2. Нечеткие отношения
- •3.3. Нечеткая логика
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Элементы комбинаторики 7
- •2. Теория автоматов 58
- •3. Введение в нечеткую математику 106
1.7.2. Трансверсали
Пусть дано множество мощностиnи множество,элементы которого являются подмножествами множестваS, т.е. .,. При этом допускается чтопри
Системой различных представителей (транверсалью)для совокупности множествM(S) называется множество элементов мощностиmиз множестваSи таких, что
,
, при.
Критерием существования трансверсали для M(S) служит следующая теорема.
Теорема Холла.Совокупность множествM(S) имеет трансверсаль тогда и только тогда, когда для любогоk и любойk– выборки без повторенийиз множестваиндексов выполняется следующее неравенство
то есть число элементов объединения множеств не меньшеk.
Если для некоторого подсемейства семействаM(S) имеет место равенство
то такое подсемейство называется критическим.
1.7.3. Пермамент матрицы
Рассматривается матрица A= (aij),,,.
ПерманентомматрицыAназывается число, определяемое следующим выражением
Где суммирование производится по всевозможным выборкам объема nизmразличных элементов.
Рассмотрим примеры
Если m=n, то суммирование производится по всевозможным перестановкам элементов 1,2,…,n; а пермамент матрицыА perA получается из определителя этой матрицы при условии, что все слагаемые соответствующей суммы берутся с положительными знаками.
Свойства перманентов.
Если строка матрицы Aсостоит полностью из нулей, тоperA=0.
Перманент матрицы инвариантен относительно любой перестановки строк и столбцов.
При умножении какой-либо строки (или столбца) на скаляр , перманент матрицы умножается на.
Если Aквадратная матрица, тоper AT = per A.
Если Aij получена вычеркиванием изА i– строки иj–го столбца, - матрица, полученная изAзаменой элементаaij на 0, тогда
Разложение пермамента по i– строке.
Многие свойства перманента подобны свойствам определителя для квадратных матриц, однако свойство
вообще говоря не верно для перманентов. Перманент в отличие от определителя в общем случае не равен 0 при наличии строк (столбцов), линейно выражающихся через другие строки (столбцы).
1.7.4. Число трансверсалей
Важнейшее применение перманентов определяется следующей теоремой.
Теорема. ПустьA= (aij),i= 1,2,..,n,j= 1,2,..,m, , есть матрица инцидентности множеств, являющихся подмножествами множества.
То есть
Тогда для числа трансверсалей семейства имеет место равенство
Трансверсаль семейства существует тогда и только тогда, когда для соответствующей матрицы инцидентности выполняется условие.
Пример 1. (задача о встречах).Требуется определить число трансверсалей семейства, гдеXi=X\{i} иx= {1,2,..,n}. Эта задача имеет и другие разнообразные формулировки, но обычно называетсязадачей о встречах. В данном случае матрицы инцидентности, где- символ Кронекера.
Обозначим hn=per(1-δij) и разлогая перманент по первой строке, получим
,
Где матрица получается из матрицызаменой элементаa11 на 1.
Разлагая perA′n-1 по элементуa11получим
то есть получим рекуррентное соотношение
с начальными условиями h0=1 иh1=0
Перепишем рекуррентное соотношение в виде
hn-nhn-1=-(hn-1-(n-1)hn-2)=…=(-1)k(hn-k-(n-k)hn-k-1)=…=(-1)n
Пологая , получим
Отсюда следует что
Таким образом, окончательный ответ
Пример 2.
Требуется найти число трансверсалей семейства (Xi , 1≤i≤n), где
X1={1,2},X2={1,2,3},X3={2,3,4},…,Xn-1={n-2,n-1,n},Xn={n-1,n}, являющихся подмножествами множестваX={1,2,…,n}.
Решение.
Число трансверсалей
Разлагая этот перманент сначала по первой строке, а затем получившийся перманент разлагаем по первому столбцу, получаем рекуррентное соотношение
Cn=Cn-1+Cn-2
с начальным условием C1=1,C2=2
Полученные числа Cnявляются числами Фибоначчи.