2.2. Эквивалентности в автоматах

2.2.1. Основные определения

Пусть на вход конечного автомата подается последовательность символов из входного алфавита A. Эту последовательность обозначают, и называютстрокойиливектором.

На выходе конечного автомата печатается выходная строка

,

состоящая из символов алфавита .

Строка внутренних состояний .

Для некоторого автомата по любой входной строки длины, и по любому начальному состояниюоднозначно определяется строка длины внутренних состояний., которая получается применением отображения, т.е.

Аналогично, выходная строка определяется последовательным применением отображения, т.е.

Поэтому рассматривая конечный автомат, как устройство, перерабатывающее пары ив строкии,

Можно определить функции

Эти функции рекурсивно строятся по известным φиψ, задающихся в описании автоматаM.

Здесь A^r- множество всех строк длиныrиз алфавитаA, а

B^rиS^r- множества всех строк длиныr из алфавитовBиS соответственно

Пример. Рассмотрим автомат с двумя устойчивыми состояниями, изображенный на рисунке

Здесь заданы - входная строка и начальное состояние. Отсюда получим:

.

В реальных устройствах увеличение числа внутренних состояний автомата приводит к росту числа электронных схем и следовательно к уменьшению надёжности, к усложнению ремонта и т.д. Поэтому число необходимых состояний автомата стремятся уменьшить, не ограничивая его возможностей. В связи с этим важна следующая задача.

Пусть фиксированы входной и выходной алфавиты. Можно ли заменить автоматавтоматом с меньшим числом состояний, но с той же функцией, переводящей входы в выходы.

Определение. Автоматпокрываетавтомат, если входной и выходной алфавиты у этих автоматов общие и существует функция, такая что для любого положительного числаr

Указанный факт записывается в виде .

Автомат, который нельзя покрыть меньшим автоматом называется минимальным. Можно проверить, что отношение покрытия является рефлексивным и транзитивным.

Автоматы иназываютсяэквивалентными, еслипокрываети одновременно с этимпокрывает. В этом случае пишут.

Эквивалентность автоматов означает, что существуют функции fиgтакие, что

со свойством

со свойством.

СледствиеОтношение эквивалентности автоматов симметрично, транзитивно, рефлексивно.

2.2.2. Покрытия и морфизмы

Отношения покрытия и эквивалентности тесно связаны с понятием морфизма.

Пусть имеются автоматы ис общими входными и выходными алфавитами.

Морфизмомназывают отображение, такое, чтои

Если θ сюрьективно, то морфизм называетсяэпиморфизмом. Еслиθ биективно, то морфизм называетсяизоморфизмом(автоматом).

Пусть отображение θ- эпиморфизм автоматана. Тогда для любой входной строкии начального состояниявыходная строкаавтоматасовпадает с выходной строкой, если начальное состояниеудовлетворяет условию.

Таким образом, любой эпиморфизм автоматов определяет покрытие автоматаавтоматом.

Определение.Автоматыи, имеющие общие алфавитыиизоморфны, если: 1) у них одинаковое число внутренних состояний и 2)существует биекциятакая, что любая входная строка перерабатывается в одну и ту же выходную строку автоматамиис начальными состояниямии .соответственно.

Например, автоматы, представленные на рисунке

изоморфны, так как имеет место биекция и .