- •Н.А. Ююкин
- •Введение
- •1. Элементы комбинаторики
- •1.1. Простейшие комбинаторные конфигурации
- •Основные правила комбинаторики
- •Выборки элементов без повторений
- •Выборки элементов с повторениями
- •Латинские прямоугольники, конечные проективные плоскости и блок-схемы
- •1.2.1. Латинские прямоугольники
- •1.2.2. Конечные проективные плоскости
- •1.2.3. Блок-схемы
- •Формула включений и исключений
- •1.3.1. Объединение комбинаторных конфигураций
- •1.3.2. Принцип включения и исключения
- •1.3.3. Число булевых функций, существенно зависящих от всех своих переменных
- •1.3.4. Решето Эратосфена
- •1.4. Рекуррентные уравнения
- •1.4.1. Определение рекуррентного уравнения
- •1.4.2. Решение линейного однородного рекуррентного уравнения
- •1 (2).4.3. Решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения
- •1.5. Производящие функции
- •1.5.1. Общие сведения о производящих функциях
- •1.5.2. Производящая функция для биноминальных коэффициентов
- •1.5.3. Производящая функция для чисел Фибоначчи
- •1.6.1. Определение z– преобразования
- •1.6.2. Обратное преобразование
- •В правой части этого равенства стоит контурный интеграл в z-плоскости по любому замкнутому контуру в области сходимости, охватывающему начало координат.
- •1.6.3. СвойстваZ-преобразования
- •1.6.4. Использование z-преобразований для решения рекуррентных уравнений
- •1.6.5. Таблица односторонних z-преобразований
- •1.7.Трансверсали и перманенты
- •1.7.1. Множества и мультимножества
- •1.7.2. Трансверсали
- •1.7.3. Пермамент матрицы
- •1.7.4. Число трансверсалей
- •1.8. Матрицы Адамара
- •1.8.1. Определение матрицы Адамара и ее свойства
- •1.8.2. Эквивалентные преобразования матриц Адамара
- •1.8.3. Построение матриц Адамара
- •2. Теория автоматов
- •2.1. Понятие конечного автомата
- •2.1.1. Общие сведения о конечных автоматах
- •2.1.2. Абстрактное определение конечного автомата
- •2.2. Эквивалентности в автоматах
- •2.2.1. Основные определения
- •2.2.2. Покрытия и морфизмы
- •2.2.3. Эквивалентные состояния автоматов
- •2.3. Процедура минимизации конечных автоматов
- •2.4. Автоматные функции и эксперименты с автоматами
- •2.4.2. Моделирование автоматной функции с помощью схемы из функциональных элементов и задержки
- •2.4.3. Эксперименты с автоматами
- •2.5. Автоматные языки
- •2.5.1. Представление о формальных языках
- •2.5.2. Алфавит, слово, язык
- •2.5.3. Классификация грамматик и языков
- •2.5.4. Понятие формальной грамматики
- •2.5.5. Автоматные грамматики.
- •2.6. Модификации конечных автоматов
- •2.6.1. Не полностью описанные (частичные) автоматы
- •2.6.2. Понятия недетерминированного и вероятностного автомата
- •2.7. Процедура минимизации не полностью описанного автомата
- •2.7.1. Совместимые состояния
- •2.7.2. Техника определения совместимых состояний.
- •2.7.3. Построение минимального автомата
- •3. Введение в нечеткую математику
- •3.1. Нечёткие множества
- •3.2. Нечеткие отношения
- •3.3. Нечеткая логика
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Элементы комбинаторики 7
- •2. Теория автоматов 58
- •3. Введение в нечеткую математику 106
Заключение
Данное пособие восполняет имеющиеся пробелы в учебной литературе по курсу дискретной математики.
Издание рекомендуется для работы студентов при самостоятельном изучении теоретического материала, на практических занятиях в качестве справочного пособия, а также при выполнении типовых расчетов и подготовки к зачетам и экзаменам, предусмотренных учебными планами по указанной дисциплине.
Пособие поможет более глубокому и полному усвоению студентами ученого материала разделов комбинаторики и теории конечных автоматов и будет способствовать эффективной организации учебного процесса по этой дисциплине.
Библиографический список
Яблонский С.В. Введение в дискретную математику: учеб.пособие для вузов/С.В. Яблонский.– 3-е изд. М.: Высш. шк., 2002.– 384 с.
Судоплатов С.В. Элементы дискретной математики: учебник/С.В. Судоплатов, Е.В. Овчинникова. – М.: ИНФРА-М, Новосибирск, Изд-во НГТУ, 2002. - 280 с.
Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов: учебник/Ф.А. Новиков. - СПб.: Питер, 2002.- 304с.
Шелупанов А.А. Математическая логика и теория алгоритмов: учеб.пособие/А.А. Шелупанов, В.М. Зюльков. - Томск: STT, 2001. - 176 с.
Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории/Р. Столл. - М.: Просвещение, 1968.- 231с.
Криницкий Н.А. Алгоритмы вокруг нас/Н.А. Криницкий. –2-е. изд. - М.: Наука, 1984. – 224с.
Биркгоф Г. Современная прикладная алгебра/Г. Биркгоф, Т. Барти. - М.: Мир, 1976. - 400с.
Карпов Ю.Г. Теория автоматов: учебник для вузов / Ю.Г. Карпов. - СПб.: Питер, 2003.- 208с.
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 5
1. Элементы комбинаторики 7
1.1. Простейшие комбинаторные конфигурации 7
1.1.1.Основные правила комбинаторики 7
1.1.2.Выборки элементов без повторений 9
1.1.3.Выборки элементов с повторениями 11
1.2.Латинские прямоугольники, конечные проективные плоскости и блок-схемы 12
1.2.1. Латинские прямоугольники 12
1.2.2. Конечные проективные плоскости 16
1.2.3. Блок-схемы 18
1.3.Формула включений и исключений 19
1.3.1. Объединение комбинаторных конфигураций 19
1.3.2. Принцип включения и исключения 21
1.3.4. Решето Эратосфена 26
1.4. Рекуррентные уравнения 28
1.4.1. Определение рекуррентного уравнения 28
1.5. Производящие функции 33
1.5.1. Общие сведения о производящих функциях 33
1.5.2. Производящая функция для биноминальных коэффициентов 34
1.5.3. Производящая функция для чисел Фибоначчи 37
1.6. Z - преобразование 39
1.6.1. Определение Z – преобразования 39
1.6.2. Обратное преобразование 41
В правой части этого равенства стоит контурный интеграл в Z-плоскости по любому замкнутому контуру в области сходимости, охватывающему начало координат. 41
1.6.3. Свойства Z-преобразования 42
1.6.4. Использование Z-преобразований для решения рекуррентных уравнений 43
1.6.5. Таблица односторонних Z-преобразований 44
1.7. Трансверсали и перманенты 45
1.7.1. Множества и мультимножества 45
1.7.2. Трансверсали 48
1.7.3. Пермамент матрицы 49
1.7.4. Число трансверсалей 51
1.8. Матрицы Адамара 53
1.8.1. Определение матрицы Адамара и ее свойства 53
1.8.2. Эквивалентные преобразования матриц Адамара 54
1.8.3. Построение матриц Адамара 56